.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式知識(shí)點(diǎn)一交點(diǎn)坐標(biāo)及其應(yīng)用【【解題思路】求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．【例1-1】（23-24高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】……①……②①+②得：……③③代入②有：……④由③④得交點(diǎn)坐標(biāo)為：.故選：B.【例1-2】（24-25高二上·江蘇·假期作業(yè)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即交點(diǎn)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.故選：A【例1-3】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）過直線與的交點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，而該直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即.故選：A【變式】1．（22-23高二上·全國(guó)·期中）（多選）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】AC【解析】聯(lián)立方程，解得，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，可得，解得故選：AC.2．（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直線，則與的交點(diǎn)坐標(biāo)為；若直線不能圍成三角形，寫出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)的值．【答案】答案不唯一（只需寫出中的一個(gè)即可）【解析】解方程組，得，所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為；由得，直線恒過定點(diǎn)；若直線不能圍成三角形，只需經(jīng)過，或與平行，或與平行.當(dāng)經(jīng)過時(shí)，圖1所示，，；當(dāng)與平行時(shí)，圖2所示，，；當(dāng)與平行時(shí)，圖3所示，，.故答案為：；或或（只需寫出中的一個(gè)即可）.

圖1

圖2

圖34．（2024·上海奉賢）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)a滿足的條件是.【答案】/【解析】由，可得，由關(guān)于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：知識(shí)點(diǎn)二兩點(diǎn)間的距離【【解題思路】計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．【例2-1】（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，那么兩點(diǎn)之間的距離等于.【答案】3【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，則，所以兩點(diǎn)之間的距離等于3.故答案為：3.【例2-2】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，則兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，，解得，故，則兩點(diǎn)間的距離為.故選：C【例2-3】（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）點(diǎn)到直線：（為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值是．【答案】【解析】將直線方程變形為，令，解得，由此可得直線恒過點(diǎn)，所以到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于，又，所以到直線的距離的最大值為．故答案為：【變式】1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，則（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】因?yàn)?，則,故選：2．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)到直線：與：的交點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以原點(diǎn)到交點(diǎn)的距離為，故選：C.3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】或【解析】，化簡(jiǎn)為，解得：或.故答案為：或知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)到線的距離【【解題思路】點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．【例3-1】（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）原點(diǎn)到直線間的距離是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】原點(diǎn)到直線間的距離是：.故選：A【例3-2】（22-23高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．或.【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為軸上一點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離等于1，可得，整理得，即，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.【變式】1．（23-24·江蘇泰州·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，，所以直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或.故選：C.3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）若點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】或【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，所以解得：或故答案為：或知識(shí)點(diǎn)四兩條平行線的距離【【解題思路】?jī)蓷l平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【例4-1】（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）兩平行直線和之間的距離為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】平行直線和之間的距離.故選：A【例4-2】（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）（多選）已知兩條平行直線，，直線，直線，直線，之間的距離為1，則的值可以是（

