2025高考數(shù)學專項?？级壗Y(jié)論

及其應用（含答案）

常考二級結(jié)論及其應用

縱觀中學數(shù)學教材,基本上是由題組成的（除了部分概念的介紹），而高考試題大部分都源于教

材.編教材離不開題，授課離不開題，學數(shù)學離不開題，考試更離不開題.實際上高考試題大都是通過

對教材例題和習題加工、改造、引申、推廣而成的，不僅如此.試題的表現(xiàn)方式和語言表達也盡可能與

教材保持一致，使考生有一種似曾相識的感覺，所以我們要仔細琢磨*把教材上的題研究到位.結(jié)合高

考真題，最終我們獨創(chuàng)了“題型+模型”的全新教學法，本篇將把高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)而且教材上有所

體現(xiàn)的部分二級結(jié)論呈現(xiàn)給大家,部分結(jié)論對學生的解題有很好的指導作用，同時對演算結(jié)果有精準

的驗證作用，以便同學們在解答高考題時做到準確、快捷.

雷結(jié)論*~r

1.子集、交集、并集、補集之間的一個關(guān)系式:AIB今AnB=AmuB=B^AAC=0OCU

B=/,其中/為全集.

（1）當A=B時，顯然成立；

（2）當A基B時，Venn圖如圖2T所示，結(jié)論正確.

2.子集個數(shù)的問題：若一個集合A含有EN*）個元素*則集合A的子集有2"個，非空子集有

2"-1個.真子集有2"—1個，非空真子集有2"一2個.

理解:A的子集有2”個，從每個元素的取舍來理解，例如每個元素都有兩種選擇，則n個元素共有

2"種選擇.該結(jié)論需要掌握并會靈活應用.

御口設集合A=（（紀，”<,B={Gr,y）|y=3"},則A口8的子集的個數(shù)是（）.

v-------'（4IoJ

A.4B.3C.2D.1

變式1已知集合4={Z|x2—3x+2=0GR）={x|OVz<5,NGN），則滿足條件A

SB的集合C的個數(shù)為（）.

A.lB.2C.3D.4

（例2）已知為集合/的非空子集,且M,N不相等，若N口則MUN=（）.

A.MB.NC.ID.0

變式1設集合A={了|x2-6x+5=0},B={rc|az—1=0},若A「B=B，則由實數(shù)a的所有可

能取值組成的集合C為（）.

b-{14}c-{o,i4}D,1044}

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雷結(jié)論二

交、并、補(且、或、非)之間的關(guān)系(德?摩根定律).

(1)集合形式：匕(AnB)=(C,A)u(C,B),Cf(AuB)=(C,A)n(C；B)；

(2)命題形式：r(pAq)=(rp)V(rq),r(p\Jq)=(rp)八(rg).

(例3)設全集U={a,6,c,d},集合A={a"}={6,c,d},則(C0A)U(C0B)=.

變式1已知全集U=AUB中有機個元素，(CuA)U(CuB)中有”個元素.若AAB非空，則

AAB的元素個數(shù)為().

A.mnB.m+C.n一mD.m一n

變式2寫出下列命題的否定.

(1)命題力Vq：A=O或B=0；

(2)命題pAq：A=0且B=0.

雷結(jié)論三

奇函數(shù)的最值性質(zhì)：已知函數(shù)/'(了)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的rceD,都有/■(￡)+

/(—7)=0.特別地，若奇函數(shù)/(無)在定義域D/上有最值，則戶無)mx+yCzOwMO,且若oeDf,

則/(0)=0.

證明：因為/(%)為奇函數(shù)，所以VxGD,一力GD,且f(—x)=—/(Z),即f(oc)+/(—x)=0.

若oeD,，令久=0,則有/xo)+/(—o)=o,即f(o)=0.

若奇函數(shù)/(之)在D/上有最值，設/(力)max=f(，0)，則/(，0))/(])(%GD),

所以/(—)=—/(￡())&一/(￡)=/■(—1)(一式GD),即/(N)min=/(—10).

由/(Xo)+/(—Z0)=0,得f(X)max+/(1)min=0.

gHJ設函數(shù)一了)=+D,；+匕皿的最大值為M,最小值為租,則M+根=.

變式1已知函數(shù)〃了—3x)+1，則4Ig2)+/(lgj=().

A.-1B.0C.1D.2

變式2對于函數(shù)/'(久)=Qsimc+6K+C(其中a,。GR,c6Z)，選取a,b,c的一組值計算/'(1)和

f(—1),所得出的正確結(jié)果一'定不可能是().

