遼寧省鞍山市普通高中2023-2024學(xué)年高三第二次質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題

2-mi

z-

1.已知復(fù)數(shù)2+i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.-1B.-4C.1D.4

【答案】D

2-mi（2-77zi）（2-i）4-（2m+2^i~m4一m（2m+2）i

【解析】由題意得2=

2+i-（2+i）（2-i）—555~

為純虛數(shù),

4-m

5

所以，解得機(jī)=4,故D正確.

2m+2C

---------70

5

故選：D.

2.已知直線/：x—y—2=0,點(diǎn)C在圓（％一1）2+/=2上運(yùn)動，那么點(diǎn)。到直線/的距離

的最大值為（）

A.-V2+1B.-72C.-V2D,正

2222

【答案】C

【解析】圓（％-1）2+寸=2的圓心為。,0）,半徑為一行.

f-2=。的距離為：八表

則圓心（1,0）到直線/：

所以圓上的點(diǎn)。到直線/：%—y—2=0距離的最大值為：受+g=述

22

故選：C.

3.已知非零向量@,方滿足同=2仰，向量a在向量方方向上的投影向量是",，則a

與〃夾角的余弦值為（）

A?R3c?

A.---D.---U.---

362

【答案】C

【解析】由向量M在向量〃上投影向量為，為，

同Wcos(a,6)b

a-bb

所以得

\b\\b\\b\\b\

又因?yàn)橥?2陣所以cos?，9=￥，故C正確.

故選：C.

4.設(shè)/,機(jī)是兩條不同的直線，。，尸是兩個不同的平面，若/ua,a///3,則

_U”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若mJU,lua,a//j3,則加與尸的位置關(guān)系不能確定；

若〃2_L/7,因?yàn)槲臁ㄏ?，所以加又Iua,所以加_L/成立.

所以“m±I”是"mV/3”的必要不充分條件.

故選：B

5.在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6,0.8和

0.5,且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀

等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（）

15517

A.—B.—C.-D.—

2613829

【答案】B

【解析】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件A、3、C,

則尸（A）=0.6,P（3）=0.8,P（C）=0.5,且A,B,。相互獨(dú)立，

設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級為事件。，

則p（o）=尸（福cj+P（Me）+P（A§6）

=0.4x0.2x0.5+0.4x0.8x0.5+0.6x0.2x0.5=0.26,

設(shè)乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級為事件E，則P（￡）=0.2,

所以P(E|D)=?^=0.4x0.2x0.5+0.6x0.2x0.55

02613

故選：B.

A.|75B,27A/?C.5D.8

【答案】C

[1一八丁十丁入丁人—/〔一八一十丁

=6

=小

=6

'捶+一義匕五匕&

=622

=75(1+2+2)

=5百

1

所以%=x5逐=5.

故選：C.

7.校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查.其中被調(diào)查的男

4

女生人數(shù)相同.男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的二，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人

3

數(shù)若有90%的把握認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（）

人.

附表：

P(K2>k)0.1000.0500.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

其中，-〃(ad-bc)2

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

A.20B.30C.35D.40

【答案】A

43

【解析】設(shè)總?cè)藬?shù)為2〃，則男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)為女生選生物學(xué)的人數(shù)為

_(4n2n3nn\

2n\——x------x—

貝°K?=I5555J=22.706,

7n3n

nxnx——x——

55

即〃2至吆包。28.413,

又幾為5的倍數(shù)，故男生最少有30人.

2

故選：A.

