3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）

一、選擇題

1.與直線2x—p+4=0平行的拋物線尸f的切線方程是（）.

A.2*—y+3=0B.2*—y—3=0

C.2x—y+l=0D.2x—y—1=0

解析，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（心，總），則切線斜率為2照，.

由2期=2得用=1,故切線方程為y—l=2（x—1）,

即2x—ry—1=0.

答案I）

2.函數(shù)y=4f+'的單調(diào)增區(qū)間為（）.

X

A.(0,+8)B.&4-0°j

C.(-8,—1)D.(-8,

解析由卜=4/+，得V=8x—4,令/>0,即8x—4>0,解得招,

XXX乙

:.函數(shù)尸4歲+11在$+8）上遞增.

X

答案B

3.已知F（力的定義域?yàn)镽,F（x）的導(dǎo)函數(shù)F（力的圖象如圖所示，則

）

A.f（x）在x=l處取得極小值

B.尸（力在*=1處取得極大值

C.f（x）是R上的增函數(shù)

D.F（x）是（-8,1）上的減函數(shù)，（1,+8）上的增函數(shù)

解析：由圖象易知r5）20在E上恒成立，所以f（x）在R上是增函數(shù).

答案：c

4.已知直線了=履是尸InA?的切線，則4的值為().

A.eB.-eC.-D.—~

ee

解析設(shè)(的In照)是曲線y=lnx與直線y=4x的切點(diǎn)，

由y'='知y'Ix=,xo=—

XAb

由已知條件：In—=j_,解得Xo=e,k=-.

AbAbe

答案c

5..函數(shù)f(x)=af+"在處有極值，則他的值為()

a

A.2B.-2C.3D.-3

解析f(x)=3a/+6,由fg)=3《［)+b=0,可得aZ?=-3.故選D.

答案D

6.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/<r),若滿足(4-1)￡(x)20,則必有().

A.AO)+f(2)<2/(1)B.f(0)+f(2)W2F(l)

C.f(0)+f(2)^2f(l)D.f(0)4-f(2)>2f(l)

x—120,(x—IWO,

解析不等式(x—Df(x)20等價(jià)于L、八或｝八

x>0(fxWO.

可知f(x)在(-8,1)上遞減，(1,+8)上遞增，或者f(x)為常數(shù)函數(shù)，因此f(0)+

F(2)22/(1).

答案C

7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,『(一1)=2,對(duì)任意x￡R,f(x)>2,則F(x)>2x+4的解集

為().

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(—8,—1)D.(—8,H-CO)

解析設(shè)g(x)=F(x)—2x—4,由已知g'(x)=F(x)—2>0,

則g(力在(-8,+8)上遞增，又g(—1)=/(-1)-2=0,

[flg(,x)=—2x—4>0.知》〉一1.

答案B

二、填空題

8.設(shè)函數(shù)F(*)=x(e'+D+/匕則函數(shù)F(力的單調(diào)增區(qū)間為.

解析：因?yàn)?'(*)=>(/+

所以FG)=e'+l+xe'+x=(e'+l)?(x+1).

令/U)>0,即(e.*+l)(x+l)>0,解得X>L1.

所以函數(shù)F(Y)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+oo).

答案：(一1，+°°)

9.函數(shù)f(x)=x—3x4-1在x=處取得極小值.

解析f(X)=3*—6*,令F(力=0,得M=0,照=2,當(dāng)*仁(一8,0)時(shí)，f(x)>0,

當(dāng)(0,2)時(shí)，fUX0,當(dāng)x￡(2,+8)時(shí)，f(x)>0,顯然當(dāng)x=2時(shí)f(x)取極小值.

答案2

10.若曲線F(x)=af+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)&的取值范圍是______.

解析,:f(*)=5a*'+；,xe(0,+8),

工由題意知5af+,=0在(0,+8)上有解.

X

即&=一3在(O,+8)上有解.

VxG(0,+8),/.—(―℃,0)..??&￡(—8,o).

□x

答案(一8,0)

11.函數(shù)函x)=H&r-LQX))的單調(diào)遞減區(qū)間是.

4x*

解析由ax—V20(a>0)解得OWxWa,即函數(shù)F(x)的定義域?yàn)閇0,a],F(^)=—==

2yax—x

3a

,由6(x)<0解得*2丁，因此/V)的單調(diào)遞減區(qū)間是7，

yjax-x4

答案

12.已知函數(shù)f(x)=x[x~a).

若f(x)在(2,3)上單調(diào)則實(shí)數(shù)a的范圍是

若〃/)在(2,3)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的范圍是

解析由f(x)=第一ax?得f(x)=3/-2ax=3

9

若f(x)在(2,3)上不單調(diào)，則有解得：3<a<-

三、解答題

13.已知函數(shù)f(x)uaf+,inx在x=\處有極值)

(L)求輸b的值;

(2)判斷函數(shù)y=Ax)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=af+㈤nx,

所以r(x)=2ax+-

x

又函數(shù)Ax)在x=l處有極值;，

f1=0,2a+6=0,解得卜斗

所以L1即(1

f1=-a=-tU=-i.

2

⑵由⑴可知f(x)=L-ln.x,其定義域是(0,+8),且fU)=x--=

4X

x-1

x?

當(dāng)X變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X(0,1)1(1,+°°)

f1(x)—0+

F(，x)極小值

所以函數(shù)尸F(xiàn)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,4-00).

14.已知/'(x)=e'—ax—1.

(1)求〃X)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若Ax)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

解析：(1);F(x)=ex—ax—1,:.f(x)=ex—a.

令f(AT)>0,得e'>a,

當(dāng)&W0時(shí)，有F(x)〉0在R上恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)，有*2Ina.

綜上，當(dāng)a<0時(shí),F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8.+oo).

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［Ina,+?>).

⑵由⑴知］(x)=e'-a

???f(x)在R上單調(diào)遞增，:.￡(M=e*—&20恒成立，

即aWer,￥￡R恒成立.

???x￡R時(shí),e'e(0,+~),.'.aWO.

即a的取值范圍為(-8,0］.

15.已知函數(shù)/'(x)=，一打;—1

(1)若/?(*)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a使“*)在(-1,1)卜單調(diào)遞減？若存在.求出a的取值范圍：若不存在

試說(shuō)明理由.

解析(l)f(才)=3。一&

由4W0,即124W0,解得aWO,

因此當(dāng)f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增時(shí)，a的取值范圍是(一8,0].

(2)若/*5)在上單調(diào)遞減，

則對(duì)于任意(―1,1)不等式f(x)=3寸一aWO恒成立

即a23系又>￡(-1,1),則3/<3因此心3

函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)&的取值范圍是[3,4-?>).

16.已知函數(shù)/'(*)=alnx—ax—3(a￡R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)尸F(xiàn)J)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45。，對(duì)于任意的￡￡[1,2],

函數(shù)g(x)=/+J/x+外在區(qū)間(。3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求w的取值范圍.

解析(1)根據(jù)題意知，f(力1j(x>0),

X

當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為(1,4-oo);

當(dāng)aVO時(shí)，〃力的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]；當(dāng)a=0時(shí)，M

不是單調(diào)函數(shù).

(2)vr⑵=一慨