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

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雷結(jié)論四

若函數(shù)y=/(了)是定義在非空數(shù)集D上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)v=/T(z).特別地,y=ax與

y=logaj;(a〉0且a71)互為反函數(shù)，兩函數(shù)圖像在同一直角坐標系內(nèi)關(guān)于直線y=x對稱，即

(X0，f(式0))與(/(10)，]0)分別在函數(shù))=/(憶)與反函數(shù)1y=fT(%)的圖像上.

:例5)設點P在曲線'=9e"上，點Q在曲線y=ln(2工)上，則[PQ]的最小值為().

A.1-ln2B.V2(l-ln2)C.l+ln2D.A/2(1+ln2)

變式1若11滿足+2①=5,久2滿足2比+21og2(久一1)=5,則11+久2=().

57

A.yB.3C.—D.4

重結(jié)論五

函數(shù)周期性問題：已知定義在R上的函數(shù)/(了)，若對任意的zeR,總存在非零常數(shù)T,使得/■(了+

T)=/(_r),則稱外了)是周期函數(shù)，T為其一個周期.

除周期函數(shù)的定義外，還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：

(1)如果/(工+a)W0),那么了日)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=2a;

(2)如果/(z+a)=W0),那么/(了)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=2a;

J\x)

(3)如果+a)+/(Z)=c(aW0),那么fCx)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=2a；

(4)如果/■(￡)=/(久+。)+/(久一。)(。70),那么了(支)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=6a.

證明：(1),(2),(3)略.

(4)若/'(1)=/(尤+a)+/(久一a)①

則/(%+a)=/(1+2a)+/(力)②

①+②得，/(久)+/(2+a)=f(oc+□)+/(￡—a)+f(oc+2a)+/(久)，

即f(x'—a)f(x+2Q)=0+2。)=一f(x一Q),所以f(x+6a)=/[(￡+4a)+2a]=

—+4a)-a]=一f(jr+3d)=一/[(1+Q)+2Q]=/[(%+Q)-a~\=f{x}.

故/(1)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=6Q._______________________________________________________________

(例6)已知函數(shù)/(1)滿足"(5)=：,4/(%)/'())=f(x+、)+/(%—、)(1,、GR),

則/'(2015)=.

(log2(1一式)(久&0)

變式1定義在R上的函數(shù)—滿足/(])=，則/(2017)=

—1)—f(x—2)(%〉0)

().

A.-1B.0C.lD.2

變式2已知定義在R上的函數(shù)/(2)滿足了。+?)=—/日)，且/(—2)=/(—1)=—1,/(0)=

2,貝I」/(I)+f(2)+/(3)H----F/C2016)+/(2017)=().

A.-2B.—1C.OD.1

?

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雷結(jié)論六

復合函數(shù)單調(diào)性：已知函數(shù)y=f[g（x）]是定義在D上的函數(shù)，若—與g（x）的單調(diào)性相

同，則1y=/[g（z）]在。上是增函數(shù)；若/（%）與g（z）的單調(diào)性相反，則y=/[g（z）]在。上是減

函數(shù)，即“同增異減”.特別地了若/（久）是定義域。上的單調(diào)函數(shù)，且方程￡在。上有解為

%0,貝U/（%0）=%0?,

題可對于定義域為[0,口的連續(xù)函數(shù)/（了），如果同時滿足以下3個條件：

（1）對任意的z€[0,口總有了（了）>0；

（2）/（1）=1；

（3）若久1>0,比2>0,久1+久2&1，都有/（11+22））■（久2）成立.則稱函數(shù)了（式）為理

想函數(shù).若函數(shù)/（./）為理想函數(shù)，假定存在.NoG]。，1],使得/（力0）G[0,1],且/[/（1o）]=.No.求

證：f（lo）=1°.

變式1設函數(shù)了（久）=/二+4一a（QeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)）.若曲線y=sinj:上存在點（2。,

了。）使得=y.，則。的取值范圍是（）.

A.[l,e]B.[eT,l]C.[1,1+e]D.[e-\e+l]

變式2若函數(shù)3/=1。80（]2—。7+1）（“〉0且。/1）在（1,2）上為增函數(shù)，則實數(shù)Q的取值范圍是

重結(jié)論七

二次函數(shù)解析式的三種表達式.

ax2+bx+c（一殳式）

/7\2A_72

二次函數(shù)/（了）=?QJC++（aNO,iGR）（頂點式）.

