專題10-3概率小題基礎(chǔ)

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】古典概型

【典例分析】

已知數(shù)據(jù)1,2,3,4,x(0<x<5)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大

于5的概率為

A-—5B—2C--5D-—10

【答案】B

【詳解】分析：由題意首先求得實(shí)數(shù)x的值，然后列出所有可能的結(jié)果，從中挑選滿足題意的結(jié)果結(jié)合古典

概型計(jì)算公式即可求得最終結(jié)果.

詳解：由數(shù)據(jù)1,2,3,4,x(0<x<5)的平均數(shù)1+2+；+4+X=2+/(2,3),

(1,2),10,3),(1,4),

可得2+右R，所以廣。從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，結(jié)果有：12,目,(2,3),(2,4),共10種，這2個(gè)數(shù)字

B'3Hi4)(3,4)

之積大于5的結(jié)果有：(2,3),(2,4),悖3)1,(3,4),共5種，所以所求概率為。=1=g.本題選擇B選

項(xiàng).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

事件A包含的可能結(jié)果數(shù)m

I)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)

【變式演練】

1.已知函數(shù)“同=$3_5_1)尤2+/無，其中被｛1,2,3,4｝力e｛l,2,3｝，則函數(shù)/(尤)在R上是增函數(shù)的概率

為

ALBLD—

【答案】D

【詳解】試題分析：原命題等價(jià)于/'(x)=f-2(a-l)x+/20在R恒成立

=、=二a--不：<口=，&-】『￡:二,符合上述不等式的有

(Ll),a2),QD(2n(Z2),(Z3),(32),(3,3),(43)n所求概率？'=白=二，故選D.

2..投擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之積為6的概率等于

A.—B.-C.-D.—

189636

【答案】B

【詳解】試題分析：基本事件36種，符合題意的為。,6）,（6,1）,（2,3）,（3,2）共四種，故概率為，

3.籠子中有2只雞和2只兔，從中依次隨機(jī)取出一只動(dòng)物，直到4只動(dòng)物全部取出.如果將兩只兔子中的某

一只起名為“長耳朵”，貝11“長耳朵”恰好是第2只被取出的動(dòng)物的概率為（）

AJB-I

【答案】D

【分析】

依據(jù)古典概型即可求得“長耳朵”恰好是第2只被取出的動(dòng)物的概率；

【詳解】把2只雞記為生,出，2只兔子分別記為“長耳朵，歸和短耳朵,

則從籠中依次隨機(jī)取出一只動(dòng)物，直到4只動(dòng)物全部取出，共有如下24種不同的取法：

，（“I，4，"，”），,（〃1，九”，〃2）,（%,力,。2再）

（“Ml，%，。），（“嗎，九。2）,（“，。2，。1，力），（”,。2，0，。1）,（“也。1，。2）,

（0,%,%,"）,（/z,1,",%）,（/I,%，％,"），（h,a?,H,aj,（h,H,（h,Hg,%）

其中“長耳朵”"恰好是第2只被取出的動(dòng)物，則共有6種不同的取法.

則“長耳朵”恰好是第2只被取出的動(dòng)物的概率尸W.故選：D

【題型二】幾何概型1：長度角度

【典例分析】

147）

在矩形ABC。中在8邊上隨機(jī)取一點(diǎn)尸若AB是八鉆尸最大邊的概率為了,51（］—=（）

4AD

A.lB.@C.姮D.叵

3288

【答案】D

【分析】在矩形4次力中，取邊8的中點(diǎn)為G，則在邊8上存在關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱的兩點(diǎn)E，尸，使

BE^AF=AB.iS：AB=a,根據(jù)概率求出=?，得出邊長關(guān)系即可得解.

