教師資格認(rèn)定考試初級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題20一、單項(xiàng)選擇題1.

函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是______

A.0＜f'(2)＜f'(3)＜f(3)-f(2)B.0＜f'(3)＜f(3)-f(2)＜f'(2)C.0＜f'(3)＜f'(2)＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜f'(2)＜f'(3)正確答案：B[解析]f'(2)，f'(3)是x分別為2，3時(shí)f(x)對應(yīng)圖象上過這兩點(diǎn)的切線斜率，，所以f(3)-f(2)是圖象上x為2和3時(shí)對應(yīng)兩點(diǎn)連線的斜率，又由圖象可知f'(x)＞0且隨x的增大而減小，故選B。

2.

變換的幾何意義為______A.關(guān)于y軸的反射變換B.關(guān)于x軸的反射變換C.關(guān)于原點(diǎn)的反射變換D.以上都不對正確答案：B[解析]在坐標(biāo)系xOy內(nèi)，向量經(jīng)過變換后變?yōu)?，兩向量關(guān)于x軸對稱，所以這個(gè)變換為關(guān)于x軸的反射變換，故選B。

3.

已知命題P：，2x＞0，那么命題為______

A．，2x＜0

B．，2x＞0

C．，2x≤0

D．，2x≥0正確答案：C[解析]是對命題P的否定，而全稱命題的否定是特稱命題，故命題p：，2x＞0的否定為：，2x≤0。

4.

樣本(x1，x2，…，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，…，ym)的平均數(shù)為。若樣本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均數(shù)為，其中，則m，n的大小關(guān)系為______A.n＜mB.n＞mC.n=mD.不能確定正確答案：A[解析]若n＞m，取，則由，得，與矛盾，又當(dāng)時(shí)m=n時(shí)，，不滿足條件，故n＜m。

5.

方程表示的曲面是______A.旋轉(zhuǎn)雙曲面B.旋轉(zhuǎn)橢球面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.橢圓拋物面正確答案：A[解析]方程所表示的曲面是可以由雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)雙曲面。故選A。

6.

若，則A.30mB.-15mC.6mD.-6m正確答案：D[解析]由題意知，故選D。

7.

發(fā)現(xiàn)著名公式eiθ=cosθ+isinθ的數(shù)學(xué)家是______A.萊布尼茨B.約翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.歐拉正確答案：D[解析]歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，e是自然對數(shù)底數(shù)，i是虛數(shù)單位。它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。

8.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)提出，“數(shù)感”感悟的塒象是______A.數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、口算B.數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、筆算C.數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、簡便運(yùn)算D.數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)正確答案：D[解析]數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)1.

設(shè)矩陣的全部特征值為1，1和-8。求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D。正確答案：解：當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A)x=0，得x1=-2x2+2x3，取自由變量(x2，x3)T=(-1，0)T或(x2，x3)T=(0，1)T，

得A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為ξ1=(2，-1，0)T，ξ2=(2，0，1)T。

經(jīng)正交化，得γ1=ξ1=(2，-1，0)T，，

再經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化得，

當(dāng)λ=-8時(shí)，由(-8E-A)x=0，

得

取x3=-2，得A的屬于特征值λ=-8的一個(gè)特征向量為，經(jīng)單位化得，所求正交矩陣為，

對角矩陣

2.

羅爾定理：設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，(3)f(a)=f(b)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=0。證明這個(gè)定理并說明其幾何意義。正確答案：證明：因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上一定有最大值M和最小值m。

①若M=m，則f(x)在[a，b]上是常數(shù)，f(x)=M，x∈[a，b]。從而f'(x)=0，因此，任取ξ∈(a，b)，都有f'(ξ)=0。

②若M≠m，則M，m中至少有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)f(a)≠M(fèi)，因此函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)某一點(diǎn)ξ處取得最大值M，下面證f'(ξ)=0：

由于f(x)在ξ處取得最大值M，所以不論Δx為正或?yàn)樨?fù)，總有f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0，

當(dāng)Δx＞0時(shí)，，

同理，當(dāng)Δx＜0時(shí)，，，

根據(jù)題意，f(x)在ξ處可導(dǎo)，所以f'(ξ)=f'+(ξ)=f'-(ξ)=0。

綜上，得證。

幾何意義：設(shè)f(x)是一條連續(xù)光滑的曲線，并且在點(diǎn)A，B處的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b)，如圖，那么我們?nèi)菀卓闯?，在弧AB上至少有一點(diǎn)C(ξ，f'(ξ))，曲線在點(diǎn)C處有水平切線。

3.

