1.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABC。為

矩形，底面ABC。，AD=y/2,DC=SD=2,

M

點(diǎn)M在側(cè)棱5C上，ZABM=60。

（D證明：”是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；

（II）求二面角S-AM-3的大小。

2.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB±AC,D>E

分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE,平面BCC1（I）

證明：AB=AC（D）設(shè)二面角A-BD-C為60°,求

B1C與平面BCD所成的角的大小B

3.如圖，DC±平面ABC,

AC=BC=EB=2DC=2,ZACB=120,P,Q

別為的中點(diǎn).（I）證明：PQH

面ACD；（II）求AD與平面ABE所成角的

正弦值.

4.如圖，四棱錐P-他8的底面是正方

形，PZ〃底面ABC。，點(diǎn)E在棱PB上.（I）

求證：平面AEC_L平面PD8；（II）當(dāng)

=且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB

所成的角的大小.

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，平面ABC。，PA=AD=4,

AB=2.以的中點(diǎn)。為球心、3。為直

徑的球面交尸。于點(diǎn)M.

(1)求證：平面ABM1平面PC。；

(2)求直線PC與平面畫所成的角；B-----

(3)求點(diǎn)。到平面ABM的距離.

6.如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形所

在平面互相垂直，△樨是等腰直角三角形，

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°(I)求證：平面BCE；

(II)設(shè)線段C。、短的中點(diǎn)分別為P、M,求證：

PMH平面BCE

(III)求二面角八加-A的大小。

7.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，5口，平

面ABCD,SD=AD=a，點(diǎn)E是SD上的

點(diǎn)，且DE=Xa(O<XWl).(I)求證：對氐

任意的六(0、1),者陪AC_LBE://：\

(H)若二面角C-AE-D的大小為600C,求X的值。

8.如圖3,在正三棱柱ABC-A8c中，AB=4,A4,=療,

點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE_LAE(I)

證明：平面\DE1平面ACC,A;(n)求直線AD和平

面AOE所成角的正弦值。

9.如圖，正方形A3CD所在平面與平面四邊形AB跖所

在平面互相垂直，aAM是等腰直角三

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°小

(1)求證：E/U平面3CE；\

(II)設(shè)線段8、鉆的中點(diǎn)分別為P、M,/

求證：PMII平面BCE

(III)求二面角八加-A的大小。

10.如題(18)圖，在五面體ABCD跖中，ABnDC,

乙BAD吟,CD=AD=2,四邊形ABEE為平行四邊形，

平面ABC。，F(xiàn)C=3,ED=>fi.求：

(I)直線A3到平面EFCD的距離；

(n)二面角尸-AD-E的平面角的

正切值.

11.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面

ABCD為平行四邊形，ZDAB=60°,

題(18)圖

AB=2AD,PD_L底面ABCD.

⑴證明：PA1BD;

(2)設(shè)PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

12(本小題滿分12分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，

ABCD,AC1BD,垂足為H,

PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)

(1)證明：PE1BC

(2)若/APB=NADB=60°,求直線PA與平面

PEH所成角的正弦值

參芍合耒

1、【解析】(I)解法一：作腦V//交8于N,作

交于E,

連ME、NB,則MN1.面ABCD,

MELAB,NE=AD=也

設(shè)腸V=x,貝［jNC=￡B=x,

在RTAMEB中，ZMBE=60°/.ME=>/3x0

在RTAWE中由腔2=心+*...3%2=》2+2

解得x=l,從而MN=；SZ)，M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)

M.

解法二:過M作CD的平行線.

（II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中

弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本

上不用三垂線定理的方法求作二面角。

過M作//CD交于作交A/于“，作

交AM于K,則WHCD,_L面5A□，面5Ao_L

面MBA,m_L面AMB；.NSK”即為所求二面角的補(bǔ)角.

法二：利用二面角的定義。在等邊三角形畫中

過點(diǎn)3作所_L4W交AM于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸為AM的中

點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G,連GF,易證統(tǒng)_LAM,則NGEB

即為所求二面角.