【詳解】如圖，取邊C。的中點(diǎn)為G,則在邊8上存在關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱的兩點(diǎn)E,F，使==.設(shè)

鉆=。,因?yàn)锳3是最大邊的概率為!,所以跖咚過點(diǎn)E作硝,則DE=^,EC=言,

44oo

貝麗=/一||/=?,^XAD=EH=^-a,故此叵

64648AB8

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)成事件的區(qū)域長度

一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度

【變式演練】

1.如圖所示，兩半徑相等的圓A，圓8相交，8為它們的公切線段，且兩塊陰影部分的面積相等，在線段

上任取一點(diǎn)/,則〃在線段EF上的概率為（）

【答案】c

【分析】

根據(jù)題意先求出矩形A8CD的面積，從而求出ARE/即可

【詳解】設(shè)圓的半徑為廠,由題意可得5"8=2'9義萬/=:萬戶

4Z

所以A8=；萬/+廠，EF=^r-11C1

~—7irx2=2r——兀丫

4)2

EF2-一；仃4

所以P=1__T.故選:C.

AB17i

—7ir

2

2.在區(qū)間［0,句上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)尤，則事件"-1<tanx<6”發(fā)生的概率為

7「2C1D1

A.——B.-

123'3'4

【答案】A

1—lVtanxW道得，OVxV。或予WxW乃

【詳解】由題意得，OW萬二在

71?371

則事件"-1<tanx<V3”發(fā)生的概率為兀一7,故選A.

7i-012

3.任取人卜上,石］,直線＞=可*+2）與圓/+/=4相交于4,8兩點(diǎn)，貝［||AB|22/的概率為

A、B-Tc-lD4

【答案】C

【詳解】解析：因弦長AB=277丁，故2日京22G，即，而圓心。（。，0）到直線近7+2左=0的

府W+2H十2打閡‘所以（I2蚓L丫,即子也0#也則八半八2瓦所以由幾何概型

的計(jì)算公式可得其概率為P=\=g,應(yīng)選答案C.

【題型三】幾何概型2：面積

【典例分析】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)成事件他區(qū)域面積

一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積

【變式演練】

L古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出已知線段的黃金分割點(diǎn)，

具體方法如下：取線段AB=2,過點(diǎn)B作A8的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC=：A8=1,連接AC;以

C為圓心，3c為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)EE，則點(diǎn)E即

為線段A3的黃金分割點(diǎn).如圖所示，在RfAABC中，扇形區(qū)域ADE記為I,扇形區(qū)域C3O記為H,其余

部分記為III在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)此點(diǎn)取自I,11口的概率分別記為A,P2R（參考數(shù)據(jù)：V5?2.236）

則

E

A.片＞鳥B.［＜￡

C.4=8+GD.P2=P1+P3

【答案】B

【分析】

由題意結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)考查所給的式子是否成立即可.

【詳解】由題意可知：S扇形BCD＞S&BCD=^^/\ABC＞S扇形加6,

故,且鳥”+鳥,

故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤；故選B.

2.公元前5世紀(jì)下半葉開奧斯地方的希波克拉底解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方.如圖，以。為圓

心的大圓直徑為1,以AB為直徑的半圓面積等于AO與BO所夾四分之一大圓的面積，由此可知，月牙形

（圖中陰影部分）區(qū)域的面積可以與一個(gè)正方形的面積相等.現(xiàn)在在兩個(gè)圓所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，

則該點(diǎn)來自于陰影所示月牙形區(qū)域的概率是（）

A.—B.—1―C.D.且

3萬2%+1%+1Ji

【答案】B

【分析】

先求出陰影部分面積，再用幾何概型概率公式可得.

【詳解】解：陰影部分面積等于g-（*-1倉4,

16162228

1

所以根據(jù)幾何概型得陰影所示月牙形區(qū)域的概率P==占.故選B.

，+21+2。

84

3.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極

致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息.現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的4個(gè)小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于

正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為

A（3-2在兀B2C◎-20）兀D￡

-2-648

【答案】A

【分析】

通過對(duì)稱性將圓陰影部分面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)小圓的面積，然后利用小圓半徑表示出正方形對(duì)角線長，從而求

解出正方形面積和圓的面積，作比得至II概率.

【詳解】由圖像對(duì)稱可知，原題中陰影部分面積與下圖中陰影部分面積一致，則陰影部分面積為一個(gè)小圓

的面積.