I2a）4a

a（JC一j?i）（JC—久2）（雙根式）

二次函數(shù)的性質(zhì).

>0時，/（了）在（一8,-_b_~

（1）當a上為減函數(shù)，在,+上為增函數(shù),

2a_r^J

T

且在X==--一處取得最小值為f-1=4。?！?，無最大值;

）4（2

<0時"（]）在（-8,-_b_~十8；

（2）當Q上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),

2a

:處取得最大值為f「「，無最小值；

且在X=

CTa

（3）對稱軸為X=1r,若f（工\）=了（久2）,則X1+JC2.

Laa

（4）拋物線y=/（工）與v軸的交點為（0,c）.

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甌回已知a>0,則小滿足關(guān)于z的方程型=6的充要條件是().

22

A.3JCGR,--ax-bx---ajco一bx0B.3JCGR?-^-ax-bx<-^-axo一bx0

22

C.V力GR,-ax—bx-^-axo—bx0D.VzgR,-^-ax—bx-^-axo—bx0

變式1若函數(shù)/(^?)=(1—J:2)(J:2+(2J7+Z?)的圖像關(guān)于直線％=—2對稱，則f(oc)的最大值

是.

"(1)5(1)Vw(i)

變式2定義min"(x),g(i)]=J"、,.若函數(shù)/(久)=久2+方式+5的圖像經(jīng)過兩點

(g(無)"(￡)〉g(1)

(11,0),(12，。)，且存在整數(shù)m，使得m<%i</2<Lm+1成立，則().

A.min[/(m),/(m+1)]<-,f(m+1)]〉:

D.min[/(m)9f(m+1)]D:

C.min[/(m),f(m+1)]I

變式3設max"(%)，g(]))=/':'[，若函數(shù)/i(i)=x2+pjc+qQp,qGR)的圖

{g久)Wg(1)

像經(jīng)過不同的兩點(a,0),(f,0),且存在整數(shù)n，使得"<Q<￡V"+1成立，則().

A.max{/i(n),h(n+1)}〉1B.max{A(n),h(n+1)}V1

C.max{A(7?)(/?+1)}>-~~D.max{7i(n),h(n+1)}V-

盟結(jié)論八

經(jīng)典不等式.

(1)對數(shù)形式：In(況+1)>—1),當且僅當x=0時取等號；

(2)指數(shù)形式：e，>1+1(l6R),當且僅當久=0時取等號.

證明：(1)令/(1)=ln(久+1)一式(久>—1),貝4/'(1)——--r—1=--二.

丁+1力+1

令/'(z)=0,解得％=0./'(%),/(%)隨式的變化如表2-1所示.

表21

X(-1,0)0(0,+8)

/'(])十0—

“支)/極大值

所以了(久)在(一1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，且當久=0時，/(支)有最大值為0.

即Vi〉一l,ln(久+1)-x(/1(0)=0,所以ln(jc+1)〉一1)恒成立，當且僅當x=0時

取等號.

(2)令g(z)=e“—x-1(力GR),則g'(z)=e"—1.令/(l)=0,解得％=0.

g'(z),g(z)隨z的變化如表2-2所示.

表2-2

(—00,0)0(0,+8)

gS—0+

g(x)極小值

所以g(z)在(一8,0)上為減函數(shù)，在(0,十8)上為增函數(shù)，且當X=0時g(久)有最小值為0.

即VxGR,e*—x-1>g(0)=0.所以e*x+1(久GR)恒成立，當且僅當x=0時取等號.

?

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國已知函數(shù)阿)'&上)-,則的圖像大致為(

).

D.

變式1已知函數(shù)/(])=—,ZGR.求證：曲線y=f(x)與曲線)+1+1有唯一公共點.

變式2設函數(shù)/'(z)=l—求證：當x〉一1時"(%))——

支十1

E0結(jié)論九

函數(shù)的對稱性：已知函數(shù)/(JT)是定義在R上的函數(shù).

(1)若/(Q+Z)=/(。一%)恒成立，則y=f(i)的圖像關(guān)于直線％軸對稱，

特別地，若/(Q+Z)=/(Q—Z)恒成立，則y=f(x)的圖像關(guān)于直線％=a軸對稱.

(2)若/(0+式)+/(6—k)=c,則y)的圖像關(guān)于點中心對稱，

特別地，若/(a+久)+/(a—久)=2。恒成立，則y=f{x)的圖像關(guān)于點(a,6)中心對稱.

