模塊綜合測評(A)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列命題中,真命題是()A.對于隨意x∈R,2x>x2B.若“p且q”為假命題,則p,q均為假命題C.“平面對量a,b的夾角是鈍角”的充分不必要條件是“a·b<0”D.存在m∈R,使f(x)=(m-1)是冪函數(shù),且在(0,+∞)上是削減的答案D2.設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù),則“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案A3.設(shè)命題p:函數(shù)y=sin2x的最小正周期為;命題q:函數(shù)y=cosx的圖像關(guān)于直線x=對稱.則下列推斷正確的是()A.p為真 B.非q為假C.p且q為假 D.p或q為真答案C4.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率e=,則C的方程是()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案D5.已知橢圓=1的一個焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,假如線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為()A.± B. C. D.答案A6.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b與a-2b相互垂直,則k=()A.- B. C. D.答案D7.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為()A.1 B. C.2 D.2答案D8.過拋物線y=x2的準(zhǔn)線上隨意一點(diǎn)作拋物線的兩條切線,若切點(diǎn)分別為M,N,則直線MN過定點(diǎn)()A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1)答案D9.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)D在直線OC上運(yùn)動,則當(dāng)取最小值時,點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A. B.C. D.答案C10.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),則|b-a|的最小值為()A. B. C. D.答案C11.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是()A. B. C. D.答案C12.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案D二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿意條件(c-a)·(2b)=-2,則x=.

答案214.由命題“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命題,求得m的取值范圍是(a,+∞),則實(shí)數(shù)a的值是.

答案115.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面A1B1C1D1的中心,則OC與BC1夾角的余弦值為.

答案16.拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是.

答案三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(滿分10分)已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分不必要條件,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.解解不等式x2-8x-20>0得p:A={x|x>10,或x<-2}.解不等式x2-2x+1-a2>0得q:B={x|x>1+a,或x<1-a,a>0}.依題意,p?q但q不能推出p,說明A?B.于是,有解得0<a≤3.∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3].18.(滿分12分)雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)F1(0,-5),F2(0,5),點(diǎn)P(3,4)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點(diǎn),求雙曲線與橢圓的方程.解由共同的焦點(diǎn)F1(0,-5),F2(0,5),可設(shè)橢圓方程為=1,雙曲線方程為=1,點(diǎn)P(3,4)在橢圓上,所以=1,解得a2=40(a2=10舍去).雙曲線的一條漸近線為y=x,因?yàn)辄c(diǎn)P在漸近線上,所以4=×3,解得b2=16.所以橢圓的方程為=1,雙曲線的方程為=1.19.(滿分12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn),D是B1C1的中點(diǎn).(1)證明:A1D⊥平面A1BC;(2)求平面A1BD與平面B1BD所成角的余弦值.(1)證明設(shè)E為BC的中點(diǎn),由題意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因?yàn)锳B=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D,E分別為B1C1,BC的中點(diǎn),得DE∥B1B且DE=B1B,從而DE∥A1A且DE=A1A,所以A1AED為平行四邊形.故A1D∥AE.又因?yàn)锳E⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)解方法一:作A1F⊥BD且A1F∩BD=F,連接B1F.由AE=EB=,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4.由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB與△B1DB全等.由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1為二面角A1-BD-B1的平面角的補(bǔ)角.由A1D=,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得cos∠A1FB1=-.故平面A1BD與平面B1BD所成角的余弦值為.方法二:以CB的中點(diǎn)E為原點(diǎn),分別以射線EA,EB為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,如圖所示.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:A1(0,0,),B(0,,0),D(-,0,),B1(-).因此=(0,,-),=(-,-),=(0,,0).設(shè)平面A1BD的法向量為m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量為n=(x2,y2,z2).由可取m=(0,,1).由可取n=(,0,1).于是|cos<m,n>|=.故平面A1BD與平面B1BD所成角的余弦值為.20.(滿分12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程為=1.(2)由解得因此|AB|=.由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因?yàn)橹本€CD的斜率為1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四邊形ACBD的面積S=|CD|·|AB|=.當(dāng)n=0時,S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.21.(滿分12分)已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求雙曲線E的離心率;(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8.摸索究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由.解法一(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,從而雙曲線E的離心率e=.(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)l⊥x軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn),則|OC|=a,|AB|=4a,又因?yàn)椤鱋AB的面積為8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此時雙曲線E的方程為=1.若存在滿意條件的雙曲線E,則E的方程只能為=1.以下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時,雙曲線E:=1也滿意條件.設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2,則C.記A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=,由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因?yàn)?-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因?yàn)閙2=4(k2-4),所以Δ=0,即l與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn).因此,存在總與l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為=1.解法二(1)同解法一.(2)當(dāng)直線l不與x軸垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依題意得k>2或k<-2.由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因?yàn)?-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因?yàn)椤鱋AB的面積為8,所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,所以=8,化簡得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得雙曲線E的方程為=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因?yàn)?-k2<0,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以雙曲線E的方程為=1.當(dāng)l⊥x軸時,由△OAB的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線E:=1有且只有一個公共點(diǎn).綜上所述,存在總與l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為=1.22.(滿分12分)(2024天津,17)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點(diǎn)D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點(diǎn).(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求平面BB1E與平面B1ED夾角的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.解依題意,以C為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)證明:依題意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),從而=2-2+0=0,所