8.已知月均為銳角，sina=3sin/?cos（a+A）,則tana取得最大值時,

tan（a+尸）的值為（）

A.叵B.6C.1D.2

【答案】D

【解析】sino=sin(a+/?—分)=sin(a+/)cos6-cos(a+6)sin/

=3sin/3cos[a+/?),則sin(a+/?)cos/?=4sin/?cos(a+/?),

tan(6Z+/?)-tancif

所以tan(a+6)=4tan/?=4tan(a+/—=4x

l+tan(o+⑶tan1

3tan(a+/?)3

,tan。=——丁一----2―=-----------------；----

41

整理得tan-(a+⑶+4tan(a+0+—7-

、)tan(a+^)

因?yàn)閍,尸均為銳角，且3sin尸cos(c+⑶=sintz>0,即cos(a+/)>0,

所以tan(a+/?)>0,

所以tag+⑶+^西之2小n(o+⑶?京西=4,

4

當(dāng)且僅當(dāng)tan(a+/)={an(刈+1)，即tan(a+乃)=2時等號成立，

3

tana=_______<2

4一4,

所以tan(cr+/?)+

tan(tz+〃)

所以taniz取得最大值時，tan（a+尸）的值為2.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.己知函數(shù)/（x）=sin[ox+tj在（0,兀）上是單調(diào)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有

（）

A.當(dāng)6y＞0時，。的取值范圍是0＜。＜1

3

B.當(dāng)。＜0時，0的取值范圍是—1＜。＜0

3

—2

c.當(dāng)。＞o時，。的取值范圍是0＜?！兑?/p>

3

—2

D.當(dāng)。＜0時，。的取值范圍是——＜?＜0

3

【答案】AD

rrt。

【解析】根據(jù)題意，易知兀，即TN2?，因止匕網(wǎng)=沫WL

當(dāng)力＞0時，0＜69＜1,因?yàn)镺vxv兀，所以：＜g工+—＜口乃+—，

666

又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）=sin[0x+《]在（0,兀）上是單調(diào)函數(shù)，所以0"+彳＜多

解得0<。<,，故A正確，C錯誤；

3

冗冗冗

當(dāng)@<0時，一l?G<0,因?yàn)?VJVV7C,所以一-->CDTC-\------,

666

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=sin[0x+qj在（0,兀）上是單調(diào)函數(shù)，所以公r+Q,

解得0>。2—2,故B錯誤，D正確.

3

故選：AD.

10.如圖，正方體ABC?！狝4G。]的棱長為2,E,F,G,H分別是棱44,4。1，耳￡,

____UUUULUUU.

CG的中點(diǎn)，點(diǎn)/滿足其中Xe[0,l],則下列結(jié)論正確的是（）

A.過M,E,歹三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形

B.三棱錐A-MER的體積為定值

C.當(dāng)4=^?時，AC//平面

2

D.當(dāng)4=1時，三棱錐A-MEF外接球的表面積為6兀

【答案】ABD

【解析】當(dāng)4=0時，點(diǎn)M與點(diǎn)〃重合時，

過M,E,尸三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，

如圖：

故A正確;

uuumuuu

對于B,因?yàn)榭傻命c(diǎn)M是線段G”上的一個動點(diǎn)，

又因?yàn)檎襟wABCD-44Goi中，平面BCCB//平面ADD^,GH<z平面BCCXBX,

故GH//平面ADD,A,所以點(diǎn)M到平面ADDXA的距離為定值，

故三棱錐4-MEB的體積為定值，B正確；

當(dāng)4二工時，點(diǎn)M為GH中點(diǎn)，

2

因?yàn)锳C7/EH,而平面A/ER

所以AC與平面MEF不平行，C錯誤；

當(dāng)彳=1時，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，一4肢為等腰直角三角形,

則.AEP的外接圓半徑為r=’斯=心，

22

又因?yàn)楫a(chǎn)G,平面4所，

22

所以三棱錐A,-MEF外接球的半徑R=r+（空］=1+1=-,

22

則尺=以，所以外接球表面積為4兀友=6兀，D正確

故選：ABD

11.在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（A5）=■-年+1%-匆為點(diǎn)人（和%）到點(diǎn)5（W，%）

的“折線距離”.點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在直線2x+y-2百=0上，點(diǎn)P在圓d+y2=i