）A． B． C．12 D．14【答案】BD【解析】將直線化為，則，之間的距離，即，解得或．故選：BD．【變式】1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，解得，所以，故兩平行直線間的距離．故選：C．2．（23-24高二下·青海海東·階段練習(xí)）若直線與直線平行，則直線與的距離為.【答案】/【解析】由于與平行，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線平行，符合題意；綜上所述：，兩直線方程分別為，所以直線與的距離為.故答案為：.3．（23-24高二下·浙江·期中）若直線與直線平行，則，它們之間的距離為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線的方程可化簡(jiǎn)，而直線，即直線，它們之間的距離為，故答案為：；.知識(shí)點(diǎn)五對(duì)稱問題【【解題思路】(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決．(3)點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)A′(m，n)則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))(4)線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決．在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解【例5-1】（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.【例5-2】（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于直線，將換為，換為得到，即，所以直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是.故選：C【例5-3】（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得，則直線與直線交于點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，依題意，，整理得，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，即，所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.故選：D【變式】1．（23-24高二上·山東泰安·期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.2．（23-24高二上·廣東佛山·期中）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B3．（22-23高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，又因?yàn)樵谏?，所以，即。故選：B4．（22-23高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.5．（23-24高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線，直線，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，∵點(diǎn)在直線上，即，∴，化簡(jiǎn)得，即為所求直線方程.故選：B.6．（23-24高二上·廣東深圳·期中）與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在所求直線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，故所求直線方程為，即.故選：A.7．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）兩直線方程為，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立直線和的方程，得到，故直線和的交點(diǎn)為，在上取一點(diǎn)，設(shè)它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，整理得，解得，即，由，，可得所求直線方程為，即，故選：C.知識(shí)點(diǎn)六將軍飲馬【例6-1】（2024·陜西西安·一模）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，所以“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：C【例6-2】（23-24高二上·河北石家莊·期中）已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，顯然點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，解得，，即點(diǎn)，由對(duì)稱性知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：C【例6-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【解析】，表示平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，連接，與軸交于，此時(shí)直線方程為，令，則的最小值為，此時(shí)故選：C．【變式】1．（23-24高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．4 D．【答案】B【解析】如圖所示，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,則,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，又,故的最小值為5,故選：B.2．（23-24高二上·重慶·期末）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，設(shè)，則的幾何意義為的值，如圖，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，為.而，即的最小值為，所以的最小值為.故選：D3．（23-24高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為5【答案】B【解析】如圖所示：由題意可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，則，解得，即，對(duì)于A，直線的斜率為，所以將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是，即，故A正確；對(duì)于B，聯(lián)立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即“將軍飲馬”走過的總路程為，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地兩廠在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)分別為，一條河所在直線的方程為.若在河上建一座供水站，則到兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）A． B．32 C． D．48【答案】A【解析】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則得即，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：A【題組一交點(diǎn)坐標(biāo)及其應(yīng)用】1．（23-24高二下·上海·期中）直線，若三條直線無法構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)可取值的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】①時(shí)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；②時(shí)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；③時(shí)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；④三條直線交于一點(diǎn)，解得或，則實(shí)數(shù)可取值的集合為，即符合題意的實(shí)數(shù)共6個(gè).故選：D2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____．【答案】【解析】由題意可得，解得，且，故答案為：3．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）若直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】由題意，直線，，交于一點(diǎn)，所以，得，所以直線過點(diǎn)，得，求解得.故答案為：4．（2023·江蘇·高二）設(shè)三直線；；交于一點(diǎn)，則k的值為______．【答案】1【解析】聯(lián)立，解得，即與交于點(diǎn)，依題意可知，，解得.故答案為：.【題組二兩點(diǎn)間的距離】1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【解析】A，B兩點(diǎn)間的距離為.故選：B2．（2023·安徽省亳州市）光線從點(diǎn)射到軸上，經(jīng)軸反射以后過點(diǎn)，光線從A到B經(jīng)過的路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則光線從A到B經(jīng)過的路程為的長(zhǎng)度，即.故選：C.3．（2024·云南）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則過A點(diǎn)的中線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)過A點(diǎn)中線長(zhǎng)即為線段AD.D為BC中點(diǎn)：，即D（4，2）∴故選：B.4．（2024湖北）直線l：4x﹣y﹣4＝0與l1：x﹣2y﹣2＝0及l(fā)2：4x+3y﹣12＝0所得兩交點(diǎn)的距離為（）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得，即，由得，即，則|AB|.故選：D【題組三點(diǎn)到線的距離】1．（23-24高二下·湖北·期中）已知直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【解析】直線可化為，令，解得，于是此直線恒過點(diǎn).由點(diǎn)到直線的距離公式得到直線的距離.故答案為：2．（23-24北京順義·階段練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)，使它到直線的距離等于原點(diǎn)到l的距離，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】或【解析】設(shè)直線上的點(diǎn)為，點(diǎn)直線的距離為，原點(diǎn)到l的距離為，所以，解得或，所以此點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故答案為：或.【題組四兩條平行線間的距離】1．（23-24河南信陽(yáng)）直線與直線之間的距離為．【答案】/【解析】的方程可化為，與平行，由平行直線之間的距離公式可得.故答案為：.2．（23-24高二下·上海·期中）設(shè)，若直線與直線之間的距離為，則的值為．【答案】2或【解析】由題意可得，解得或，故答案為：2或3．（22-23高二下·上?！て谀┮阎本€與直線互相平行，則它們之間的距離是.【答案】【解析】由直線與直線互相平行，得，則直線與直線的距離為：.故答案為：4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若直線與直線之間的距離不大于，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】【解析】直線化為，則兩直線之間的距離，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.【題組五對(duì)稱問題】1．（23-24高二上·上?！て谀┮阎c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為．【答案】【解析】設(shè)直線l的的斜率為k，則，直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以由點(diǎn)斜式寫出直線方程為，即.故答案為：.2．（23-24高二上·北京西城·階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以對(duì)稱點(diǎn)為，故答案為：3．（23-24重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】由直線化為，令，解得，于是此直線恒過點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，∴．故答案為：4．（23-24高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）已知直線與直線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)A，所以聯(lián)立，解得，即.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故，解得，即點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：.5．（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】在直線上取點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，所以，所求直線方程為，即.故答案為：.6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．故答案為：7．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn),設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，由于在直線上，所以，即，故答案為：8．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是 【答案】【解析】在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，9．（2023·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是【答案】【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.10．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）已知直線，試求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程．【答案】【小題1】【小題2】【小題3】【解析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有題意可得，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）由可得，直線與直線的交點(diǎn)為，再在直線上取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則由解得，即．由題意可得、兩點(diǎn)是所求直線上的兩個(gè)點(diǎn)，則直線斜率為，則直線方程為，化簡(jiǎn)為．（3）在直線上任意取出兩個(gè)點(diǎn)，求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)分別為由題意可得，是所求直線上的兩個(gè)點(diǎn)，則直線斜率為3，則所求直線方程為，即．11（2024陜西）已知直線，點(diǎn)．求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）設(shè)，由得，則，解得，故.（2）在直線上取一點(diǎn)，如，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)必在上，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，設(shè)與的交點(diǎn)為，則由，解得，即，又經(jīng)過點(diǎn)，故，所以直線的方程為，即.（3）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€上，所以，即直線的方程為.

【題組六將軍飲馬】1．（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則y可看作x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，即，則可知當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即．故選：A.2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知點(diǎn)，，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以．故選：C.3．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知兩定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【解析】作出圖形知在直線的同側(cè)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則.故選：D.4．（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】由于直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩直線平行，故，則，由于點(diǎn)在直線上，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，故在上，代入可得，故，故選：A5．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/p>