設(shè)：OB=r,9\OC=AB=r,0A=-j2r

；.AC=(?+l)r=>AD=(2V2+2)r

?,.正方形面積S=gx(2后+2)乂2應(yīng)+2)r=(6+4匈產(chǎn)

陰影部分面積S?萬。長=療2

S'乃戶3-2J2反

二所求概率p=w本題正確選項(xiàng)：A

（6+45歷）產(chǎn)2

【題型四】幾何概型3：體積

【典例分析】

如圖來自某中學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組所研究的幾何圖形，大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過大球球心

且與大球球面有且只有1個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，小球相交部分

（圖中陰影部分）記為I,大球內(nèi)、小球外的部分（圖中黑色部分）記為II,若在大球中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取I,

II的概率分別記為億，P2,則（）

11

A.A>-B.p2<-C.Pi<P2D.Pi>P2

【答案】c

【分析】

根據(jù)題意推知小球半徑是大球的一半，建立大球體積小球體積和陰影部分的體積的關(guān)系，可推知選項(xiàng).

43?

【詳解】設(shè)小球的半徑為廣，則大球的半徑為2r，體積為"?。?r）3=玄房，

4個(gè)小球的體積之和為4x*=+，,小球相交部分的體積匕<$/,

大球內(nèi)、小球外的部分的體積匕精-匕（g儲(chǔ)+匕，

163163

E、3163匕耳"1V耳"1

所以%>可仃，從而P1=￡<房一=3,2=工2>房一=3，Pi<Pz'

3V四/2V%一2

33

所以選項(xiàng)4B、。錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)成事件痂勺空間體積

=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的空間體積

【變式演練】

VV

1.在正四面體p-ABC體積為V，現(xiàn)內(nèi)部取一點(diǎn)s,則g〈KYBC<5的概率為（）

、37「8-91-13

A.B.—C.D.—

2162721627

【答案】A

【詳解】作出尸在底面AABC的射影為。，若匕_.=：心極廁高05=（。尸，分別取吶加%上的點(diǎn)

E,D,F,并使PE=E4,PF=FC,PD=DB,如圖：

并連結(jié)EF,FD,DE廁平面EFD//平面ABC.

當(dāng)點(diǎn)S在正四面體P-EED內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，即此時(shí)S在三棱錐Vp_ABc的中垂面。砂上,

滿足匕TBC<^Vp-ABC的點(diǎn)S位于在三棱錐％.ABC的中垂面DEF以下的棱臺(tái)內(nèi)，

同理Vs-ABC>^VP-ABC的點(diǎn)S在距離ABC為gop的平面以上的棱錐內(nèi)，

所以滿足?<匕一.<?的棱臺(tái)體積為1千

VV37y

由幾何概型可得：滿足可<匕-BC的概率為216_37。故選A

321廠一發(fā)

2.某四面體的三視圖如下圖所示，已知其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形，記命題P：從該

四面體的四個(gè)面所在的平面中任取兩個(gè)，取到的兩個(gè)平面互相垂直的概率為g；命題平設(shè)該四面體的四個(gè)

頂點(diǎn)恰好是一個(gè)正方體的頂點(diǎn)，從這個(gè)正方體中任取一點(diǎn)，取自四面體內(nèi)的概率為:.則下列命題為真命題

的是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.。人4B.pv—q)C.JpNqD.(―ip)八(-14)

【答案】C

【分析】

先分別利用古典概型和幾何概型的概率判斷命題P,q,再利用復(fù)合命題判斷.

【詳解】由題意知，該四面體是正方體的一部分，如圖所示.

從四個(gè)面中任取兩個(gè)共有6種取法，其中互相垂直的平面有三對(duì)，

31

則從該四面體的四個(gè)面所在的平面中任取兩個(gè)，取到的兩個(gè)平面互相垂直的概率為"=彳，。是假命題；

62

設(shè)正方體的棱長為4，則正方體的體積為/,四面體的體積為=,

326

[3

所以從這個(gè)正方體中任取一點(diǎn)，取自四面體內(nèi)的概率為,q是真命題.

a36

得(Y)Vq是真命題，p/\q,pV(rq),(Y)A(F)都是假命題.

故選：C.