解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如

圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,則

A(衣0,0),5(衣2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。

z

(I)設(shè)M(0"(a>0,b>0),則

BA=(0-2,0),?=(-41,a-2,b),SM=(0,a,b-2),

SC=(0,2-2),由題得

——1

cos<BA.BM>=—

■__2,即

SM//SC

'―2(a-2)1

-2、(a—2)2+必+2=2解之個(gè)方程組得a==1即

—2a=2(b—2)

M(W)

所以〃是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。

法2：設(shè)SM=AMC,則

1+21+21+21+2

又通=(0,2,0),<而，而>=60"

故贏?耘=|礪麗|cos60",即

解得4=1，

所以“是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。

（II）由（I）得忘=（后,一1,一1）,又

AS=（-V2,0,2）,AB=（0,2,0）,

設(shè)巧=區(qū),M,曷）,〃2=（“2，%，0）分別是平面SAM、

做48的法向量，則

,-?------------,—?—?

%?MA=0r曲?M4=。缶1一必_q=0且

—?——?-EL(&

-41x+2z=0

nx?AS=0vx

,42x2-y2-z2=0

2%=0

分別令*1=*2=痣得向=1,弘=1,%=°/2=2,即

]=（后,1,1）,云=（行,0,2）,

.一一2+0+2V6

??COS>=-----7=—=—

,2.V63

二面角S—AM—B的大/卜/-arccoso

2、解法一：（I）WBC中點(diǎn)F,連接EF,則EF〃；“，

從而EF'DAo

連接AF,則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。

又DE,平面BCq，故AFJ_平面BCG，從而AF1BC,

即AF為BC的垂直平分線，所以AB二AC。

(U)作AG，BD,垂足為G,連接CG。由三垂線

定理知CGJ_BD,故NAGC為二面角A-BD-C的平

面角。由題設(shè)知，ZAGC=600..

設(shè)AC=2,則AG二木。又AB=2,BC=272,故AF=6。

由ABAD=AGBD得2AD=-^=.y1AD2+22解得

AD=V2o

故AD=AF。xAD1AF,所以四邊形ADEF為正方

形。

因?yàn)锽C1AF,BC1AD,AFDAD=A,故BCl^p

面DEF,因此平面BCD_L平面DEF。

連接AE、DF,設(shè)AEDDF=H,則EH1DF,EH±

平面BCDo

連接CH,則/ECH為gc與平面BCD所成的角。

因ADEF為正方形，AD二四，故EH=1,又

EC=-B,C=2,

所以/ECH=300,即8。與平面BCD所成的角為300.

解法二：,

(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的的左

正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyZo)

設(shè)B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),/；

則用(1,0,2c),Ec).產(chǎn)

于是金二(p0),BC=(-1,b,0).由口￡_1平

面BCG知DEJ_BC,DEBC=0,求得b=l,所以

AB二AC。

(n)設(shè)平面BCD的法向量R=(”Z),則

—>->—>—>

AN-BC=0,ANBD=0.

又eh二(-1,1,o),

-x+y=0

BD=(-1,0,c),故＜

-x+cz=0

令x=l,則y=1,z，,A=(l,l,-).

cc

又平面AB。的法向量北二(0,1,0)

由二面角A-BD-C為60。知，(AN,AC)=60°,

故A7V-AC=|AA^-|AC|-COS60，求得

于是AN=(1,1,V2),西=(1,-1,6

cos(AMC8)ANCB,

2

回函）=60

所以BC與平面BCD所成的角為30°

3、（I）證明：連接QRC。，在AABE中，RQ分

別是AE,AB的中點(diǎn)，所以PQ〃：BE,又DCH^BE,

=2=2

所以PQ“C,又尸Q<z平面ACD,DCu平面ACD,

所以P。//平面ACD

（II）在A48C中，AC=BC=2,AQ=BQ,所以CQJ.A8

而DC_L平面ABC,EB//DC,所以￡3_L平面ABC

而E5u平面ABE,所以平面ABEJ_平面ABC,所

以CQL平面ABE

由（I）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以DP//CQ

所以。平面ABE,所以直線AD在平面ABE

內(nèi)的射影是AP,

所以直線AD與平面ABE所成角是zn4P

在RtMPD中，AD=VAC2+DC2=A/22+12=V5

￡>p=CQ=2sinNC4Q=l

所以sinZDAP==J=正

ADy[55

4、【解法1](I)二.四邊形ABCD是正方形,

/.ACIBD,

,/PZ)_L底面ABC。,

/.PDJ_AC,「.ACJ_平面PDB,

...平面AEC±平面尸DB.

