8.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課標(biāo)要求素養(yǎng)達(dá)成精細(xì)考點(diǎn)能夠運(yùn)用代數(shù)的方法研究直線與圓錐曲線之間的基本關(guān)系;能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實(shí)際問題,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想直線與圓錐曲線的位置關(guān)系通過判定直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)切線問題通過求切線問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)弦長與中點(diǎn)弦問題通過解決弦長與中點(diǎn)弦問題,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下面結(jié)論正確的有().A.直線與圓相交的充要條件是它們有兩個(gè)公共點(diǎn)B.直線與圓錐曲線相離的充要條件是它們沒有一個(gè)公共點(diǎn)C.直線與圓錐曲線相切的充分條件是它們只有一個(gè)公共點(diǎn)D.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們有兩個(gè)公共點(diǎn)2.(對(duì)接教材)已知雙曲線C:x23y2=1,直線l:x3y1=0,則直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為3.(對(duì)接教材)若直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則線段AB的長為.

4.(易錯(cuò)自糾)若直線y=x+2與橢圓x2m+A.(∞,0)∪(1,+∞) B.(1,+∞)C.(3,+∞) D.(1,3)∪(3,+∞)5.(真題演練)(2023·全國乙卷)設(shè)A,B為雙曲線x2y2A.(1,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,4)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例1已知雙曲線2x2y2=1,討論直線y=kx+2(k為實(shí)數(shù))與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).變式已知直線y=kx+2與雙曲線2x2y2=1的左支交于不同的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.1.判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù),2個(gè)時(shí)相交,1個(gè)時(shí)相切,0個(gè)時(shí)相離.(2)對(duì)于過定點(diǎn)的直線,也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有公共點(diǎn).2.判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系的方法(1)當(dāng)直線方程與雙曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)為0個(gè)時(shí)相離,為2個(gè)時(shí)相交.(2)當(dāng)直線方程與雙曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)要分為兩種情況:①當(dāng)消元后二次項(xiàng)的系數(shù)不為0時(shí),相切;②當(dāng)消元后二次項(xiàng)的系數(shù)為0(即直線與漸近線平行)時(shí),相交.3.判斷直線與拋物線的位置關(guān)系的方法(1)當(dāng)直線方程與拋物線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)為0個(gè)時(shí)相離,為2個(gè)時(shí)相交.(2)當(dāng)直線方程與拋物線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)要分為兩種情況:①當(dāng)消元后二次項(xiàng)的系數(shù)不為0時(shí),相切;②當(dāng)消元后二次項(xiàng)的系數(shù)為0(即直線與對(duì)稱軸平行或重合)時(shí),相交.訓(xùn)練1(1)過點(diǎn)M(0,1)且和拋物線C:y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為.

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB面積是△FA.23 B.23 C.23 切線問題典例2已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),過點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,若k≠0,試證明1kk11.處理切線問題的一般方法就是聯(lián)立方程組,消元后判別式為0.2.若P(x0,y0)是圓錐曲線C上的一點(diǎn),則過點(diǎn)P的C的切線l的方程為:(1)當(dāng)C為橢圓x2a2+y2b(2)當(dāng)C為雙曲線x2a2y2(3)當(dāng)C為拋物線y2=2px(p>0)時(shí),l為y0y=2px0注:(1)當(dāng)P在圓錐曲線C外時(shí),l為切點(diǎn)弦方程;(2)當(dāng)P在圓錐曲線C內(nèi)時(shí),l為切點(diǎn)弦過P點(diǎn)的點(diǎn)的軌跡方程.訓(xùn)練2過直線y=2上任意一點(diǎn)作拋物線y=2x2的切線,切點(diǎn)分別為A,B,若已知直線AB過定點(diǎn),則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

弦長與中點(diǎn)弦問題典例3已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn),l與x軸、y軸分別相交于M,N兩點(diǎn),且|MA|=|NB|,|MN|=21.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解;(2)當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),可利用弦長公式求解;(3)焦點(diǎn)弦還可以用焦點(diǎn)弦長公式求解.2.處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法:設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線的方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,y1(2)根與系數(shù)的關(guān)系:聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.訓(xùn)練3(1)直線y=ax+1與雙曲線3x2y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則用a表示AB的長為.

(2)若橢圓x24+y2非對(duì)稱韋達(dá)定理在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若Δ>0,設(shè)它的兩個(gè)根分別為x1,x2,則有根與系數(shù)關(guān)系:x1+x2=ba,x1x2=ca,借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理|x1x2|,1x1+1x2,x12+典例已知點(diǎn)A,B分別是橢圓Γ:x24+y23=1的左、右頂點(diǎn),過Γ的右焦點(diǎn)F作直線l交Γ于M,N兩點(diǎn)(不與A,B重合),設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k非對(duì)稱韋達(dá)定理問題的處理策略,主要是局部消元、逆用韋達(dá)定理等處理方法.方法一:和積轉(zhuǎn)換,將兩根之積(之和)用兩根之和(之積)表示,從而達(dá)到消元或約分的目的,其中和積關(guān)系式可以用待定系數(shù)法,令y1y2=λ(y1+y2)+μ(λ,μ是只與常數(shù)和參數(shù)有關(guān))求得;方法二:配湊局部代換,根據(jù)結(jié)構(gòu)形式,配湊成局部符合韋達(dá)定理進(jìn)行代換,轉(zhuǎn)化成只含某一個(gè)根的形式,從而達(dá)到消元或約分目的;方法三:運(yùn)用性質(zhì)對(duì)稱轉(zhuǎn)換,通過圓錐曲線中已有的性質(zhì),將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)稱式,從而可以使用韋達(dá)定理;方法四:逆向運(yùn)用韋達(dá)定理求坐標(biāo),通過韋達(dá)定理用一個(gè)坐標(biāo)表示另一個(gè)坐標(biāo),達(dá)到消元目的,要注意最值只保留一個(gè)根,且要注意消元后所得的一元二次方程的運(yùn)用.訓(xùn)練已知A,B分別為橢圓E:x29+y一、單選題1.直線y=32x+2與雙曲線x2A.相切 B.相交 C.相離 D.無法確定2.直線y=kxk+1與橢圓x29+A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定3.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F(1,0)的直線與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則|AB|=().A.6 B.8 C.10 D.124.橢圓x2a2+yA.12 B.32 C.22 二、多選題5.設(shè)橢圓的方程為x22+A.若直線方程為y=x+2,則|AB|=423C.直線AP與AQ可能垂直D.直線AB與PQ可能垂直6.已知雙曲線C:x2y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,拋物線yA.p=4 B.△F1PF2的周長為16C.△F1PF2的面積為26 D.cos∠F1PF2=6三、填空題7.已知直線l與雙曲線C:x2y2=2的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)M在雙曲線C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB的面積為.

8.橢圓C:x216+y29四、解答題9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中