3.如圖，三棱錐尸-ABC的四個(gè)面都為直角三角形，尸4,平面ABC,PA=應(yīng),AC=BC=1,三棱錐尸-ABC

的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，現(xiàn)在球0內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自三棱錐P-ABC內(nèi)的概率為()

A巫B.昱C.正D."

24萬16?127r8?

【答案】D

【分析】

求得三棱錐尸-ABC的外接球。的半徑，以幾何概型即可解決.

【詳解】三棱錐尸-ABC中，PAJ_平面ABC,則R4LAB,PALBC

直角三角形A3c中，AC=BC,則AC,3c

又B4_L3c,PAAC=A,貝［j3C_L平面PAC,貝［jBC_LPC

則線段PB中點(diǎn)為三棱錐P-ABC的外接球的球心，

又由PA=及,AC=BC=1,可得PB=2,則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為1

故在球。內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自三棱錐P-ABC內(nèi)的概率為

—X—xlxlx^2

%—ABC=32_________噌故選:D

%o4

【題型五】幾何概型4：坐標(biāo)系型

【典例分析】

甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，試求這兩艘船中至少有

一艘在停靠泊位時(shí)必須等待的概率（）

A25-11〃9「7

A.-B.—C.—D.—

36361616

【答案】B

【分析】

：設(shè)出甲乙到達(dá)的時(shí)刻，列出所有基本事件的約束條件同時(shí)列出至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的約束

條件，利用線性規(guī)劃作出平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式求解.

【詳解】設(shè)甲到達(dá)的時(shí)間為X,乙到達(dá)的時(shí)間為y,貝”,ye[0,24],至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待，

則x-y|<4.如圖紅線區(qū)域內(nèi)的面積為S―正方形的面積為S所以兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須

【提分秘籍】

基本規(guī)律

兩個(gè)事件之間相互獨(dú)立的，可以設(shè)兩個(gè)變量，構(gòu)造坐標(biāo)系

【變式演練】

1.甲乙兩人各自在300米長的直線形跑道上跑步，則在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過50米的概率是多

少

、1?11-15、1

A.—B.—C.—D.—

336366

【答案】B

f0<x<300,,

【詳解】設(shè)甲乙兩人各自跑X和y米，則…八八，若滿足題意即x-y450,如圖

[0?yK300

則4(0,50),爪250,300),050,0),0(300,250),所以「二上巴方”!°=11，故選B.

-300x300-36

2.國慶節(jié)前夕，甲、乙兩同學(xué)相約10月1日上午8:00到8:30之間在7路公交赤峰二中站點(diǎn)乘車去紅山公園

游玩，先到者若等了10分鐘還沒有等到后到者，則需發(fā)短信聯(lián)系.假設(shè)兩人的出發(fā)時(shí)間是獨(dú)立的，在8:00

到8:30之間到達(dá)7路公交赤峰二中站點(diǎn)是等可能的，則兩人不需要發(fā)短信聯(lián)系就能見面的概率是

1355

A.-B.-C.-D.-

2496

【答案】C

0<%<一

【詳解】試題分析：設(shè)兩人分別于X時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，則｛要使兩人不需發(fā)短信即可見面，

0<y<—

2

則必需-3尤7<)又兩人到達(dá)地鐵站的所有時(shí)刻(％y)的各種可能結(jié)果可用圖中的正方形內(nèi)(包括邊界)

中的點(diǎn)來表示，兩人不需發(fā)短信即可見面的所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果用圖中的陰影部分(包括邊界)

y

來表示，所以，所求概率生孕

「故選c-

s正方形—

4

3.近期，新冠疫苗第三針加強(qiáng)針開始接種，接種后需要在留觀室留觀滿半小時(shí)后才能離開.甲、乙兩人定于某

日上午前往同一醫(yī)院接種，該醫(yī)院上午上班時(shí)間為7：30,開始接種時(shí)間為8:00,截止接種時(shí)間為11：30.