上，點(diǎn)R在拋物線/=—4x上.下列結(jié)論中正確的結(jié)論為（）

A.d（0,Q）的最小值為2B.d（O,P）的最大值為夜

C.d（P,Q）的最小值為qD.d（H,Q）的最小值為逝—（

【答案】BCD

【解析】對A：設(shè)Q1,2^—2X）,則J（O,e）=|x|+2|75-x|>|X|+|75-X|

>|X+A/5-X|=A/5（當(dāng)且僅當(dāng)x=逐時取“="）.故A錯；

對B：設(shè)P（x,y）,則上+y=i,則d（o,p）=N+MV'（爐+力=后,故B對；

對C：設(shè)P（cosO,sinO）,Q（x,2，？-2x）,貝！|

d（P,Q）=卜0$。-%|+卜1110-26+2耳=|cos0-x|+2蘭——百+x

>|cos0-x|+^^--A/5+x>COS0-X+-^^--A/5+x=A/5cos0+^^-

二Ycos0?區(qū)5+sin1逝(當(dāng)且僅當(dāng)sinO=走，cosO=2時取

5255

“二”）.故C對;

（2、

對D：設(shè)r--

I4

7

產(chǎn)

d（E,Q）—x+括+x>--45+x

42

2--------x-\-----y/5+x上+,-75=---+V5>V5--（當(dāng)且僅當(dāng)/=1時取

42"J2~424

“=”).故D正確.

故選：BCD

三、填空題

12.己知圓錐的底面半徑為2,母線與底面所成的角為60。，則該圓錐的表面積為

【答案】1271

【解析】已知圓錐的底面半徑r=2,圓錐母線與底面所成的角為60。，

所以圓錐的母線長為/=4,

22?

所以該圓錐的表面積為5=S側(cè)面積+S底面積-Tirl+Tir=7rx2x4+7ix2=12兀

故答案為：1271

13./(x)=YV*的極大值為.

4

【答案】—

e

［解析］f(%)=2xe-A+x2(―「)=(2x-x2)e-x=-x(x-2)尸,

當(dāng)XC(YO,0)U(2,+OO)時,f'(x)<0,當(dāng)xe(0,2)時，盟x)>0,

故/(x)在(—8,0)、(2,+8)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

故/(x)有極大值/(2)=22e-2=4.

e

4

故答案為：—.

e

22

14.已知雙曲線C：.—3=1(?！?力〉0)的右焦點(diǎn)為口，左、右頂點(diǎn)分別為4，4,

軸于點(diǎn)產(chǎn)，且Pb=2QE.當(dāng)NAQ4最大時，點(diǎn)p恰好在雙曲線c上，則雙曲

線C的離心率為.

【答案】^5

*

因?yàn)槭S，且尸在雙曲線上，所以|尸司二一，又PF=2QF,所以。為尸尸中點(diǎn).

a

因?yàn)镹A24最大，所以經(jīng)過A,4兩點(diǎn)的圓與p/相切于。，此時。點(diǎn)坐標(biāo)為

(b2}

(2a)

fb2}

圓心C0,—,

由|。2]二80nt?+—=c2n—=Z?2=>/?2=4tz2=>c2-a2=4a2

、2〃)、2。)

r2「

nc，:5a2n==5ne=5

a'

故答案為：V5

四、解答題

15.鞍山市普通高中某次高三質(zhì)量監(jiān)測考試后，將化學(xué)成績按賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換為等級分?jǐn)?shù)

(賦分后學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于30至100之間).某校為做好本次考試的評價工作，從本校

學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的化學(xué)等級分?jǐn)?shù)，經(jīng)統(tǒng)計，將分?jǐn)?shù)按照[30,40),[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成7組，制成了如圖所示的頻率分

布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中用的值，并估計這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；

⑵在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[70,80),[80,90),[90,100]的三組

中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記J為3人中分?jǐn)?shù)在[80,90)的人數(shù)，求

J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(1)由10(0.002+2*0.004+/〃+0.020+0.028+0.030)=1=加=0.012.

