專題4.5線圓最值

區(qū)模型方弦

考點：線圓最值

已知O及直線I,O的半徑為r,點Q為O上一點，圓心O與直線I之間

的距離為d.

位置關(guān)系直線與口。相離直線與口0相切直線與口0相交

O

aa

圖示

------------1

點。到直線/距離的

d+r2rd+r

最大值

過點O作直線1的總售線，其反向延長線與匚O的交點，即為

此時點Q的位置

點2

點。到直線/距離的

d-r0r-d

最小值

此時點Q的位置過點O作直線”的垂線，與二。的交點即為點。

拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定

邊的最大（?。┚嚯x，進而利用面積公式求解

園滿今勢神

【典例1】如圖，在矩形48CD中，BC=2AB=4,點E是48的中點，點尸是

矩形48。）內(nèi)一點，且七尸=/七,連接CP,尸，則△PCD面積的最小值為.

【變式1-1]（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點尸是正六邊形AffCDE廠內(nèi)一點,

45=4,當N4P5=90°時，連接PQ,則線段尸。的最小值是（）

【變式1-2】（安徽一模）在RtA45c中，ZACB=90°,AC=8,BC=3,點

D是BC邊上一動點,連接4D交以CD為直徑的圓于點￡則線段長度

的最小值為（）

【典例2】如圖，在和AADE中，AB=AC=6,AD=AE,/BAC=NDAE

=60°,且5。=2AD,DE//BC,點〃是。E的中點，連接aI/,CM.將4

繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，△5MC面積的最大值

【變式2-1]（思明區(qū)校級期中）如圖，在△4BC中，BC=2,點幺為動點，在

點/運動的過程中始終有NA4c=45°,則△48C面積的最大值為.

A

BC

【變式2-2】如圖，直線yRx+6分別與X軸、y軸相交于點M,N.點尸在平面

4

內(nèi).NMW=90°,點C（0,3）,則PC長度的最小值是.

【變式2-3］如圖，4s是。。的直徑，點C在半圓的中點，且5c=4口〃，點。

是血上的一個動點，連接助，過C點作C7ZL5。于連接在點。

的運動過程中，4口長度的最小值是

【典例3】如圖，在矩形488中，48=3,BC=4,點尸是矩形48CZ）內(nèi)一點,

且N5PC=90°,連接4P,PD,則面積的最小值為.

【變式3-1］如圖，矩形N3CZ）中，48=4,BC=8,P是直線48上的一個動點,

AE=2,4APE沿PE翻折形成1AFPE,連接PF、EF,則尸。的最小值

是，點尸到線段5c的最短距離是.

【變式3-2】如圖，尸是矩形48a）內(nèi)一點，48=4,40=2,APLBP,則當線

【變式3-3】（2022?祁江區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△48C中，ZABC=90°,AB=

8,點尸是45邊上的一個動點，以5尸為直徑的圓交CP于點0,若線段幺。

長度的最小值是4,則△HBC的面積為.

【變式3-4］如圖，在矩形458中，48=3,BC=4,E為邊BC上一動點,F

為4E中點，G為上一點，BF=FG,則CG的最小值為.

【變式3-5】矩形25CQ中，48=2,BC=6,點尸為矩形內(nèi)一個動點.且滿足

ZPBC=ZPCD,則線段PZ）的最小值為.

【變式3-6］如圖，在Rtz^48C中，ZACB=90°,AC=12,BC=8,0是線段

3c上的動點，連接4D,過點C作。WL4D于連接勵/,則創(chuàng)/的最小

值是—.

【典例4】如圖，在邊長為2的菱形48CZ）中，乙4=60°,點M是4D邊的中

點，點N是48邊上一動點，將沿所在直線翻折得到連

接A,C,則5c面積的最小值為.

