第13章立體幾何初步

13.3綜合拔高練

五年高考練

考點1空間圖形的表面積

1.（2020課標(biāo)全國/理,10,5分，播）已知。為球。的球面上的三個點心為

的外接圓.若。a的面積為4五,力廬除4^OQ,則球。的表面積為（）

2.（2020課標(biāo)全國/理,3,5分,水：）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形

狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個

側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（??

V5-lV5+1八V5+1

--------(r,---------)---------

3.（2020課標(biāo)全國〃理,10,5分,共）已知△Z6C是面積為尊的等邊三角形，且其頂點

都在球。的球面上.若球。的表面積為16九則。到平面力比的距離為（）

A.V3B.|D.y

考點2空間圖形的體積

4.（2021全國甲理,11,5分,）已知力以。是半徑為1的球。的球面上的三個點，且

2da;力華旅1,則三棱錐仍力的體積為（）

5.（2019課標(biāo)全國/,12,5分,"）已知三棱錐PZ6C的四個頂點在球。的球面

上,PA=PB=PCAABC是邊長為2的正三角形,￡尸分別是出力￡的中點，/年片90°,

則球。的體積為（）

V6nV6nV6nD.V6n

6.（多選）（2021新高考/,12,5分,"）在正三棱柱力吐44G中，力吠44=1,點9滿足

前=》就+〃而；其中Ae[0,l],貝IJ（）

A.當(dāng)2=1時,△力氐尸的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時,三棱錐R4"的體積為定值

C.當(dāng)人年時，有且僅有一個點尸,使得力/工"

D.當(dāng)4=|時，有且僅有一個點Z使得平面AB、P

1.（2020江蘇,9,5分，婚）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成

的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺

帽毛坯的體積是cm3.

8.（2019江蘇,9,5分,妙）如圖,長方體力￡叱44G〃的體積是120,￡為CG的中點，則

三棱錐斤20的體積是.

9.（2019課標(biāo)全國〃7,16,5分,?。W(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.

如圖，該模型為長方體Z6CA44G〃挖去四棱錐）題之后所得的幾何體，其中。為

長方體的中心,分別為所在棱的中點，力展止6cm"4=4cm.3D打印所用原料密

度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

10.（2021新高考/,20,12分*）如圖，在三棱錐0中，平面力即，平面

BCD,AB=AD,。為班的中點.

⑴證明:力

（2）若40切是邊長為1的等邊三角形，點￡在棱2。上,法2放，且二面角E-BC-D的

大小為45。，求三棱錐力-的體積.

三年模擬練

1.（2021江蘇海門中學(xué)高一月考，婚）已知三棱臺力叱46K中,三棱錐A-AM的體

積為4,三棱錐4T火的體積為8,則三棱錐上4陽的體積為（）

V3V2

V3V7

2.（多選）（2020北京高三一模*）在正方體ZG中,￡是棱陽的中點/是側(cè)面￡第4

內(nèi)的動點，且4尸與平面￡的垂線垂直，如圖所示，下列說法中正確的是（）

A.點6的軌跡是一條線段

B.4廠與龍是異面直線

C.4尸與〃￡不可能平行

D.三棱錐尸力〃￡的體積為定值

3.（*）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)

飾米糠的球，因而‘蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.

如圖所示,已知某“鞠”的表面上有四個點滿足

力展除。物=法10皿2e15cm,則該“鞠”的表面積為（）

2八3500A/35IT2

D.cm

27

4.（多選）（2021江蘇天一中學(xué)高一期中，前）如圖,棱長為2的正方體力%

中/在線段/（含端點）上運(yùn)動，則下列判斷正確的是（）

A.A\P1B\D

B.三棱錐〃-4r的體積不變，為|

C.4〃〃平面ACE

D.42與〃。所成角的范圍是10,1

5.（箱）如圖1/7V分別是邊長為1的正方形力￡切的邊況;切的中點,將正方形沿對

角線力。折起，使點。不在平面Z回內(nèi)（如圖2）,則在翻折過程中,有以下結(jié)論：

①異面直線4c與龍所成的角為定值；

②存在某個位置，使得直線47與直線垂直；

③存在某個位置，使得直線腑與平面Z理所成的角為45

④三棱錐后力琥體積的最大值為*.

4o

以上所有正確結(jié)論的序號是.