求過z軸且與平面的夾角為的平面方程。正確答案：解：平面過z軸，則點(diǎn)O(0，0，0)是平面上的一點(diǎn)，平面的法向量為。

設(shè)所求平面的法向量為n=ai+bj+ck，則n·k=0，可得c=0，可設(shè)平面方程為ax+by=0，所求平面與已知平面的夾角等于，則，

解得a=-3b或，

所以所求平面方程為x+3y=0或3x-y=0。

4.

數(shù)學(xué)教師在對信息技術(shù)資源進(jìn)行開發(fā)與利用時(shí)需要關(guān)注哪些方面?正確答案：信息技術(shù)資源的開發(fā)與利用需要關(guān)注以下三個(gè)方面：

(1)將信息技術(shù)作為教師從事數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與研究的輔助性工具。為此，教師可以通過網(wǎng)絡(luò)查閱資料、下載富有參考價(jià)值的實(shí)例和課件，并加以改進(jìn)，使之適用于自身課堂教學(xué)；可以根據(jù)需要開發(fā)音像資料，構(gòu)建生動活潑的教學(xué)情境；還可以設(shè)計(jì)與制作有關(guān)的計(jì)算機(jī)軟件、教學(xué)課件，用于課堂教學(xué)活動研究等。

(2)將信息技術(shù)作為學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的輔助性工具。為此，可以引導(dǎo)學(xué)生積極有效地將計(jì)算器、計(jì)算機(jī)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動之中。例如，在探究活動中借助計(jì)算器(機(jī))處理復(fù)雜數(shù)據(jù)和圖形，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)規(guī)律；使用有效的數(shù)學(xué)軟件繪制圖形、呈現(xiàn)抽象對象的直觀背景，加深對相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解；通過互聯(lián)網(wǎng)搜尋解決問題所需要的信息資料，幫助自己找到解決問題的基本策略和方法等。

(3)將計(jì)算器等技術(shù)作為評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助性工具。為此，應(yīng)當(dāng)積極開展基于計(jì)算器環(huán)境的評價(jià)方式與評價(jià)工具研究，如哪些試題或評價(jià)任務(wù)適宜在計(jì)算器環(huán)境下使用，哪些不適宜，等等。

5.

什么是空間觀念?舉例說明在教學(xué)中應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力?正確答案：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

(1)讓學(xué)生學(xué)好有關(guān)反映空間觀念的課程內(nèi)容和有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，如三角形、平行四邊形的概念、性質(zhì)，等等；

(2)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律入手，通過實(shí)物或模型的觀察、解剖、分析、制作等實(shí)踐活動，形成空間觀念，如平行四邊形的判定，先做一個(gè)模型得到結(jié)論再利用定義和已學(xué)習(xí)過的知識去證明；

(3)培養(yǎng)學(xué)生的看圖能力，教給學(xué)生正確的畫圖規(guī)律和方法，是培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和空間想象能力的主要途徑之一，如對稱圖形的畫法、全等圖形的畫法；

(4)通過平面圖形折疊的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；

(5)通道變式學(xué)強(qiáng)化空間觀念；

(6)通過對多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開、組合、切割等來提高學(xué)生的空間想象能力；

(7)加強(qiáng)對幾何體截面的教學(xué)，提高空間想象能力。

三、解答題(本大題共1小題，10分)設(shè)。1.

將f(x)的極大值M用a表示出來；正確答案：解：由題知，f'(x)=x2-a2，f"(x)=2x，令f'(x)=x2-a2=0，得x1=a，x2=-a，則f"(a)=2a，f"(-a)=-2a。

①當(dāng)a＞0時(shí)，f"(-a)=-2a＜0，

則；

②當(dāng)a＜0時(shí)，f"(a)=2a＜0，

則。

2.

將上小題中的M看作a的函數(shù)，求M取極小值時(shí)a的值。正確答案：解：當(dāng)a＞0時(shí)，，

令，

則，

所以a=1時(shí)，M取極小值。

當(dāng)a＜0時(shí)，，

M單調(diào)遞減，故此時(shí)M無極值。

綜上所述，可知當(dāng)M取極小值時(shí)，a=1。

四、論述題(本大題共1小題，15分)1.