(n)設(shè)ACnBD=O,連接OE,

由(I)知AC1平面PDB于O,

??.ZAEO為AE與平面PDB所的角,

??.O,E分別為DB、PB的中點(diǎn)，

.,.OE//PD,OE=-PD,又

2

,/POL底面ABC。,

「?OE1底面ABCD,OE1AO,

在RtAAOE中，

OE=-PD=—AB=AO,

22

/.NAOE=45°,即AE與平面PDB所成

的角的大小為45。.

【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

D-xyz,

設(shè)AB=a,PD=九,

A（a,O,O）,B（a,a,O）,C（O,a,O）,D（O,O,O）,P（O,O,/i）,

AC=（-a,a,O）,DP=（O,O,h）,DB=（a,a,O）,

/.ACDP=O,ACDB=（）,

.-.AC1DP,AC1DB,.-.ACl^

面PDB,

...平面AEC±平面PDB.

（D）當(dāng)P￡）=Vi4B且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，

P（O,O,&a）,E-a,-a,—a,

\/

設(shè)ACABD二O,連接OE,

由（I）知ACJ_平面PDB于O,

ZAEO為AE與平面PDB所的角,

11A/2

,/￡4=-Cl.---Q,-----Q,EO=

222

EAEO41

/.cosZ.AEO

|可畋「2

ZAOE=45°,即AE與平面PDB所成的角

的大小為45°.

二多面體ABCDEF的體積為VE—ABCD+

VE—BCF二2夜

5、解:方法(一):

(1)證：依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，則

BM±PD.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,則PALAB,又AB

1AD,

所以AB_L平面PAD,則AB_LPD,因此有P

D1平面ABM,所以平面ABMJ_

平面PCD.

(2)設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)

N,因?yàn)锳B//CD,所以AB//平

面PCD,則ABIIMNHCD,

由(1)知，PDJ_平面ABM,則

MN是PN在平面ABM上的射影，

所以NPNM就是PC與平面所

成的角，

旦NPNM=NPCD

所求角為arctan2&

(3)因?yàn)?。是BD的中點(diǎn)，則。點(diǎn)到平面ABM的

距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由(1)知,

「口，平面人：61\1于乂，則|DM|就是D點(diǎn)到平面

ABM距離.

因?yàn)樵赗tZ^PAD中，PA=AD=4,PDLAM,所以“

為PD中點(diǎn)，DM=2叵,則。點(diǎn)到平面ABM的距離

等于0。

方法二：

(1)同方法一；

(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則40,0,0),

P(0,0,4),8(2,0,0),C(2,4,0),力(0,4,0),"(0,2,2),

設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量〃=(x,y,z),由〃，AB,〃_LAM

可得：2A7°A>令z=T,則丁=1,即〃=(0,1,-1).

2y+2z=0

設(shè)所求角為a,則sina=消,

明/3

所求角的大小為arcsin2f.

(3)設(shè)所求距離為人，由0(1,2,0),AO=(1,2,0),得：

6、【解析】解法一：

因?yàn)槠矫鍭BEF,平面ABCD,BCu平面ABCD,

BC1AB,平面ABEFA平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC_LEF.

因?yàn)?ABE為等腰直角三角形，AB=AE,

所以/AEB=45°,

又因?yàn)?AEF=45,

所以/FEB=90°,即EF_LBE.

因?yàn)锽Cu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCABE=B

所以E/F平面3CE

...................................................................6分

(II)取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CNMN,則MN幺|ABXPC

PMNC為平行四邊形，所以PM//CN.

???CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),

/.PMH平面

BCE...............................................

....................8分

(III)由EA_LAB,平面ABEF_L平面ABCD,易知

EA_L平面ABCD.

作FG1AB,交BA的延長線于G,則FGIIEA.

從而FGJ_平面ABCD,

作GH_LBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知

BD1FH.

ZFHG為二面角F-BD-A的平面角.

,/FA=FE,/AEF=45°,

ZAEF=90°，/FAG=45°.

