第六章平面向量、復數(shù)

第5講解三角形應用舉例

課標要求命題點五年考情命題分析預測

能用余弦本講知識單一，主要考查利用正、余弦定理求解距

余弦定2021全國卷

定理、正離、高度、角度問題，對數(shù)學建模能力的要求較高，

理、正弦乙T9；

弦定理解一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度中等.在2025年高考的備

定理應用2021全國卷

決簡單的考中要提升閱讀理解能力，要能夠從文字信息中提取

舉例甲T8

實際問題.出解三角形的模型.

n學生用書P129

測量中的常用術語

術語名稱術語意義圖形表示

在豎直平面內的目標視線與水平視線所成

/目標

/視線

仰角與的角中，目標視線在水平視線①上方掌《角水平

I飛角視線

俯角的叫做仰角，目標視線在水平視線②下、，目標

視線

方的叫做俯角.

從某點的指北方向線起按順時針方向到目

方位角標方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位卡"

角。的范圍是0W0<2兀.

北t北t

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳

方向角+卜

角，通常表達為北(南)偏東(西)a.

北偏東a南偏西a

設坡角為a,坡度為3則，=^=tana.

坡角與坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角.坡面

坡度的垂直高度人和水平寬度/的比叫坡度.

1

1.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取/,8兩點(/,8與樹所在的直線在同一

平面內)，從4,3兩點測得樹尖尸的仰角分別為30。和45。，且/,B

兩點之間的距離為60m,則樹的高度為(A)

A.(30+30K)mB.(30+15V3)m

A60m3

C.(15+30V3)mD.(15+3V3)m

解析解法一在尸中，由正弦定理可得一⑷6。,。。）=品,則.=言=3°（逐

+V2）.

設樹的高度為〃m,則h=PBsm45°=30+30V3.

解法二設樹的高度為〃m,則/2=」一一一^=60,解得〃=30+30b.

tan30°tan45°

2.［易錯題］兩座燈塔4和3與海岸觀察站C的距離相等，燈塔/在觀察站北偏東40。，燈

塔3在觀察站南偏東60。，則燈塔/在燈塔2的（B）

A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°

解析燈塔4,2的相對位置如圖所示，由已知得N/C5=80。，NC4B=1

■v-'

/CA4=50°,則a=60°-50°=10°,即北偏西10°,故選B.'

3.［教材改編］已知A船在燈塔C的北偏東85。方向且A到C的距離為2km,B船在燈塔C

的西偏北25。方向且8到。的距離為舊km,則/,3兩船的距離為（A）

A.V13kmB.V15kmC.2V3kmD.3V2km

解析畫出圖形如圖所示，由題意可得（90°-25°）+85°=150°,“一

■

又/C=2,SC=V3,在△NBC中，由余弦定理可得/^n/G+BC2一

2ACBC-COS150°=13,所以即N,8兩船的距離為gkm.

6學生用書P130

命題點余弦定理、正弦定理應用舉例

角度1距離問題

例1［2023合肥市二檢］如圖，某地需要經過一座山兩側的。，￡兩點修建一條穿山隧道.工

程人員先選取直線DE上的三點/,B,C,在隧道0E正上方的山頂P處測得/處的俯角

為15。，8處的俯角為45。，C處的俯角為30。，且測得/8=1.4km,BD=Q.2km,CE=0.5

km,則擬修建的隧道的長為0.7km.

解析由題意知，ZPAB=15°,ZPBC=45°,NPCB=3Q°,所以/APB=NPBC—NPAB

ZBPC=180°~ZPBC-ZPCB=l05°,在△尸中，由正弦定理得=

=30°,sinz.APB

PB

則標=玄，所以P2=2.8sml5°(km).

sin^PAB9

BC

在△依中，由正弦定理得標則上=_^所以痂

CsinzBPC,sin30°sinl05o：5C=Xsinl05°=

2PBXsin105°=5.6sin15°-sin105°=5.6sin15°cos15°=2.8sin30°=1.4(km),所以DE=

5C-5D-￡C=1.4-0.2-0.5=0.7(km),

即擬修建的隧道DE的長為Q.7km.