6.（2020江蘇南通高一期末辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種

估算方法:幾何體的體積/等于其上底的面積S、中截面（過幾何體高的中點平行于

底面的截面）的面積S的4倍、下底的面積S'之和乘高h(yuǎn)的六分之一，即

片/@4$+S）已知函數(shù)尸級（x〉0）的圖象過點力（；,2）風(fēng),1）,與直線產(chǎn)0,產(chǎn)1及

產(chǎn)2圍成的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則k-uF，利用“辛普

森（Simpson）公式"可估算該幾何體的體積片.

7.（2021江蘇如東高級中學(xué)高一階段測試,*）如圖，龍是邊長為6的正三角形ABC

的一條中位線，將△力龐沿直線龐翻折至，當(dāng)三棱錐4-磔〃的體積最大時，四

棱錐4-外接球。的表面積為；過歐的中點〃作球。的截面,則所得

截面圓面積的最小值是.

R

答案全解全析

第13章立體幾何初步

13.3綜合拔高練

五年高考練

1.A如圖,由題知a1為等邊三角形，圓。的半徑尸2,即0\B=2,：.BO2我二00\,在

口△0Q6中,組=附+4厭16,.?.球。的半徑后除4,貝ljS球市4n止64五.故選A.

2.C如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長將&側(cè)面等腰三角形底邊上的高小力,則正四

棱錐的高上.

...以|加|為邊長的正方形面積為產(chǎn),

一個側(cè)面三角形面積為匏4

，"一9二家力,

.,.4/?2-2a/ra2=0,

兩邊同除以才可得46丫-2?卜1=0,

解得g=等，

又小,

.?.件.故選c.

a4

解題關(guān)鍵

利用以四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，求得

底面邊長a與側(cè)面等腰三角形底邊上的高力之間的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.

3.C設(shè)等邊式的邊長為a,外接圓半徑為乙球心。到平面力回的距離為力，球的

半徑為R,

依題意得巧界筆

解得a=3(負(fù)值舍去)，

則△Z6C的外接圓半徑為尸耳才百，

因為球。的表面積為16口，即4n正16五，所以廬2.

22

由斤方+/得/2=J2-(V3)=1.故選C.

4.A如圖所示，由勿可知，△力比是以力￡為斜邊的直角三角形，又知

力華給1,.力展傳..瓜4力￡。的外接圓圓心為四的中點Q泮徑尸笠苧，連接00.；：

點。為球心,平面Z6C即。。的長為。到平面Z6C的距離.

在RtAOQB中,03=1/3=%

-因=歷穿考，

二被苦x,xl2X^=g.故選A.

5.D解法一:取ZC的中點〃連接必創(chuàng)則PH上ACBHLAC，又PHCB生H,PH,BHu平

面PBH,

.?.47,平面PBH,

'：PBu平面PBH,

：.PBLAC.

,:E、尸分別是力、力￡的中點，

：.EF//PB.

*：/CE左9?！?：.EFkEC,

:.PBIEC,

'：EC^AOC,EC,AC^平面PAC,

...必，平面PAC,

，三條側(cè)棱用、PB、空兩兩垂直.

???△46。是邊長為2的正三角形，

：.PA=PB=P（=<2,

則球。是棱長為企的正方體的外接球，

設(shè)球。的半徑為々

則（2固2=（⑼2*3,解得廬手,

球。的體積弓n代傷口.故選D.

解法二:令序=吩抬2Mx〉0）,貝IJ上X,連接尸C由題意可得F（=V3.在△小。中,COSN

An/T_4%24-4%2-4_2x2-l

力4―后?

在APEC中,EG=P"PE-2PC?PE'cosN鰭e4*+*-2X2xXxX要=f+2,在△比。

中,,.,N6^90°,

.?.￡d=^+￡d,即x+2+x=3,

s

■:AB=BOCA=2,

...三棱錐ZS4灰的三個側(cè)面為等腰直角三角形,

...么PB、空兩兩垂直，故球。是棱長為四的正方體的外接球，設(shè)球。的半徑為正

則(2例2=(⑨?x3,解得廬當(dāng)

球。的體積片口代迷n.故選D.