設(shè)AB=1,則AE=1,AF=鳥,則

FG=AF?sinFAG=-

2

在RtZlBGH中，

ZGBH=45°,BG=AB+AG=l+-=-,

22

.3&3A/2

GrHu=BRrG-smGrRBIHI=一?—=--,

224'

在RtZjFGH中，tanFHG=四=攵，

GH3

二面角/-皮）-A的大小為arctane

3

.................................12分

解法二：因AABE等腰直角三角形，AB=AE,所以

AE±AB

又因?yàn)槠矫鍭BEFc平面ABCO=A3,所以AEj_平面

ABCD,

F

所以

即A。、A3、AE兩兩垂直；如圖建立空間直角坐

標(biāo)系，

(I)設(shè)AB=\,則AE=\,

8(0,1,0),0(1,0,0),mo,l),c(l,l,o)

,:FA=FE,ZAEF=45。，ZAFE=90°,

從而E(0,-1,1)

EF=(0,-1,-^),靛=(0,-1,1),正=(1,0,0)

于是示讀=0+工-工=0,EFBC^O

22

/.EF1BE,EF1BC

,：BEu平面BCE,BCu平面BCE,BCcBE=B

：.EC平面BCE

(II)M(OQ!),P(H，O),從而麗=(-1=二)

2222

于是

--------111111

PMEF==0+---=0

222244

/.PM1EF,又EE_L平面6CE,直線PM不

在平面8CE內(nèi)，

故PMII平面BCE

(III)設(shè)平面以乃的一個(gè)法向量為1,并設(shè)］

=（%,y,z）

Ln,?/BD=n0口口（x-y=O

<_____即（31

n-BF=O--y+~z^On

「Izz

取y=i,貝（Jx=i,z=3,從而％=（1,1,3）

取平面ABDD的一個(gè)法向量為元=（（）,o,i）

故二面角尸-M-A的大小為arccos斗

7、（I）證發(fā)1：連接BD,由底面是正方形可得

AClBDo

???SDJ.平面ABCD,,BD是BE在平面ABCD上

的射影，

由三垂線定理得AC_LBE.

QD解法1：「SD，平面ABCD,CDu平面ABCD,

/.SD1CD.

又底面ABCD是正方形，，CDJ.AD,又S

D0AD=D,平面SAD。

過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)做DF1AE于F,連接CF,

則CF1AE,

故NCFD是二面角C-AE-D的平面角，即

ZCFD=60°

在RtAADE中,?/AD=a,DE=Aa,

AE=aJ矛+1o

n口AD?DEAa

于是,DF二-----=,

AEJ/+1

在Rtz^CDF中，由cot60°

7日2_V3

付KT。'即」3萬+3=3A

/le（0,l],解得九二孝

8、解：（I）如圖所示，由正三棱柱ABC-A4G的性

質(zhì)知AA，平面ABC.

又DEu平面ABC,所以DE_LA4.而

DEI4E,AA=

所以DEI平面ACC0.又DEu平面AQE

故平面AtDE1平面ACC.A.

（n）解法1：過點(diǎn)A作AF垂直AE于點(diǎn)尸

連接DF.由（I）知，平面平面ACG4,

所以AF_L平面AQE，故ZADF是直線AD和

平面ADE所成的角。因?yàn)镈EIACC,A,

所以DEIAOAABC是邊長為4的正三角形,

于是AD=2百，AE=4-CE=4-|CD=3.

又因?yàn)镸=V7,所以aE二

AE=JAV+AE?=?。◣牛?+于=4,

AE-AA,377AFV21

AE=sinZADF

\E4AD8

即直線AD和平面ADE所成角的正弦值為學(xué)

O

解法2:如圖所示，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，以。為原

點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,),4(2,0,近),D(-l,

V3,0),E(-l,0,0).

易矢口AO二(-3,\[?>，-,DE—(0,->/3,0),AD—

(-3,73,0).

設(shè);z=(x,y,z)是平面AOE的一個(gè)法向量，則

解得x=-(z,y=0.

故可取n=(V7,O,-3).于是

IUUU1LI—

/r即n-AD_-3V7V21

cos(n,AD)=-r~~mw-------產(chǎn)=----?

'/n-AD4x2百8

由此即知，直線AD和平面AQE所成角的正弦值為

叵

~8~,

所以ME與BN不共面，它們是異面直

線。.....12分

9、【解析】解法一：

因?yàn)槠矫鍭BEF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

BC1AB,平面ABEFPI平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC1EF.

因?yàn)?ABE為等腰直角三角形，AB=AE,V

所以/AEB=45。,

又因?yàn)?AEF=45,“'

所以/FEB=90°,BPEFlBE.

因?yàn)锽Cu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCABE=B

所以

平面BCE........................6分

⑴）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CNRtN,則MN幺|AB^PC

PMNC為平行四邊形，所以PM//CN.

???CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi)，

/.PMH平面

BCE.

8分

(III)由EA_LAB,平面ABEF_L平面ABCD,易知

EA_L平面ABCD.