例10)已知函數(shù)/(1)).

圖2-2

?

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變式1已知函數(shù)V=g（1）的圖像由）=sin2式的圖像向右平移？（0＜中＜兀）個單位得到，這兩

個函數(shù)的部分圖像如圖2-3所示，則cp=.

Jr7T

變式2設函數(shù)/（i）=Asin（3久+中）（A,3?是常數(shù),A＞0,3〉0）.若/'（久）在區(qū)間—上具

有單調(diào)性,且/用=/0=—W,則巾）的最小正周期為.

霞結(jié)論十

三點共線結(jié)論：設平面上O,A,B三點不共線，則平面上任意一點P與A,B共線的充要條件是存在

實數(shù)義與月，使得OA+^^'，且/+幺=1.特別地，當P為線段AB的中點時，方=￡而+

jOB.

證明：先證必要性.如圖2-4所示.因為P,A,B三點共線，所以蠢〃翁,即存在tER，

使得點=e族'，故存一加=1（蘇一示），所以中=市+，適一/市=（1-1）市十力笳.

設1-t=/，t=么，則OP=AOA+fiOB，且/+產(chǎn)=1.

再證充分性.若5?=入而十〃診，且久+幺=1,則。+2）5聲=義加十"OB,

即/而一義質(zhì)=〃而一〃法，也即^AP=ft麗.所以///呢，故A,P,B三點共線.

綜上所述，P,A,B三點共線的充要條件1是存在s實數(shù)L義與么，使得標=入市+幺話，且;I=1.

A

o

圖2-4

彳列n）在AABC中，魂=c,G=b.若點D滿足就=2皮，則彷=（）.

變式1若在直線/上存在不同的三點A,B,C,使得關(guān)于實數(shù)了的方程-0彳+了。河+4=0有解

（點。不在直線上），則此方程的解集為（）.

A.0B.{-1,0}

—1+4^―1--/s-

C.{-1}

，2

變式2已知兩個單位向量a,6的夾角為60°,0=伍+（1—的6,若。?。=0,則方=

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胡⑹良善式證辭

結(jié)論十i~r前羽=（麗十麗）而+甫）=（臚4書）（。，-麗=獷-獷

Z7T-77

1.若向量小￡該不共線，且點P為線段AB的中點，則而'?質(zhì)=\OP\2-\JA\2=\OP\2-\PB\2=

AB2

IOP|2

2.在矩形ABCD所在平面內(nèi)，向量|OA|2+|OC|2=|OB|2+|OD|氣點O為平面內(nèi)一點）.

證明：1.如圖2-5所示，在△OAB中，因為點P為線段AB的中點，所以前十前=0,故由?OB=

（OP+RA）?（OP+FB）=（QP+FA）?（OF-FA）=|OF|2-1FA|2=|OF|2-1FB|2=

AB

IOP]2

2.如圖2-6所示，設矩形ABCD的對角線AC與BD的交點為點P,則點P為AC和BD的中點.

因為由+比=2方,而一反=示，則（/+反）2+（充一工）2=4|OP|2+|CA[2,

即2（15X2+1OC2）=4IOP2+1CA產(chǎn)，所以IOAI2+OC|2=2|OP|2+11".

同理，|布『GD|2=2|OP|2+?*『.又AC|=|ED|,所以|示『十|反『=|『+|說|2.

圖2-5圖2-6

（例12）在/XABC中，點M是BC的中點,AM=3,BC=10,則瓦再?AC=.

變式1在ZkABC中，設點Po是AB邊上一定點，滿足FoB=：AB,且對于AB邊上任一點P,恒有

FB-FC>F7B-FTC.MC）.

A.ZABC=90°B.ZBAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

變式2點P是棱長為1的正方體ABCD-AIBICIDI的底面4&。為上一點，則前?前的取值

范圍是（）.

A.—1,——B.——f——C.[-1,0]D.——（0

變式3已知圓河：了2+6—1）2=1,圓N：/+（y+i）z=1,直線A，/z分別過圓心M,N,且Z1與圓

y2工？

M相交于兩點小與圓N相交于C,D兩點，點P是橢圓?+至=1上的任意一動點，則

~PA-JB+PC的最小值為.

眄回在平面上，宙，祝，I函|=1血|=1,讖=而+若I和I<9,則1市|的取值

范圍是（）.

AJ°<]C.g，HD."

?

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IpA12-1-1PR12

變式1在RtZsABC中，點。是斜邊的中點，點P為線段CD的中點，則J——匕*L=().