角度2高度問題

例2[2021全國卷甲]2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪

峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方

法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有B,C三點，且

A,B,C在同一水平面上的投影，，B',。滿足44。*=45。，ZA'B'C'='二:

60。.由。點測得2點的仰角為15。，B皮與CC的差為100；由8點測得/點的仰角為45。,

貝I]/,。兩點到水平面/皮。的高度差4T-C。約為（b-1.732）（B）

A.346B.373C.446D.473

解析如圖所示，根據(jù)題意過C作CE〃。皮，交BB'于E,過B作BD〃AB,交4r于

D,則BE=100,CB=CE=-^~.

''tanl5°

在△/'C?中，/C'A'B'=75°,則BD=4'B'=c'B"sin45。.又在?點處測得4點

sin75°

的仰角為45。，所以/￡>=§￡>=C'B、sin45。,所以高度差44，—cc，=N￡>+3￡=

sin750

100.._o__V2

空坐+100=即:n45+100=%嚶+100=詈｝+100=100(V3+1)+100^373.

sin75°sin75°sinl50二一夜

-4~

故選B.

角度3角度問題

例3如圖所示，位于4處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的8處

有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西

30°,相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東。的方向即沿直線C2

前往8處救援，則cos0=_^_.

解析在△/8C中，AB=40,AC=20,ZBAC=120°.

由余弦定理，得120。=2800,所以3c=2077.

由正弦定理，得sin//C2=^-sin/R4C=包.

BC7

由NA4C=120°,知N4C5為銳角，故cosN4cg=手，從而cos9=cos(N4C5+30。)=

cosZACBcos300—sinN4cgsin30°=—X—--Xi=—.

727214

方法技巧

1.解三角形實際問題的一般求解步驟

（1）分析.理解題意，分析已知與未知，畫出示意圖.

（2）建模.根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與所求量盡量集中在相關的三角形中，建

立一個解三角形的模型.

（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學模型的解.

（4）檢驗.檢驗上述所求出的解是否具有實際意義，從而得出實際問題的解.

2.對于立體測量問題，通常要轉化為兩類平面問題，一類是豎直放置的平面，通常要解直

角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.

訓練（1）如圖，為測量某塔的高度C￡>,在點N測得塔底在北偏東60。

方向的點。處，塔頂C的仰角為30。.在點A的正東方向且距離D點、50

m的2點測得塔底在北偏西45。方向，則塔的高度CD約為（參考數(shù)

據(jù)：傷心2.4）（C）

A.30mB.35mC.40mD.45m

解析由題意知，BD=50m,/DAB=NDAC=30°,ZDBA=45°,在中，由正弦

定理得磊=含則40=50夜m,所以tan/ZMC=—=—廣=一,得■CD=---弋

AD50V233

40（m）,故塔的高度CD約為40m.故選C.

（2）［多選］一艘輪船航行到/處時看燈塔2在/的北偏東75。方向，距離為12連海里,

燈塔C在/的北偏西30。方向，距離為12g海里，該輪船由/沿正北方向繼續(xù)航行到。

處時再看燈塔8在其南偏東60。方向，則下列結論正確的有（ABD）

A./Z）=24海里

B.CD=12海里

C.ZCDA=60°或/CDA=120°

D.ZCDA=60°

解析如圖，由題意得N3/D=75°,ZCAD=30°,ZADB=60°,AB=

12迎海里，/C=12百海里，在中，易得2=45°,由正弦定理得

3,

黑=磊，則4D=上步=24（海里），故A正確.在中，由余

sin45sin60見

2

弦定理得COZn/c+N。2—2X/CXN￡）XCOS30°,得CD』（12百）2+242-

2X12V3X24X—=144,所以CD=12海里，故B正確.在中，由正弦定理得-^-=

2sin30°

A-,得sin/CD4=^%=^,故/C7M=60°或=120°,因為所以

sinz.CDA122

/CD4為銳角，所以NCO/=60°,故C錯誤，D正確.故選ABD.

1.［角度1］如圖，曲柄連桿機構中，曲柄C3繞C點旋轉時，通過連桿的傳遞，使活塞

做直線往復運動.當曲柄在C為位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點/在恁處.設

連桿AB長200mm,曲柄CB長70mm,則曲柄自C為按順時針方向旋轉53.2。時，活塞移

動的距離（即連桿的端點/移動的距離/B）約為36mm.（結果保留整數(shù)，取sin53.2。

W）

I.