D

【變式4-1】如圖，在RtZ^45C中，ZC=90°,CA=CB=3,點D在邊BC

上.將△/C。沿2。折疊，使點C落在點處，連接5U,則的最小

值為_______

【典例5】如圖，在RtA45C中，A￡=3,BC=4,點。是/。邊上一點，點、E

是平面內(nèi)一點，且QE=1,連接ZE,CE,則四邊形48CE面積的最大值

【變式5-1］如圖，正方形45CQ的邊長為2,點尸是射線40上一個動點，點

。在AP上，且滿足N8C0=NAPC,則線段C0的最小值為（）

C.V5-1D.272-1

【變式5-2］如圖，正方形48s的邊長為5,以。為圓心，2為半徑作OC.點

尸為0c上的動點，連接3尸，并將HP繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到5P,連

接CP.在點尸運動的過程中，CP長度的最大值是()

A.5V2+2B.3V2+2C.572-2D.3加-2

【變式5-3】在△N5C中，若。為8c邊的中點，則必有：482+/。=14。2+2302

成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形QEFG中，已知。石=6,

石尸=4,點”在以半徑為2的。。上運動，則叱+MG2的最大值為()

A.104B.116C.120D.100

【變式5-4］如圖，在四邊形45CZ）中，AD//BC,Z5=60°,NBCD=90°,

48=12,6C=16.點M是N8上一點，4M=4,點N是四邊形48CZ）內(nèi)一點，

且。N=5,連接CV,MN.

(1)當"，N,。三點共線時，求的長;

(2)求四邊形3CM0面積的最小值.

BB

備用圖

專題4.5線圓最值

區(qū)橫型方弦

考點：線圓最值

已知O及直線I,O的半徑為r,點Q為O上一點，圓心O與直線I之間

的距離為d.

位置關(guān)系直線與口。相離直線與口0相切直線與口0相交

O

圖示

------------------1工s

點。到直線/距離的

d+r2rd+r

最大值

過點O作直線/的垂線，其反向延長線與口。的交點，即為

此時點Q的位置

點2

點。到直線/距離的

d-r0r-d

最小值

此時點Q的位置過點o作直線/的垂線，與二。的交點即為點。

拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定

邊的最大（?。┚嚯x，進而利用面積公式求解

國滿臺於棟

【典例1】如圖，在矩形48CD中，BC=2AB=4,點E是48的中點，點尸是

矩形48。）內(nèi)一點，且七尸=/七,連接CP,尸，則△PCD面積的最小值為.

【答案】3

【解答】解：

：.AB=2,

?點、E是AB的中點,

:.AE=BE='.；

，點尸在以點石為圓心，1為半徑的弧上運動,

過點尸作尸0_LCD于點0,

過點E作石尸，8于點尸，

則SAPCD=fCD=P。，

，當尸0最小時，△尸CD的面積取得最小值?￡尸+尸02所，

當E,P,0三點共線時，尸0取得最小值，最小值為"-EP的值;

???四邊形458是矩形，

：.EF=BC=4,

:.PQ最小=EF-EP=3,

S^PCD靛小=尸。最小=3）

故答案為：3.

【變式1-1]（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點尸是正六邊形N5CDE廠內(nèi)一點,

48=4,當N4P5=90°時，連接PQ,則線段尸。的最小值是（）

A.2>/n-2B.2V13-2c.6D.4V3

【解答】解：???48=4,NAPB=90°,

.?.點尸在以48為直徑的圓弧上，

如圖，取48的中點O,連接。刀，當。、尸、D三點共線時，尸Z）有最小值,

連接助，過點。作8，助于點〃，

?.?點。為4B的中點，

：.OA=OB=OP=4^2=2,

?.,正六邊形的每個內(nèi)角為180°X(6-2)4-6=120°,

'：CD=CB,

：.ACBD=(180°-120°)4-2=30°,BD=2BH,

：.ZOBD=120°-30°=90°,

在RtZkC57/中，C7/=—CB=2,BH=2/3,

：.BD=4>/3,

在RtZXOB。中，8=也2+(4病2=2<1§,

：.PD的最小值為OD-OP=-2.

故選：B.