II

A.2B.4C.5D.10

重結(jié)論十二

若數(shù)歹4｛<2〃｝為等差數(shù)列0(1門—an_x=d(%>2,7?GN*)O(2?+i~an=d(nGN*)=2Q〃+I=an-\-an+2

對任意/GN*恒成立O通項公式為常數(shù)，"GN*)為一次型㈡前％項和公式

S〃=An2+Bn(A,B為常數(shù)，〃6N*)為二次型㈡數(shù)列也為等差數(shù)列.

已知爭差數(shù)列｛〃"，其公差為。，前n項和為S”，求證：］上］也為等差數(shù)列.

na

證明：由通項公式an=di+(72—V)d知，其前n項和為Sn='一~=i+"("2一~。=

4%2+(Q]一n(nGN*),所以&=~^n+"1—4①

NINJnZN

當k)2時，-S〃：=〈(n—1)+f(2i—②

式①一式②得，且——■=<(〃>2,/?eN*).所以數(shù)列(之)是以為首項，4為公差的

rin-12\n)12

等差數(shù)列.

例可已知等差數(shù)列｛%｝的前力項和為s“，且滿足等一5=1,則數(shù)列｛七｝的公差是().

A4B.1C.2D.3

變式1已知等差數(shù)列｛明,｝的前〃項和為S“，且Si。=100,S.=10,則S110=

/利用通及公式證明學差數(shù)列有心nd十8血

畫《生;令?+?左ftn十&=雙十(四十n-N)d

"g=勃+2(t-l)o(=四十(.比

當m+n=On=

已知等差數(shù)列｛a〃｝的前％項和為S”，等比數(shù)列｛。〃｝的前"項積為T”，s"GN*.

Q什生

(1)若機+〃=21，則a+a?=2a,b?b=b2;(2/H)

mtmnt禹頻為愿華==-

(2)Szi=(2%—1)?a〃，72"-1=b『；/bnb|Tbzn-l

s『一K

(3)等差數(shù)列{a“},{6“)的前〃項和分別為S“，T“，則等

OnT2?-1,T研

(例15)在等差數(shù)列｛a.｝中，已知。4+。8=16,則該數(shù)列前11項和Su=().

A.58B.88C.143D.176

變式1等差數(shù)列｛?！ǎ那皀項和為S”.已知—a*=0,S2m-i=38,則m=.

變式2已知兩個等差數(shù)列｛Q〃｝和也"的前〃項和分別為A”和瓦，且”=eN/),則使

Bwn+3

噴為整數(shù)的正整數(shù)〃的個數(shù)是().

A.2B.3C.4D.5

?

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臨門一腳（含密押三套卷）（理科版）

EB結(jié)論十四

已知等比數(shù)列｛a*｝,公比為q,前n項和為S〃.

也為等比數(shù)列，其公比為工;

（1）數(shù)列

q

(2)若q=1,則SnHQ1,且｛Q〃｝同時為等差數(shù)列；

(2i(l—q")ai—aqai(21

nnn

(3)若gW1,則S,,?q=A-A-q\X1

1—q1一q1一q1一qI1—q）4%收相為杵

反數(shù)

畫西已知｛Q"是首項為1的等比數(shù)列，S〃是的前〃項和，且9s3=S6,則數(shù)列的前5項和

為（）.

A.號或5B.3或531

C「-16

O16

31

變式1在等比數(shù)列｛a,J中,公比為q,其前〃項和為S,,.已知S『互，“3Y+—H---+--H---

164(21。2。3。4。5

（例17）等比數(shù)列｛七｝的前九項和為S〃，已知對任意的72eN*，點（％,s.）均在函數(shù)）=人+

r（b〉0且6K\,b,r為常數(shù)）的圖像上，求r的值.

變式1已知等比數(shù)列｛%｝的前"項和S.二t?5”T—「eN’.則實數(shù)I）.

A.4B.5c—D

54

2w+9

變式2設”7?)=3+33+35+37H-------p3(nEN)，則/(%)

與差激列證明Sn=為4%+”4氏1/520f=均+%"“d電

QB結(jié)論十「、8一Gn）—。=0%+LQJ十?十”十（甌—甸

=no（4>"十nd=

"項和為S",前”項乘積為T,尸寓聞

已知數(shù)列｛a“｝的后

(1)若｛a1｝為等差數(shù)列，公差為d,則S“，Sz”一S"，S3”一Sz“，…，仍為等差數(shù)列，公差為n2d；

(2)若｛%｝為等比數(shù)列，公比為q,則S〃，S2〃—S.S”—S2〃，…，仍為等比數(shù)列（當n為偶數(shù)時，

豐一1）,公比為qn;"核心思柢■琳組處理

q

(3)若｛a〃）為等比數(shù)列，公比為q,貝UTn,下絲，…，仍為等比數(shù)列，公比為q

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嵩考教學

常考二級結(jié)論及其應用

SS

例18設等比數(shù)列儲“｝的前〃項和為S“.若好=3,則3=（）.