解析解法一在△N8C中，AB=200mm,5C=70mm,ZACB=53.2°,sin/NC3=(由

正弦定理得sin/R4C=空辿*=口，由題意知/2/C,N/C3均為銳角，所以cos/2/C

=[]_([)2=||,cosZACB=Jl-(.)2=|,所以sinN/5C=sin(ZACB+

ABAC)=-X—+-X—=一,所以/C=----------=200X-X-=234(mm),故/自=

525525125smZ-ACB1254

(4)5o+&C)~AC=(200+70)-234=36(mm),即曲柄自C&按順時針方向旋轉

53.2。時，活塞移動的距離約為36mm.

解法二因為/NC5=53.2°,sinZACB=^,且//C8為銳角，所以cos/4cB=

Jl-si/乙4cB=2.在△4BC中，由余弦定理可得/52=/C2+BC2-2></CXBCCOSN/C2,

解得NC=234mm(負值舍去),故4^4=(A0B0+B0C)~AC=(200+70)—234=36

(mm),即曲柄自C為按順時針方向旋轉53.2。時，活塞移動的距離約為36mm.

2.[角度2]如圖，為測量山高MV,選擇/和另一座山的山頂C為測量?*

觀測點，從點4測得點M的仰角/MNN=60。，點C的仰角/C48=45°廠：：/

以及/M4C=75。；從點。測得/MCN=60。，已知山高BC=100m,貝|''；-

4u

山高MN=150m.

解析在△4BC中，因為/A4C=45°,ZABC=9Q°,5c=100,所以/C=B-=100夜.

sin45

在中，因為NM4C=75°,ZMCA=60°,所以N4WC=45°,由正弦定理可得衛(wèi)”

sin600

=鱉2解得/河=100b.在Rt^4W中，jW=/MsinNM4N=100bXsin60°=150^

sin45°

以山高MV為150m.

(---------------------)練習幫:練透好題精準分層-----------------------------

。學生用書?練習幫P325

■礎練知識四關

1.[2024黑龍江省實驗中學開學考試]中國古代四大名樓之一鸛雀樓，位于山西省運城市永

濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而聞名遐邇.如圖，某同學為測量鸛雀

樓的高度MN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物/瓦高約為37m,在地面上點。處

(B,C,N三點共線)測得建筑物頂部/,鸛雀樓頂部M的仰角分別為30。和45。，在N

處測得鸛雀樓頂部M的仰角為15。，則鸛雀樓的高度約為(B)

A.64mB.74mC.52mD.91m

解析在RtZXZBC中，ABLBC,AB=37,ZACB=30°,所以4C=2/5=74,在

及△ACVC中，NC上MN,NMCN=45。,所以ACV=MCsin45。=/M。.由題意，/MAC=

15°+30°=45°,ZMC4=180°-45°-30°=105°,故180°—105°—45°=30°.在

MC4c行MC74

△/CW中，由正弦定理付。故MC=￥=74所以MN

sinz.MACsinz.AMCsin45sin30Q,

=yX74V2=74,故選B.

2.［設問創(chuàng)新/多選〃024江蘇南通階段檢測］重慶的解放碑是重慶的地標性建筑，吸引了眾

多游客打卡拍照.某中學數(shù)學興趣小組對解放碑的高度進行測量，并繪制出測量方案示意

圖，如圖所示，4為解放碑的頂端，8為基座（8在/的正下方），在

步行街（與8在同一水平面內）上選取C,。兩點，測得C￡＞的長為

100m.小組成員利用測角儀已測得//CB=g則根據(jù)下列各組中的測量,3

數(shù)據(jù)，能計算出解放碑高度的是（ABD）'n

A.ZBCD,ZBDCB.ZACD,ZADC

C.ZBCD,ZACDD.ZBCD,ZADC

解析對于A,根據(jù)CD,ZBCD,ZBDC,可解三角形求得C3,從而在RtZ\48C中求得

AB,所以A符合題意.

對于B,根據(jù)CD,ZACD,ZADC,可解三角形求得/C,從而在RtZ\/8C中求得N8,

所以B符合題意.

對于C,根據(jù)CD,ZACB,ZBCD,N/CD四個條件，無法通過解三角形求得48,所以

C不符合題意.

對于D,第一步，/ACB已知,在RtZ\4BC中，用48表示出3C,AC;第二步，在

△BCD中，根據(jù)余弦定理用表示出AD,在△/€?￡（中，根據(jù)正弦定理用48表示出

AD-,第三步，在中，利用勾股定理列方程，即可求得48.所以D符合題意.