圓是解析幾何中既簡單又重要的基本曲線。請結(jié)合你的經(jīng)驗(yàn)簡要談一下求圓的方程和與圓有關(guān)的軌跡方程的基本策略。正確答案：(1)對于圓的方程的確定，基本策略是：①根據(jù)題意分析出所求圓的方程屬于哪種形式(標(biāo)準(zhǔn)式、一般式或其他形式)；②利用待定系數(shù)法建立關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；③解出待定系數(shù)，確定所求方程。

(2)對于與圓有關(guān)的軌跡方程問題，基本策略是：①分析動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律．將其坐標(biāo)化；②列方程(組)求解；③應(yīng)注意合理選擇方法(定義法、參數(shù)法、向量法等)，并檢驗(yàn)所得方程是否滿足題意。

五、案例分析題(本大題共1小題，20分)下面是關(guān)于“圖形變換”教學(xué)片段的描述，閱讀并回答問題。

片段一：教師利用電腦和投影演示一個(gè)三角形分別經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換后得到其對應(yīng)圖形的變換過程，學(xué)生觀察圖形，回憶三種圖形變換的基本特征，并歸納出三種變換的共性。

片段二：觀察下面的圖形，分析它是將哪種基本圖形經(jīng)過了哪些變換后得到的?

學(xué)生觀察圖形，將基本圖形從組合圖案中分離出來，并再現(xiàn)此基本圖形的變換過程。教師演示課件，突出基本圖形經(jīng)過不同的圖形變換后得到組合圖案的過程。

片段三：教師指導(dǎo)學(xué)生選擇簡單的基本圖形，進(jìn)行不同的圖形變換，組合出美麗的圖案。在本次活動中，教師重點(diǎn)關(guān)注：(1)學(xué)生選取的基本圖形不要過于復(fù)雜；(2)指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)對應(yīng)圖形全等這一圖形變換的共性剪出多少個(gè)基本圖形，然后再依據(jù)各種變換的基本特征拼出組合圖案。

問題：1.

分析片段一中教師引入課程的方式；正確答案：片段一中教師采用的是“操作實(shí)驗(yàn)，建立表象”的導(dǎo)入方式。教師將平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換的全過程通過電腦逐一演示，幫助學(xué)生回顧圖形變換的基本特征，為進(jìn)一步從圖形變換的角度辨析組合圖案奠定知識基礎(chǔ)。

2.

思考片段二的設(shè)計(jì)意圖；正確答案：通過讓學(xué)生在組合圖案中辨析出基本圖形經(jīng)過哪些圖形變換，再現(xiàn)組合圖案的設(shè)計(jì)過程，使學(xué)生認(rèn)識到圖形變換的根本，感受圖形變換的奇妙、美麗、生動與靈活，調(diào)動學(xué)生的熱情。

3.

片段三的學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)是什么?正確答案：培養(yǎng)目標(biāo)：讓學(xué)生主動參與、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)源于生活，引導(dǎo)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的眼光審視生活。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共1小題，30分)1.

方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，從代數(shù)中關(guān)于方程的分類看，一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)。因此，學(xué)好一元一次方程可以為整個(gè)方程知識體系的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。以下是某教師設(shè)計(jì)的“一元一次方程”一課的教學(xué)目標(biāo)：

①通過對多個(gè)實(shí)際問題的分析，體驗(yàn)到從算術(shù)方法到代數(shù)方法是一種進(jìn)步，歸納并理解一元一次方程的概念，領(lǐng)悟一元一次方程的意義和作用。

②在根據(jù)問題尋找相等關(guān)系、根據(jù)相等關(guān)系列出方程的過程中，培養(yǎng)獲取信息、分析問題、處理問題的能力；經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)方程的過程，認(rèn)識到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種有效的數(shù)學(xué)模型，初步體會建立數(shù)學(xué)模型的思想及意義。

③經(jīng)歷觀察思考，發(fā)展合作交流的意識及能力。

問題：

(1)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)寫出教學(xué)重難點(diǎn)；

(2)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)這節(jié)課的具體教學(xué)過程(只寫引入與概念形成環(huán)節(jié))；