變式1設等比數(shù)列｛a0）的前n項和為S“，若S?=3,S4=15,則Ss=（）.

A.31B.32C.63D.64

S1s

變式2設S”是等差數(shù)列的前〃項和，若則會=（）.

>8§>16

2證幕嚇:既切急切艮貝孤即為國。的切線的定曲即1線上.毆而不求見知

Y4晅線方特,優(yōu)一叩（陽一加十0-n）（4一n）=￡今（欠廠明冬一的+5—n）（XT）=無

7

,、61AMi方程1伙一仇）&$）十仆-n）①-n）=義今庫-m）（與一咐十（為一。）［%—n）=尺"

均涉足力程二（&-m）伙一m）十（3—。）0-川=用,、怒直我方您為.

22

1.已知網(wǎng)/。的方程為（尤一m）（y一n）=_R?,點P（a,0）,直線/：（a—m）（JC—加）+（。-n）（y—

僮p-m）依刊十口廠八）*n）

自行江明二丈

（iy若點p在圓。上，則直線/與圓o相切，點p為切點，/為切線.

（2）若點P在圓O夕卜，則直線/與圓。相交，兩交點分別為過點P作圓的兩切線的切點，/為切點弦

所在的直線.

（3）若點P在圓O內(nèi)（不是圓心），則直線/與圓。相離，圓心到直線/的距離d滿足R2=|OP|-d.

2.過圓或圓錐曲線上一點P（z°,y。）的切線方程.

2

（1）過圓C：（_r-a）?十（>-6）2=R上一點P（xa,y0）的切線方程為

2

（xo-a）（z-a）+（y0-b）Cy—b）=R.

（2）過橢圓彳+誓=1上一點Plzo,'。）的切線方程為"。：+=1.

aba-b-

（3）過拋物線C：y2=2px（pNO）上一點P（￡o,yo）的切線方程為yoy=p（x+x（））.

3.已知點M（；ro,yo）,拋物線C：y2=2px（p豐0）和直線I：y（）y=p｛x+z0）.

（1）當點M在拋物線C上時,直線l與拋物線C相切，其中點M為切點，/為切線.

（2）當點M在拋物線C外時，直線/與拋物線C相交，其中兩交點與點M的連線分別是拋物線的切

線，即直線/為切點弦所在的直線.

（3）當點M在拋物線C內(nèi)時，直線I與拋物線C相離.

理解：（1）求過圓錐曲線上（或外）一點的切線方程時，可以借助直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解題

套路（聯(lián)立方程.看判別式）.

（2）在求過圓外一點尸包。，》。）的圓的切線方程時，應注意理解如下兩點：

①所求切線一定有兩條；②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論.___________

?［回過點（3,1）作圓（了一1）?+/=1的兩條切線，切點分別為A,B,則直線AB的方程為（）.

A?2%+）-3=0B.21一y一3=0C.一y一3=0D.4i+y-3=0

變式1已知點在圓O：/+/=1夕卜，則直線Q比+by=1與圓O的位置關(guān)系是（）.

A.相切B.相交C.相離D.不確定

變式2若橢圓（+4=1的焦點在z軸上，過點作圓i+/=l的切線,切點分別為A,B兩

abI2J

點，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是.

11

高考教學

、臨門一腳（含密押三套卷）（理科版）

雷結(jié)論十七

■jrV

1.在橢圓E：—+^=lCa>b>Q）中.

z

Q/b

（1）如圖2-7所示,若直線WO）與橢圓E交于A,B兩點，過A,B兩點作橢圓的切線/,

有/〃設其斜率為短，則k-k=--r.

aa

（2）如圖2-8所示，若直線y=反與橢圓E交于A,B兩點，點P為橢圓上異于A,B的點，若直線

,A2

PA,PB的斜率存在，且分別為M/2,則ki?k=---

2a

（3）如圖2-9所示，若直線J/=kx-\-m（k#0且a#0）與橢圓E交于A,