3.［2023皖豫名校聯(lián)考］如圖，一艘巡邏船由南向北行駛，在/處測得某山

的底部。在北偏東15。方向上，勻速向北航行20min到達3處，此時測得

該山的底部C在北偏東60。方向上，測得山頂P（尸在C正上方）的仰角為

60°,已知山的高度為2遮km.則巡邏船的航行速度為6（』+1）km/h.?

i

解析由題意知，在△3C尸中，PC=2V3km,ZPBC=60°,故tan/P8C=￥=仃，得

5C=2km.在中，々0=60」15。=45。，則嬴嬴=嬴而即，上一=_與_

sin15°sin45°'

sin15°=sin(45°—30°)="以，所以ABudlX-p=2(V3+1)(km).所以巡邏船

476—72

的航行速度為2(遍+1)+：=6(V3+1)(km/h).

4.[2023鄭州一中期中]如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)某海域上有三個

小島，小島3位于小島/北偏東75。的60海里處，在小島8北偏

東15。方向上，相距(30國一30)海里處有一個小島C.

(1)求小島/與小島C之間的距離；

(2)如果有游客想直接從小島/出發(fā)到小島C,求游船航行的方

向.

解析(1)在△4BC中，NB=60,3c=30舊一30,/4BC=180°—75°+15°=120。，根

據(jù)余弦定理得，AC2^AB2+BC2-2ABBC-COSZABC^602+(30V3-30)2-2X60X

(30百一30)義cos120。=5400,得NC=30限

小島/與小島C之間的距離是30歷海里.

AC_AB

(2)根據(jù)正弦定理得,

sinz.ABCsinz.ACB'

?

30V6_60得sinZACB=—

(*sml20°-sinZi4CB,f

又,.?0。</4。5<60。，ZACB=45°f

：.NG45=180。一120°-45°=15°.

由75。-15°=60°得，游船應該沿北偏東60°的方向航行.

能力練；一國美

5.[2023貴州診斷]鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中，已知

人眼距離地面高度〃=1.5m,某建筑物高〃i=4.5m,將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后

退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測量人與鏡子間的距離必=1.2m,將鏡子后移

am,重復前面的操作，測量人與鏡子間的距離念=3.2m,貝lja=(A)

A.6B.5C.4

解析如圖，設建筑物最高點為N,建筑物底部為。，第一次觀察時鏡面位置為8,第一

次觀察時人眼睛位置為C,第二次觀察時鏡面位置為D,設。到8之間的距離為aom,

1>

由光線反射性質得//50=NCAD,所以tan/4B0=tan/CAD,即也=以①，同理可得

GOtti

-^-=—②,

。0十aa2

由①②可得—=也，解得ao=/lL,代入①整理得°=同S2jai)=4.5X,/T2)=6,故

aa-a

CLQl2l九1-5

選A.

6.［背景創(chuàng)新］1471年，德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部

位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(即視角最大，視角是指由物體兩端引出的兩條光線在眼球

內交叉而成的角)？這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和

水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作

圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山頂上

的鐵塔，塔高90m,山高160m,此人站在對塔“最大視角”(忽略人身高)的水平地面

位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為(B)

解析如圖，由諾德爾教授對米勒問題的解答，設此時的視角為0,易知塔

底距離地面的高度為5C=160m,塔頂離地面的高度為NC=90+160=250

°L

(m),則人距塔的距離CD=，4C-BC=200m,由/C=90°得

JBC2+CD2=40V41(m),,

AD=JAC2+CD2=50V41(m),則在△AftD中cos故sin。=

Jl-cos20=Jl-(詈)2=*故選B.

7.［2024青島市檢測］海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地

球給人類保留宇宙秘密的最后遺產”.若要測量如圖所示某藍洞口邊緣/,

2兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=8海里，

ZADB=135°,/BDC=NDCA=15°,N/C3=120。，則/,3兩點間的

距離為」金海里.

解析如圖所示，在△4CD中，ZADC=ZADB+ZBDC=135°+15°

=150°,ZDCA=15°,則/ZMC=180°—150°—15°=15°,即△/CD

為等腰三角形，又CD=8,所以40=8.在△BCD中，/BDC=15°,ZDCB=ZDC