又,1?0.02+0.04+0.2=0.26<0.5,0.02+0.04+0.2+0.3=0.56>0.5.

(0.5-0.26)

所以，估計這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為:60+10xI0.3J=68.

(2)因?yàn)閇70,80),[80,90),[90,100]三組的頻率之比為0.28:0.12:0.04=7:3:1

所以從[70,80),[80,90),[90,100]三組中抽取的人數(shù)分別為7,3,1.

由題意J可取。，1，2,3

且5）=*禽『）=皆嗡…看丁

3

P（^=3）=^C=—1

l）C：］165

所以j的分布列為:

g0123

562881

p

1655555165

=0X^1X^2XAX9

所以E片+++3X=

165555516511

16.如圖1,在平面五邊形ABCDE中，AE//BD,且。E=2,AEDB=60°,

CD=BC=&,cosZDCB=~,將△BCD沿BD折起，使點(diǎn)C到P位置，且

7

EP=5得到如圖2所示的四棱錐P—ABDE.

（1）求證；PE,平面ABDE；

（2）若AE=1，求平面上鉆與平面尸砒>所成銳二面角的余弦值.

（1）證明：在ABC中，CD=BC=幣，cosZDCB=1,

由余弦定理可得BD2=BC-+CD'-2BC-CDcosZDCB=7+7-2x77x77x-=4,

7

所以8E>=2,

又因?yàn)镈E=2,NEDB=60,所以△BDE為正三角形,

設(shè)BD的中點(diǎn)為p，連接",PF,可得BDLEF,

又由CD=BC,可得M，且平面。砂，EFPF=F,

所以皮)，平面PET，因?yàn)镻￡u平面PEF，所以5￡)，理,

在,PED中,可得PF=[PB2—BF2=屈，

在△5DE中，可得EF=JED?—DF?=唐，

又因?yàn)檎?百，可得ER?+政2=相2,所以PELEF，

因?yàn)槠矫鍭3DE，且EFcBD=F，所以PE,平面A5DE.

(2)解：因?yàn)锳E/ABD,所以AE，￡F,

又由PE,平面ABDE，且AE,Ebu平面AB0E，所以PELAE,PE工EF,

以E為原點(diǎn)，以E4,EB,EP所在的直線分別為％yz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

3

如圖所示，可得A(l,0,0),3(l,百,0),/(0,3,0),P(0,0,有)，

則AB=(0,6,0),AP=(-1,0,我,BP=(-1,-石,布),BF=(-1,0,0),

勺-AB=—0

設(shè)平面R4B法向量為“=a，x，zj,則，

勺?AP=一占+y[3zi=0

取石=百，可得％=0,4=1,所以勺=(6,0,1),

%,BP——%2-—0

設(shè)平面PBD的法向量為巧=(%2,y2,z2),貝卜

勺-BF=-x2=0

取%=1,可得％=0/2=1，所以巧=(0,1,1)，

設(shè)平面與平面尸皿所成的角為，，由圖象可得。為銳角,

?」々?聞_1

則cos8=gs/%

同㈣2后4

所以平面A鉆與平面R犯所成銳二面角的余弦值為Y2

4

17.已知函數(shù)/(x)=ga%2_(〃+2)x+21nx,(2eR.

(1)若曲線y=/(x)在x=2處的切線與y軸垂直，求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

解：(1)依題意x>0,f(<x)=^ax2-(<2+2)x+21nx,

則尸(x)=a-(a+2)+>加一("；2)x+2=(ax—1'—2),

因?yàn)樵趚=2處的切線與y軸垂直，所以/'(x)=a—1=0,解得。=1；

(2)由⑴知r(x)=A—△—^(x〉o),

X

當(dāng)aWO時，由/'(尤)>0得0cx<1,由/'(尤)<0得x>l,

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間(1,也)，

當(dāng)。>0時，分以下三種情況：

若a=2,則/'(尤)》0在定義域內(nèi)恒成立，

所以/(刈的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+oo),無單調(diào)遞減區(qū)間；