作FG1AB,交BA的延長線于G,則FGIIEA.

從而FGJ_平面ABCD,

作GH_LBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知

BD1FH.

???ZFHG為二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,/AEF=45°，/AEF=90°,

ZFAG=45°.

設(shè)AB=1,則AE=1,AF=!，則

FG=AF?sinFAG=-

2

在RtZlBGH中，

ZGBH=45°,BG=AB+AG=l+-=-,

.3亞3正

GrUu=BDrG-sinGrDBIHI=一?—=--,

224'

在RtZlFGH中，tanFHG=*=

GH3

二面角F-BD-A的大小為

arctan.............................12分

解法二：因AABE等腰直角三角形，AB=AE,所以

AE±AB

又因?yàn)槠矫??燈7＞平面48。。=43,所以AE1平

面ABCD,所以AELAO

即A。、A3、AE兩兩垂直；如圖建立空間直角坐

標(biāo)系，

(I)設(shè)AB=\,則AE=\,

8(0,1,0),0(1,0,0),E(0,0,D,C(l,l,0)

,/FA=FE,ZAEF=45°,/.ZAF￡=90°,

從而F(0,-1,1)

方=(0,4,-5,KE=(0,-1,1),5C=(1,0,0)

于是示近=0+!」=0,EFBC=0

22

.EFLBE,EFLBC

,：BEu平面BCE,BCu平面BCE,BCcBE=B

Eh平面BCE

(n)M(OQ3，P(I，!，O),從而麗=(--！，9

2222

于是

----111111

PMEF=(-1-(0,--,--)=0+---=0

222244

/.PM]_EF,又平面8CE,直線PM不

在平面BCE內(nèi)，

故PMII平面8CE

(III)設(shè)平面8。尸的一個(gè)法向量為*,并設(shè)]

=(x,y,z)

一一亦nfx-y=0

n\'BD—0nn

\____.即431八

n.-BF^O--y+-z^0

「IZ2

取y=i,則％=i,z=3,從而.=(1,1,3)

取平面ABDD的一個(gè)法向量為元=(0,0,1)

故二面角廠一BO-A的大小為arccos”工

10、解法一：(I)AB。6;。。匚平面⑦。。，.,小8至!)

面的距離等于點(diǎn)A至IJ面防。的距離，過點(diǎn)A

作AG_L/D于G,因NBAO=WABJOC,故COLAO；

又必，平面48€)由三垂線定理可知，CDA.FD,

故CDJ_面E4。，知8_LAG,所以AG為所求直線AB

到面EF8的距離。

在冊ZVIBC中，F(xiàn)D=yjFC2-CD2=x/9^4=75

由FA_L平面ABCD,得FA_LAD,從而在/?/AFAD中，

FA=ylFD1-ADr=75^4=1

AG=FAAD=^=—o即直線AB至!|平面EFCD

FDV55

的距離為竽。

(n)由己知，E4_L平面ABC。，得用_LAD,又

由ZBAO=',知ADLAB,故AZ)_L平面ABFE

；.所以，ZE4E為二面角b-AD-E的平面

角，記為氏

在RtAAED中,AE=^EDr-ADr=77^4=^,由

ABCD得,FE&4,從而4尸石=授

在放中，F(xiàn)EZAE?-AF?=乒1=挺，故

FEr-

tan0==yJ2

FA

所以二面角尸-AD-E的平面角的正切值為VL

解法二：

(I)如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原尸《一

點(diǎn),A8,AD,A尸的方向?yàn)閤,y,z的正方向建立空間直c

角坐標(biāo)系數(shù)，則

A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)設(shè)F(0,0,z。)(z0>0)

22

可得FC=(2,2,-z0)，由|%|=3.即72+2+Z^=3，解得

F(O,O,1)ABIIDC,

OCu面所8,所以直線AB到面砂。的距離等于

點(diǎn)A到面砂8的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面砂。上的射

影點(diǎn)為G0,y,ZI),則AG=a，y”zJ因AGQ尸=0且

AG?CO=0,而。E=(0,-2,1)

0。=(-2,0,0),此即卜了+了°解得玉=0①，知

1-2%=0

G點(diǎn)在*z面上，故G點(diǎn)在FD上.

GFDF,Gb=(—y,—4+l)故有②

聯(lián)立①，②解得，G(0,|,|)

??.|AG|為直線AB到面EFCQ的距離.而

AG=(0,1令所以l