假設(shè)甲、乙在上午時(shí)段內(nèi)的任何時(shí)間到達(dá)醫(yī)院是等可能的，因接種人數(shù)較少，接種時(shí)間忽略不計(jì).則甲、乙兩

人在留觀室相遇的概率是（）

,13r36〃1c6

A.—B.—C.—D.一

494977

【答案】A

【分析】

[8<%<11.5,,

由題意，設(shè)甲、乙兩人的接種時(shí)間分別為x,九則”一?,且滿足題意即%-y<0.5,

[8<^<11.511

然后畫出圖形，根據(jù)圖形可求得結(jié)果

【詳解】由題意，設(shè)甲、乙兩人的接種時(shí)間分別為X,y

f8<x<11.5??

叫H15，若滿足題意即,一，1<05，

如圖,則p_]；x3x3x2J3.故選:A

3.5x3.549

【題型六】幾何概型5：線性規(guī)劃

【典例分析】

x+y-2>0,

在不等式組X->-2wo,所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于I

,”2,

的概率是（）

n_"兀—r"一.萬

A.—B.4——C.1——D.1——

8284

【答案】C

【分析】畫出可行域，如圖所示，陰影部分即為所求，利用幾何概型公式計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：畫出可行域，陰影部分即為所求區(qū)域.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

多限制條件，構(gòu)造線性規(guī)劃求解

【變式演練】

1.定義：min"［：'：；；在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)尸(x,y)，則點(diǎn)尸(x,y)滿足

min{2x-y+l,x+y-l}=x+y-l的概率為

4?三B1?JD.\

【答案】A

【分析】

利用幾何概型計(jì)算公式，求出試驗(yàn)包含的全部事件對(duì)應(yīng)的集合。以及滿足條件的事件A對(duì)應(yīng)的面積，即可

求得.

【詳解】試驗(yàn)包含的全部事件對(duì)應(yīng)的集合是。叫.|0<x<2，滿足條件的事件

0<x<20<x<2

A=<(x,y)\<0<y<3=<(x,y)卜0<y<3>，如圖所示，

[2x-y+l>x+y-1x—2y+220

S(Q)=2x3=6,S(心1+2)33,所以「瑞=|何，故選A.

x+y-4>0

2

2.若x,y滿足不等式組＜x-2y+4>0，則口成立的概率為

x+1

x<4

11

A.—BC.-D.-

56.1688

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，之后再作出直線上7=5,所以滿足條件的區(qū)域?yàn)榭?/p>

行域內(nèi)落在直線上的下方的區(qū)域，之后分別求出其圖形對(duì)應(yīng)的面積，利用概率公式求得結(jié)果.

X+15

所以七V：成立的點(diǎn)p（x,y）只能在圖中會(huì)的內(nèi)部（含邊界）,

所以由幾何概型得：成立的概率為沁

X+15，AABC

x+y-l=Ox-2y+l=0x+y—4=048

由』,得44，。）,由』，得544）,由，-2y+4=。,得Ct'?，

2/八2,八

y=-(x+l)1810y=—(x+1)

由’，解得。/得由5、,解得E(4,2),

x+y-l=0x=4

^rlU5MBc=14-1x4=y,5，ADE=1x4-yx2=y,

10

所以*v|成立的概率為率下式，故選A.

3

x-y>0

3.在區(qū)域。:x+”6內(nèi)任取一點(diǎn)P（x,y）,則滿足x+y>4的概率為（）

7>0

A.lB.jC1D-

9933

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，作出可行域的約束的平面區(qū)域，再結(jié)合幾何概型求解即可.

【詳解】解：畫出區(qū)域。（圖中OAB及內(nèi)部），

區(qū)域內(nèi)滿足x+V>4的區(qū)域?yàn)閳D中四邊形ABDC的內(nèi)部及邊界（不包括CD）,

且OC=4,04=6,CD//AB,

所以△OCD^OAB,所以孑業(yè)=

故所求概率尸=S，，C=|.