2

若0<a<2,令/'(x)>0得0<x<l或x〉一，

a

2

令f\x)<0得

a

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0』),。+8)單調(diào)遞減區(qū)間為d,

22

若a>2,令/'(%)>。得0<x<—或1>1,令/'(%)<。得一<%<1,

aa

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為|^0,|^(1,+C0),單調(diào)遞減區(qū)間為,1],

綜上所述，當(dāng)aWO時，/(可在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，在區(qū)間+。)單調(diào)遞減；

當(dāng)a=2時，/(可在區(qū)間(0,+")單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；

當(dāng)0<a<2時，/(%)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間11京單調(diào)遞減;

當(dāng)a>2時，在區(qū)間?,（L+s）單調(diào)遞增，在區(qū)間序]單調(diào)遞減.

22

18.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓土+4=1的左頂點(diǎn)為A/,A（xl,y]）,B（%2，y2）,C（x3,y3）

4b

為橢圓上不同三點(diǎn)，且當(dāng)O3=2OC時，直線MB和直線的斜率之積為

4

（1）求b的值；

（2）若Q4B的面積為1,求x；+考和才+q的值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)A3的中點(diǎn)為。，求卸的最大值.

解：（1）因?yàn)镺B=2OC，所以。,用C三點(diǎn)共線，則必有點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)。對稱，

所以%=，設(shè)直線MB和直線MC的斜率分別為左MB，L,

因?yàn)辄c(diǎn)加為橢圓的左頂點(diǎn)，所以M（—2,0）,

,初一0y2,%—0%

所以kMB==-yr，KMC==-77，

%2—（-2）x2+2x3-（-2jx3+2

所以-^MC=:、'—=-],

%+2w+24

1

所以（々+2F）（2-9）=—“

所以歪+y；=l,所以廿=1,即b=±l；

42

（2）設(shè)過A,3兩點(diǎn)直線為/,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，A8兩點(diǎn)關(guān)于x對稱，所以々=玉，為=-%，

因?yàn)?（在橢圓上，

所以（~+才=1，又SOAB=L

所以5聞|2引=1,即㈤僅J=1,結(jié)合才+y；=1可得㈤=^^]%|二拒,

22

此時玉2+x：=4,才+$=1,所以=4；

一.「y'+yl

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為丁=區(qū)+加，m。0,

y=kx+m

聯(lián)立《122，消去y得（1+4左2）X2+8^mx+4機(jī)2-4=0,

7）'=

其中A=（8kmf-4（1+4左2）（4m2-4）=16（4A;2-m2+l）＞0?

—8km4m2-4

所以玉+%

所以\AB\=Jl+左，J（X]+曾2『-4%曾2=Jl+左，,"I"：*1

因?yàn)椤５街本€/的距離d=-^=,

所以S.AB=TMM=I，

所以:卡?生平力1?3=1,整理的4—2+1=。，符合①式,

—8kmYW-8_

此時才+考（玉+%）~-2X^3=1+4PJ

1+4左2―

22

城+貨=1一江+i—旦=2-1=1；

1244

22

⑶因?yàn)?|0￡＞「+恒呼=4+廣+（X1-X2）+（J1-J2）

=2（x；+*+y；+y；）=10,

所以21cZ)HAB|W4°口JAM=5,

即\OD\-\AB\<I,當(dāng)且僅當(dāng)2\OD\=\AB\=45時等號成立,

此時Q鉆為直角三角形且/A05為直角，

2

故Q4-。5=玉々+X%=玉%2++m

4m2-47—Skm3m2-3

------+mk+m2

1+4左21+4左22m2

解得療=1,從吟今此時等號可成立.

所以|OE>HAB|的最大值為g.

（1）證明：|*+i為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)勿=log3（%+2"）,若對于任意的aeN*，不等式d（1+附）—2@+2"）—6<0

恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍；

（3）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用他名字

定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/（%）=國，其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如[2.3]=2,

[-1.9]=-2,設(shè)G=七