6.BD對于A,如圖①，當(dāng)2=1時扉=就+〃西，即標(biāo)=〃兩,所以祿〃西，故點尸在線

段CG上，此時的周長為ABi+gAP,

當(dāng)點尸為陽的中點時，△力A尸的周長為花+企；

當(dāng)點〃在點G處時,尸的周長為2a+L

故周長不為定值,故選項A錯誤；

圖①

對于B,如圖②，當(dāng)〃=1時品=幾就+兩,

即可后幾就,所以帝〃就，

故點尸以線段4G上，

因為4G〃平面4比；

所以直線BC上的點到平面46。的距離相等，

又△46C的面積為定值，

所以三棱錐R4勿的體積為定值,故選項B正確;

圖②

對于C,如圖③，當(dāng)幾苫時，取線段因6K的中點分別為私幽，連接幽也因為

BP=1fiC+〃西，即加=〃西,所以加〃西，

則點〃在線段幽〃上，

當(dāng)點〃在幽處時,4幽，AG,4版，￡￡

又BCCBB&,31GBm平面驅(qū)GC,所以4幽，平面BBC&

又BMc平面做CC所以4ML砌，即A.PLBP,

同理，當(dāng)點尸在〃處,42，￡已故選項C錯誤；

圖③

對于D,如圖④，當(dāng)時，取制的中點〃，陽的中點〃因為方一就+?西，即加一前,

所以赤〃前，

則點尸在直線加上，

當(dāng)點尸在點〃處時，取/C的中點￡連接4￡，龍，

因為龐，平面力笫4,又Z〃u平面ZCG4,所以AD.LBE,

在正方形ACGA,中,力〃，4￡,

又BECA、序E,BE,A、Eu平面4郎，所以力〃，平面4座，

又AiBu平面4座，所以A.BLAD.,

在正方形ABB1Al中,AiBAABi,

又A〃iCABi=A,A4,AAu平面力與〃,所以平面ABD.因為過定點A與定直線A.B

垂直的平面有且只有一個，

所以有且僅有一個點E使得46,平面力￡生故選項D正確.

%

R

圖④

7.答案(126-9

23

解析此六角螺帽毛坯的體積K0e=6XX2X2-inX2=(1273-2)cm.

8.答案10

解析因為長方體的體積是120,

所以2s△頷?CG=120,

貝(ISQBCD*CG=60,所以VE-BOT^S^BCD*EC^■SABCD*|CG=[X60=10.

9.答案118.8

解析依題意，知該模型是長方體中挖去一個四棱錐，故其體積

斤V長方體-V四棱錐=6X6X4-|X|X4X6X3=132(cm3).

又因為制作該模型所需的原料密度為0.9g/cm3,

所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為0.9X132=118.8(g).

10.解析⑴證明:在劭中,生力〃。為助的中點,，力。，以又?.?平面Z勿，平

面成漢平面ABDC平面BCD=BD,AOa平面力能，力。，平面BCD,又。七平面

BCD,\AOLCD.

(2)在AZ龍中，過￡作EN〃AO交加于N,

則由AO±平面BCD得建"平面BCD,

:.EN1BC,

'：0B=0D=0Ol,：./BCD^D。，即DCLBC.

A

E

在△￡口中，過N作陰〃切交6。于四則NMkBC.

連接％,.,BCVEN,BC>NM,ENCNM^N,：.BCk平面EMN,

S.EMLBC,

.?.N項川為二面角尺巾。的平面角，又知二面角比冊。的大小為45°,

.?.N幽M5。，.?.△倒W為等腰直角三角形，

又由D&2EA得DI^2N0,：.MN=^CD^EN^ND,

:.AO=OD=1,：.人尸J以四?J^X3|LX1XV3X1=O2

故三棱錐/-￡0的體積為去

三年模擬練

應(yīng)用實踐

1.B設(shè)S\四廠3,50遇iC「S，棱臺的局為h,

由已知*祖35方4,得S邛&M孤生8,得s=目

三棱臺力叱44G的體積為代飄S+S+斥中停+胃+^i)=12+4以

因為44〃平面Z6C所以4到平面Z%的距離等于4到平面力比的距離,

即唳1TBe-8,

所以三棱臺力叱46。的體積七力4呼1+力』"+%「4BC=12+4企，

所以乙出CQ=12+4&-4-8=4四.故選B.

>c

R

2.ABD設(shè)平面與直線式交于點G,連接得班,則。為的中點，分別取

31a的中點瓶〃連接A,M,MNM^圖所示：

易知4〃〃〃￡,4眼平面D、AE,D\Eu平面&AE,

，4"〃平面D1AE.