故選B

【題型七】幾何概型6：近似估值應(yīng)用

【典例分析】

關(guān)于圓周率力,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我

們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)萬的值：先請(qǐng)全校加名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)

（%y）;再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)G，y）的個(gè)數(shù)J最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)。估計(jì)乃的值，那

么可以估計(jì)%的值約為（）

4aa+2_a+2m4a+2m

A.-B.——C.---------D.----------

mmmm

【答案】D

f0<x<1

【解析】由試驗(yàn)結(jié)果知加對(duì)。~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)尤，y，滿足n1,面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角

形三邊的數(shù)對(duì)（x，N）,滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積

比正方形的面積，即可估計(jì)萬的值.

0<%<1

【詳解】解：根據(jù)題意知，加名同學(xué)取用對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(％y),即

0<><1'

對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y〉1

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)Q能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有

0<x<l

0<y<1

，l....7i1a7i1.?4a+2m,,

其面積s=15;則有；m,解信故選:D.

【變式演練】

L南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之，利用“割圓術(shù)得出圓周率%的值在3.1415926與3.1415927之間，成為世界上

第一把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人，他的這項(xiàng)偉大成就比外國數(shù)學(xué)家得出這樣精確數(shù)值的時(shí)間，至少要

早一千年，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平.我們用概率模型方法估算圓周率，向正方形及其內(nèi)切圓隨機(jī)投擲

豆子，在正方形中的80顆豆子中，落在圓內(nèi)的有64顆，則估算圓周率的值為

A.3.1B,3.14C.3.15D,3.2

【答案】D

4644乃4

【詳解】根據(jù)題意，由幾何概型得。=—=嬴=￡，其中正方形面積5="一，所以丁二￡，解得萬=3.2,

5805445

故選D.

2.為了近似估計(jì)兀的值，用計(jì)算機(jī)分別產(chǎn)生90個(gè)在［-1,1］的均勻隨機(jī)數(shù)均中2,…，弱0和%，%，…，為。，在9。組

v<tan-x

數(shù)對(duì)--中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有25組數(shù)對(duì)滿足｛4，則以此估計(jì)的兀值為

(x+I)2+(y-I)2<4

【詳解】試題分析：設(shè)篇虬?其逾,則直線AB過原點(diǎn)，目陰影面積等于直線AB與圓弧所圍成的弓形

貌甘■>?

面積；由圖知，的=；■%..-&-獷-,又1，所以二.

*曲:啕9

考點(diǎn)：幾何概型.

3.關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)，受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)

計(jì)下面的試驗(yàn)來估計(jì)萬的值，試驗(yàn)步驟如下：①先請(qǐng)高二年級(jí)八名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)

(無,y)(0<x<l,0<y<l);②若卡片上的x,V能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計(jì)上交的卡片

數(shù)，記為用;④根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)〃，機(jī)估計(jì)"的值.那么可以估計(jì)乃的值約為

,m—n-m-4（〃一機(jī)）-4m

A.-B.--------C.-------LD.——

nnnn

【答案】C

由題，先求得實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）區(qū)域的面積，再求得X，，能與I構(gòu)成銳角三角形的面積，根據(jù)幾何概型求得概率,

代入m,n即可求得萬的估計(jì)值.

【詳解】由題意,實(shí)數(shù)對(duì)（用必。<%<1，。<，<1）,即面積為1

ccfO<X<l兀

且卡片上的X,y能與1構(gòu)成銳角三角形，即滿足Y+y2〉i，且所以面積為1-：

[0<y<14

TT

所以％,y能與1構(gòu)成銳角三角形的概率為：

由題，n張卡片上交m張，即‘=1-彳="=絲二變故選C

n4n

【題型八】幾何概型7：導(dǎo)數(shù)函數(shù)等綜合

【典例分析】

設(shè)函數(shù)〃彳）=次+上7a>1），若。是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，人是從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么

x-1

/（力>6恒成立的概率是（）

A-B—C—D—

-5-15-52

【答案】A

【解析】【分析】

先把〃x）的解析式變形，用分離常數(shù)法，然后用均值不等式求出最小值，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生

包含的所有事件是15個(gè)，滿足條件的事件是9個(gè)，即可得出答案.

x-1+l11

【詳解】當(dāng)時(shí)，f(x)=ax+^-=ax+-------QXH---------F1

x-1x-1x-1

=a(x-1)H-------+1+a2+1+a=(+1)

當(dāng)且僅當(dāng)了=(+I＞間,W"=”，；."XL=(G+I『，

于是f（x）>b恒成立就轉(zhuǎn)化為（&+『>6成立；

當(dāng)。=0時(shí)，/（%）=1+-1->1,設(shè)事件A:恒成立”,

X-L

則基本事件總數(shù)為15個(gè)，即

(0,1),(0,2)(0,3),(0,4),(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5);

事件A包含事件：(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)共9個(gè)

o3

所以汽4)=百=『故選：A.