(3)設(shè)置層次性的問題幫助學(xué)生鞏固知識。正確答案：(1)教學(xué)重點(diǎn)：了解一元一次方程的有關(guān)概念，會根據(jù)已知條件設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程。

教學(xué)難點(diǎn)：找出問題中的相等關(guān)系，列出一元一次方程。

(2)教學(xué)過程如下：

一、習(xí)舊引新，激發(fā)興趣

師：藍(lán)鯨是世界上最大的動物，有一只藍(lán)鯨重124噸，比一頭大象體重的25倍少1噸，這頭大象重幾噸?(小組合作解決實(shí)際問題)

你知道什么是方程嗎?請舉一些方程的例子。

下列式子是方程的有______(填序號)。

①3+2=5；②x+4=5；③1+x；④3＞x；⑤2=y+x；⑥x2-1=0。

過渡：方程是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，我們通過學(xué)習(xí)這章中利用方程解決豐富多彩的實(shí)際問題，進(jìn)一步感受方程的作用。

二、情境探究，建立模型

1．教師出示教科書第79頁的問題

問題：章前圖中的汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時(shí)間如下所示，翠湖在青山、秀水之間，距青山50千米，距秀水70千米。王家莊到翠湖有多遠(yuǎn)?

【探究問題1】你從題目中能獲得哪些信息?

教師可以在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上做小結(jié)：(1)青山與翠湖的距離為50千米，翠湖與秀水的距離為70千米，青山與秀水的距離為120千米；(2)汽車從王家莊行駛到青山需3小時(shí)、到秀水需5小時(shí)，從青山到秀水需2小時(shí)；(3)汽車在途中行駛的速度不變；(4)要求的問題是王家莊到翠湖的距離。

【探究問題2】你會用算術(shù)方法求出王家莊到翠湖的路程嗎?

(當(dāng)學(xué)生列出不同算式時(shí)，應(yīng)讓他們說明每個(gè)式子的含義)

教師可以在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上做小結(jié)：(1)問題涉及的三個(gè)基本物理量及其關(guān)系；(2)從已知的信息中可以求出汽車的速度；(3)從路程的角度可以列出不同的算式：。

【探究問題3】能否用列方程的方法來解決這個(gè)問題呢?

教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)的量。

(1)如果設(shè)王家莊到翠湖的路程為x千米(直接設(shè)元)，那么，由汽車在行駛過程中速度保持不變可列出如下方程：

。

(2)如果設(shè)王家莊到青山的路程為x千米(間接設(shè)元)，那么，由汽車在行駛過程中速度保持不變可列出如下方程：

【思考】能否設(shè)汽車的速度或某段路的行駛時(shí)間為未知數(shù)來列出方程呢?

在教師引導(dǎo)的基礎(chǔ)上得出如下兩個(gè)方程：

(1)設(shè)速度為x千米/時(shí)，則可列方程2x=50+70。

(2)設(shè)青山到翠湖行駛的時(shí)間為x小時(shí)，則可列方程。

【小結(jié)】對于上面的實(shí)際問題，既可以用算術(shù)方法解答，也可以列方程式解答。用算術(shù)方法解題的計(jì)算過程中，我們只能用題目中的已知數(shù)；而用方程方法時(shí)，根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出方程式，其中既使用了已知數(shù)，又使用了未知數(shù)。對于一個(gè)實(shí)際問題我們通?？梢粤谐龇匠虂斫鉀Q。通過以后的學(xué)習(xí)，大家會逐步認(rèn)識到：從算式到方程式是數(shù)學(xué)的一個(gè)革命。

2．例題分析

例1：根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：

(1)用一根長24cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的邊長是多少厘米?

(2)一臺計(jì)算機(jī)已使用1700小時(shí)，預(yù)計(jì)每月再使用150小時(shí)，經(jīng)過多少月這臺計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450小時(shí)?

(3)某校女生占全校學(xué)生數(shù)的52%，比男生多80人，這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生?

【師生互動】(1)先由同學(xué)們獨(dú)立思考，再引導(dǎo)學(xué)生討論：怎樣設(shè)未知數(shù)?題目中的等量關(guān)系是什么?怎樣列出方程?

(2)再引導(dǎo)學(xué)生討論交流：能否列出其他形式的方程?它們的等量關(guān)系又是什么?

【小結(jié)】列方程解決實(shí)際問題的兩個(gè)步驟：①用字母表示問題中的未