【變式1-2】(安徽一模)在RtA45C中，ZACB=90a,AC=8,BC=3,點

。是5c邊上一動點，連接40交以CD為直徑的圓于點￡則線段5E長度

A.1B.gC.V3D.$

22

【解答】解：如圖，作以NC為直徑的圓，圓心為O

；七點在以CZ)為直徑的圓上

:.NCED=90°

：.ZZEC=180°-ZCED^90°

，點七也在以/C為直徑的圓上，

可得當O、E、3三點共線時，BE是最短,

VJC=8,

OC=4

,:BC=3,?=90°

OB=VOC2+BC2=416+9=5

\"OE=OC=4

：.BE=OB-OE=5-4=1

故選：A.

【典例2】如圖，在A45C和AIDE中，AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且5Z)=2AD,DE//BC,點〃■是的中點，連接團/CM.將4

繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，面積的最大值

為—.

【答案】12五.

【解答】解：連接40,交BC于H,.

'：AB=AC,AD=AE,點Af是OE的中點，

：.AM±DE,AHLBC,

將△4DE繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)180°,即AT、M.H在同一直線上時，ABMC

面積取最大值.

"：AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,且

：.AD=AE^2,近杷=近乂6=3對，

22

AM=^-AD—x2=V3?

22

：.AM,=43,

：.MH=43+373=473,

此時，△冽/C面積=/BOBH=yX6X4V3=12A/3.

故答案為：12正.

【變式2-1］（思明區(qū)校級期中）如圖，在△HBC中，BC=2,點幺為動點，在

點/運動的過程中始終有NA4c=45°,則Z\J5c面積的最大值為.

A

【解答】解：如圖，△48C的外接圓QO,連接05、OC,

VZBAC=45°,

ZBOC=2ZBAC=2X45°=90°,

過點。作垂足為O,

?：OB=OC,

：.BD=CD=—BC=\,

2

VZ5OC=90°,ODLBC,

：.OD=—BC=\,

2

O5=^/QD2+BD2=V2，

,:BC=2保持不變，

.?.5C邊上的高越大，則△48C的面積越大，當高過圓心時，最大,

此時5c邊上的高為：V2+1,

.,.△N3C的最大面積是：-1X2X(<2+1)=V2+1.

故答案為：V2+1.

y4x+6分別與x軸、y軸相交于點“，N.點尸在平面

內(nèi).NMW=90°,點C(0,3),則尸。長度的最小值是1.

【解答】解：?.?點尸在平面內(nèi).ZMPN=90°,

.?.點尸在以MN為直徑的圓上，

如圖，以為直徑作連接EC并延長交OE于點P,

?.,直線y-1x+6分另U與*軸、y軸相交于點M，N,

：.M(-8,0),N(0,6),

，OAf=8,ON=6,

在RtAMOTV中，MV=^0M2-H3N2=^82+62=1。，

:.EM=EN=EP，=*^HN=5,

'：M(-8,0),N(0,6),點E為小W的中點，

：.E(-4,3),

VC(0,3),

：.CE=4,

：.P'C=EP'-CE=5-4=1,

...PC長度的最小值是1.

故答案為：1.

【變式2-3】如圖，48是?O的直徑，點C在半圓的中點，且3c=4?！ǎc。

是京上的一個動點，連接班＞,過C點作CHL8D于H,連接在點。

的運動過程中，長度的最小值是2y-2.

【解答】解：連接NC,取5c的中點T,連接NT,TH.

???43是直徑，

；./4CB=90°,

?.,點。在半圓的中點,

AAC=BC，

：.AC=CB=A,

'：CT=TB=2,

:,AT='AC?KT2=q《2+22=2粕,

■:CHLBD,

：.4CHB=90°,

，點H在以BC為直徑的圓上運動,

VCT=TB,

：.HT=^BC=2,

2

■:AHNAT-HT=2#-2,

〃的最小值為2巡-2,

故答案為：2"7"^-2.

【典例3】如圖，在矩形48CZ）中，48=3,BC=4,點尸是矩形48CZ）內(nèi)一點,

且N5PC=90°,連接ZP,PD,則面積的最小值為.