【變式演練】

1.已知⑺都是定義在R上的函數(shù)‘8"。,小丑）</”"所方5）,卷+著三,

在有窮數(shù)列g(shù),2,??，10）中，任意取前/項(xiàng)相加，則前左項(xiàng)和不小于fl的概率是

7

A1B."

-55

【答案】C

【詳解】令〃3=攜=優(yōu)，則

g（x）

QT

+〃=*=>〃=2或工，〃（x）=于（%1（%）JJ（x）g（二）<0=廢]11a<0=〃

22二⑴

5（1-R16310-51

2

■■-Sk=->=1'因此概率為選c.

]，乙O今1u乙

~2

2.已知實(shí)數(shù)〃2w[0,4],則函數(shù),/■。）=m111》-2/+,在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為

X

A-IB”C-1D-I

【答案】c

【詳解】分析：求出函數(shù)〃x）單調(diào)遞減時(shí)機(jī)的范圍，由幾何概型概率公式可得.

H71I

詳解：由題意,在x>0時(shí)，f\x）=一一4元一二<0恒成立,即7“<4/+_,

XXX

又4f+'=4尤2+；+；23/4尤2-1?；=3,當(dāng)且僅當(dāng)4爐=；,即x=1時(shí)等號(hào)成立，即4Y+，的最小

x2x2x\2x2x2x

值為3,

m<3,從而。金”<3,...所求概率為P=?.故選.

【題型九】幾何概型8：微積分型（理）

【典例分析】

如圖，設(shè)D是圖中邊長分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)y=工（x>0）圖象下方的區(qū)域（陰

X

影部分），從D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)M,則點(diǎn)M取自E內(nèi)的概率為

In2cl-ln2

i.--B.---

22

l+ln22-ln2

：.——D.——

22

【答案】c

:11

【解析]【詳解】因?yàn)镾陰=2xl_J(2__)tZx=2-(2x-lnx)l1=2-[2-(l-ln-)]=l+ln2

￡X2，

2

“S陰l+ln2

所以點(diǎn)M取自E內(nèi)的概率為尸=尚=—.

＞矩2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用定積分求面積算概率，此專題可做了解

【變式演練】

1.如圖，在直角坐標(biāo)系◎中，過坐標(biāo)原點(diǎn)。作曲線y=短的切線，切點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸分別作工了軸的垂線，

垂足分別為A,8,向矩形OAPB中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為

【答案】A

【分析】

先設(shè)出切點(diǎn)尸（如e'。），利用切線過原點(diǎn)求出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，再用積分求出陰影部分的面積，最后用幾何概

型求得結(jié)果.

xx

【詳解】設(shè)切點(diǎn)P（%,e'。）,y=e'所以切線方程y—e°=e°（x—x0）,又因?yàn)檫^原點(diǎn)

所以0-e'。="。（0-毛）解得％=1所以點(diǎn)Pd,e）因?yàn)閥=e'與x軸在圍成的面積是J；exdx-e-\

則陰影部分的面積為=而矩形0Aps的面積為e

￡,1

故向矩形。W3中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為2_e-2故選A

e2e

2.某數(shù)學(xué)愛好者設(shè)計(jì)了一個(gè)商標(biāo)，如果在該商標(biāo)所在平面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系初丫，則商標(biāo)的

JT7F

邊緣輪廓AOC恰是函數(shù)y=tan[x的圖像的一部分,邊緣輪廓線AEC恰是一段所對(duì)圓心角為|■的圓弧.若

在圖中正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在商標(biāo)區(qū)域內(nèi)的概率為

萬-2D?1