同理可得MN//平面RAE,

■:AiMCM埠此AiM,MNu平面A.MN,

，平面4仞V〃平面

?.?46與平面幾傷的垂線垂直，

直線"u平面A、MN,

即點6是線段腑上的動點，

/.A正確.

?平面4仞V〃平面〃傷龐和平面〃絲相交,

.?.4尸與龍是異面直線,...B正確.

當(dāng)尸在點〃處時,4尸與4￡平行，

.??C錯誤.

?仞V〃平面D1AE,

...￡到平面力〃￡的距離是定值，

...三棱錐任力〃￡的體積為定值,，D正確.

故選ABD.

3.B由已知得AZ期AC切均為等邊三角形.如圖所示,

設(shè)球心為。，△刀切的中心為0；

取功的中點尸，連接AF,CF,00\0B,O'B,AO,

則Z/U期67」做得班，平面AFC,

易求得5Kcm,

而Zei5cm,所以NZ抬120°.

在平面Z尸。中過點力作"的垂線，與6F的延長線交于點￡,

由加，平面"C得BD1AE,

故力￡，平面BCD這點、。作。入2￡于點G,

則四邊形O'￡GO是矩形，

則。'廬旌in60°X|=i^cm,

。'后工。'全超cm,

AB=AFsin60°=ycm,

9M4in30°=第(cm).

設(shè)球的半徑為R,OO'=xcm,

則由00‘'O'R=OR、O及:AG'GG,

故三棱錐上aZ?外接球的表面積5Mn7?=^cm2.故選B.

4.ACD對于A,連接4￡,4G,4a加，

四邊形ABCD為正方形,J.A.QLBM，

?.?加1，平面44G〃,4Gu平面44G〃，

.?.4G_L%.

n或或u平面BBMD,

.?.4G，平面BB\D、D.

,:&正平面能〃〃

.?.6ML4G,同理可證及DIAB

?..4Gn4^4,4G,4￡u平面A.BQ,

平面4陽，

?.?47七平面46G,因此故A正確；

對于B,連接力2/C在正方體ABOhABG"中,AB//G〃且A方CD,

...四邊形Z￡G〃為平行四邊形，

：.BCJ/AIX.

?.?陽4平面ACDi,ADu平面ACD、,

.,.￡G〃平面ACD.,

■:PRBC\,：.點、〃與點￡到平面力久的距離相等，

xx2

,?%-APf-Up-ACOi=yBACD=vD1ABc=^i2X2=iB錯誤;

對于C,在正方體力比》44G〃中,Z4〃CC且Z4=CG,.?.四邊形Z4GC為平行四邊形,

：.AC//A,Q.

?.?4G。平面ACD^ACa平面ACD、,

.?.4G〃平面力勿，同理可證陽〃平面ACIX.

?.?4CC￡G=G,，平面4陽〃平面ACD、.

?.?47七平面4￡G,，4%平面力切，故C正確；

對于D,易知4企4G=/=2&，

...△4陽是等邊三角形,

，N陽儲,

在正方體ABChB1G"中,BC〃A◎旦盼AD,

，四邊形4￡四為平行四邊形,，〃加N胡《或其補(bǔ)角）為A/與〃。所成的

角,

當(dāng)尸在線段陽（含端點）上運(yùn)動時,OWN剛后/陽G帶，故D正確.

故選ACD.

5.答案①③④

解析如圖，取力。的中點0,連接OB、OD,

則AC±OB,ACLOD.

,：OBCOD=O,OB,ODci平面OBD,

平面OBD,

'：BD^平面期故①正確.

當(dāng)ADLBC時；：ABLBC,ADCAB=A,

.,.況比平面ABD,

■:BK平面ABD,：.BC上BD,

而BD±AC,ACHB（=C,AC,BC（z平面Z/.,.劭，平面Z￡C此時的面積大于△力

的面積，與事實矛盾，故②錯誤.

?.?正方形力￡口的邊長為1,

：.OB=OD^-,

,/瓶"分別為線段比;0的中點，

：.MN//BD.

若直線腑與平面力比1所成的角為45°,

則仍與平面力回所成的角為45°,

即N如場45°,

在△幽中，由余弦定理可知cos/0B慶嗎需黑,即給