【答案】2

【解答】解：?；N5PC=90°,

.?.點尸在以3c為直徑的圓上，

即點P到BC的最大距離為2,

，點尸到40的最小值=3-工X4=l,

2

=

"S'Zi^p￡）"X4X1=2,

2

/\APD面積的最小值為2.

故答案為：2.

【變式3-1］如圖，矩形45CD中，48=4,BC=8,尸是直線48上的一個動點,

AE=2,△2尸￡沿尸石翻折形成△77>E,連接尸尸、EF,則尸。的最小值

是，點尸到線段5。的最短距離是.

【解答】解：連接CE,作EG_L5C于G,

■:AE=EF=2,

.?.點/在以E為圓心，NE為半徑的圓上運動,

在RtZXCQE中，由勾股定理得，

CE=VDE2+CD2=762+42=2V'

：.FC的最小值為CE-2=2后-2,

,?ZDAB=ZABC=NBGE=90°,

四邊形/BGE是矩形，

：.EG=AB=4,

點F到線段BC的最短距離是2,

故答案為：2后-2,2.

【變式3-2】如圖，尸是矩形45al內(nèi)一點，48=4,AD=2,AP±BP,則當線

段DP最短時，CP=.

【解答】解：以N8為直徑作半圓。，連接。。，與半圓。交于點P,當點

P與P'重合時，DP最短,

\'AD^2,ZBAD=90°,

：.0D=2&,ZADO^ZAOD=ZODC^45°,

：.DP'=0D-OP'=2企-2,

過P作PELCD于點E,貝！！

P'E^DE=J^DP'=2-&,

2

:.CE=CD-DE=42+2,

???CP=VP/E2-K；E2=2V3-

故答案為：2M.

【變式3-3］（2022?祁江區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△NBC中，ZABC=90°,AB=

8,點尸是48邊上的一個動點，以AP為直徑的圓交C尸于點0,若線段Z0

長度的最小值是4,則△48C的面積為.

【解答】解：如圖，取8C的中點T,連接NT,QT,BQ.

?；PB是0）0的直徑，

AZPQB=ZCQB=90°,

.?.QT=_1_8C=定值，ZT是定值，

"：AQ^AT-TQ,

...當/,Q,T共線時，Z。的值最小，沒BT=TQ=x,

在RtZXZBT中，則有（4+x）2=N+82,

解得x=6,

/.JBC=2X=12,

**-^BC=—^*5C=Ax8X12=48,

22

故答案為：48.

【變式3-4］如圖，在矩形45CQ中，48=3,BC=4,￡為邊8c上一動點，F(xiàn)

為ZE中點，G為?！晟弦稽c，BF=FG,則CG的最小值為樂-2.

【解答】解：如圖1,連接ZG,

圖1

???四邊形48CD是矩形，

:./ABC=NBCD=NADC=90°,DC=AB=3,

是ZE的中點，

:.BF=UE=AF=EF,

2

,:BF=FG,

：.AF=FG=EF,

：.ZAGE^ZAGD=90°,

.?.點G在以NO為直徑的圓上運動，取Z。的中點。，連接0G,

當。，G,C三點共線時，CG的值最小，如圖2所示，

o

D

/y-/G\

BEC

圖2

：.0D=0G=2,

?*OC—\l2^+3^=V13，

，CG的最小值為后-2.

故答案為：V13-2.

【變式3-5】矩形48CD中，AB=2,8c=6,點尸為矩形內(nèi)一個動點.且滿足

ZPBC=ZPCD,則線段尸。的最小值為市-3.

【答案】VTs-3.

【解答】解：???四邊形/BCD是矩形，

/.ZBCD=90°,

:.NPCD+NPBC=90°,

；NPBC=/PCD,

：.ZPBC+ZPBC=90°,

AZBPC=90°,

...尸點在以8C為直徑的圓上，設(shè)圓心為0,

,:BC=6,

：.C0=3,

"：CD=2,

??DO—yf13，

：.PD的最小值為后-3,

故答案為：V13-3.

D

【變式3-6］如圖，在Rt448C中，ZACB=90°,AC=12,BC=8,。是線段

5c上的動點，連接N。，過點。作于/,連接則剛/的最小

值是4.

【答案】4.

【解答】解：如圖，以NC為直徑作。。,

■:CMLAD,

：.ZAMC=90°,

...點/在O。的上半圓上，

當且僅當點8、M、。三點共線時，8”最小，

V(9C=X4C=1.X12=6,BC=8,ZACB=90°,

22

OB=7BC2-H3C2=V82+62=10,

'：OM^OC=6,

；.BM=OB-0M=10-6=4,

即印〃的最小值是4,

故答案為：4.

【典例4】如圖，在邊長為2的菱形48C。中，NZ=60°,點M是幺。邊的中

點，點N是邊上一動點，將△4W沿"N所在直線翻折得到△?〃從連

接45,A'C,則面積的最小值為.

【答案］“二1

又是4D的中點，

:.MA=MA'=MD,

點4的運動軌跡就是在以點“為圓心，K4長為半徑的俞上,

過點M作〃EL8C于點E,連接AD,

在菱形/8C。中，

'：AD=AB,ZA=60°,

...△/AD是等邊三角形.

是的中點，

點E與點8重合，

EM=yj22-l2=V3，

設(shè)點4到BC的距離為〃，當點4在"E上時，〃取得最小值，最小值為瓦0-

?=禽-1,

...△48。面積的最小值為=口。?〃=工*2乂（V3-1）=煦-1，

22

故答案為：A/3-L

【變式4-1】如圖，在中，ZC=90°,CA=CB=3,點。在邊8c

上.將△ZCO沿ZD折疊，使點C落在點C'處，連接8U,則5。的最小

值為一啦-3_.

【答案】372-3.

【解答】解：,??NC=90°,CA=CB=3,

；?ABWAC2+BC2=3五，

由折疊的性質(zhì)可知AC=AC=3,

■:BCB-AC,

.?.當N、C、8三點在同一條直線時，8c取最小值，最小值即為

BC'=AB-ACy=372-3，

故答案為372-3.

【典例5】如圖，在RtZk48C中，48=3,8。=4,點。是NC邊上一點，點￡

是平面內(nèi)一點，且。￡=1,連接4E,CE,則四邊形45CE面積的最大值

為.

【答案】II

2

【解答】解：:?在RtZiZBC中，Z5=90°,AB=3,BC=4,

?'?^C=VAB2+BC2=^32+42=5-

經(jīng)分析，當DELZC于。時，四邊形48CE面積的最大.

???四邊形48CE面積的最大值為S四邊形ABCE-SAABJS沙CE-/"AB*BC+~~AC?DE

=「X3X4卷X5X1=￥

故答案為：21.

2

【變式5-1］如圖，正方形48CO的邊長為2,點尸是射線ZD上一個動點，點

Q在BP上,且滿足N5CQ=NAPC,則線段C0的最小值為（）

A.A/2B.1C.V5-1D.2^2-1

【答案】C

【解答】解：如圖，連接Z0,

ZBCQ=ZBPC,且ZCBQ=ZPBC,

：.ABCQs叢BPC,

：.BQzBC=BC：BP,

?：AB=BC,

:.BQ：AB=AB：BP,

'：NABQ=NPBA,

：./\ABQ^APBA,

：.ZAQB=ZBAP=90°,

.?.點。的運動軌跡是在以幺8為直徑的圓上，

如圖，取48中點。，連接0C交O。于。，則C。此時最小,

：.OB=1,

oc=d12+22=V5，

'：0Q=\,

???CQ=存L

故選：C.

【變式5-2］如圖，正方形48CQ的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作OC.點

尸為O。上的動點，連接成，并將AP繞點5逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到8P,連

接CP.在點尸運動的過程中，CP長度的最大值是（）

C.5V2-2D.3V2-2

【答案】/

【解答】解：連接PZ,PC,

VZABC=ZP'BP=90°,

.../PBA=/PBC,

,:BP'=BP,BA=BC,

:.△P'Bg^PBC(SAS).

：.PA=PC=2,

.,.P在以Z為圓心，2為半徑的圓