第26練數(shù)列的概念及簡單表示一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T2變式）數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．16 C．12 D．242.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T3變式）觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，，，，，，，，，…，其中為（

）A． B． C． D．3.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T4變式）已知，，則________.4.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T5變式）古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．這些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)．那么把三角形數(shù)從小到大排列，第10個(gè)三角形數(shù)是_________．二、考點(diǎn)分類練(一)根據(jù)遞推數(shù)列通項(xiàng)確定數(shù)列指定項(xiàng)5.(2022屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期月考)設(shè)數(shù)列滿足，且，則（

）A．1 B．2 C．4 D．96.（2022屆江西省南昌市高三第一次模擬）數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．16 C．12 D．24(二)由數(shù)列前若干項(xiàng)確定數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng)7．（2022屆甘肅省民樂縣高三第二次診斷）已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第12項(xiàng) B．第13項(xiàng) C．第24項(xiàng) D．第25項(xiàng)8.（2022屆河南省聯(lián)考高三上學(xué)期核心模擬卷）觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，，，，，，，，，…，其中為（

）A． B． C． D．(三)數(shù)列的單調(diào)性9.（2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)10．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，且的取值范圍是___________.(四)周期數(shù)列11.(2022屆海南省瓊海市高三三模）已知數(shù)列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-412.（2022屆上海市靜安區(qū)高考二模）數(shù)列滿足，，若對于大于2的正整數(shù)，，則__________.(五)求遞推數(shù)列的通項(xiàng)13.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________14.數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_____________.(六)與的關(guān)系及應(yīng)用15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B． C． D．16.（2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期全真模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_____.三、最新模擬練17.（2022屆青海省西寧市高三二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．202418.（2022屆北京市第八十中學(xué)高三下學(xué)期考前熱身數(shù)學(xué)練）數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長為2的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到雪花曲線.不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長為，則（

）A． B． C． D．19.（2022屆浙江省金麗衢十二校高三下學(xué)期5月第二次聯(lián)考）己知數(shù)列滿足：，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．20.（多選）（2022屆廣東省高三模擬押題卷）已知數(shù)列滿足，為其前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．21.（多選）（2022屆廣東省汕頭市高三三模）意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…．即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和．后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列．下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（

）A． B．是奇數(shù)C． D．22.（2022屆浙江省杭州二中、溫州中學(xué)，金華一中三校高三下學(xué)期5月仿真）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)數(shù)育大會的會徽，它的主題圖案是由圖2所示的直角三角形演化而成的，設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺線，記的長度組成數(shù)列，則__________．四、高考真題練23.（2022高考全國卷乙）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后,繼續(xù)進(jìn)行深空探測,成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星,為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值,用到數(shù)列：,,,…,依此類推,其中．則（）A. B. C. D.24．(2016高考全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”如下:共有項(xiàng),其中項(xiàng)為項(xiàng)為1,且對任意,中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有 ()A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè)25．(2018高考全國卷數(shù)Ⅰ)記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若,則26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則________．五、綜合提升練27.（2022屆安徽省六安市舒城中學(xué)高三下學(xué)期仿真模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則數(shù)列（

）A．無最小項(xiàng)，無最大項(xiàng) B．無最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)C．有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng) D．有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)28.（2022屆浙江省紹興市柯橋區(qū)高三適應(yīng)性考試）已知正項(xiàng)數(shù)列，對任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．29.（多選）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列D．滿足不等式的正整數(shù)n的最小值為6330.（2022屆上海市松江二中、奉賢中學(xué)、金山中學(xué)三校高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，則____________第26練數(shù)列的概念及簡單表示一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T2變式）數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列中，，，所以令，則，即，令，則，即2.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T3變式）觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，，，，，，，，，…，其中為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，，，，，，，，，…，可知：，，，，得．故選．3.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T4變式）已知，，則________.【答案】【解析】由已知可得，，，.4.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T5變式）古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．這些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)．那么把三角形數(shù)從小到大排列，第10個(gè)三角形數(shù)是_________．【答案】55【解析】根據(jù)題意，三角形數(shù)的每一項(xiàng)都是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，即二、考點(diǎn)分類練(一)根據(jù)遞推數(shù)列通項(xiàng)確定數(shù)列指定項(xiàng)5.(2022屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期月考)設(shè)數(shù)列滿足，且，則（

）A．1 B．2 C．4 D．9【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選D6.（2022屆江西省南昌市高三第一次模擬）數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列中，，，所以令，則，即，令，則，即，故選B(二)由數(shù)列前若干項(xiàng)確定數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng)7．（2022屆甘肅省民樂縣高三第二次診斷）已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第12項(xiàng) B．第13項(xiàng) C．第24項(xiàng) D．第25項(xiàng)【答案】D【解析】根據(jù)題意，由，得，故是這個(gè)數(shù)列的第25項(xiàng).故選D.8.（2022屆河南省聯(lián)考高三上學(xué)期核心模擬卷）觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，，，，，，，，，…，其中為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，，，，，，，，，…，可知：，，，，得．故選．(三)數(shù)列的單調(diào)性9.（2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】A【解析】依題意，因?yàn)?，其中，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相除有，易得隨著的增大而減小，故，且，故最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為故選A10．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，且的取值范圍是___________.【答案】【解析】由，得，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以也是遞增數(shù)列，所以是公比為的等比數(shù)列，且，即．(四)周期數(shù)列11.(2022屆海南省瓊海市高三三模）已知數(shù)列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，則，，，…，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則.故選D.12.（2022屆上海市靜安區(qū)高考二模）數(shù)列滿足，，若對于大于2的正整數(shù)，，則__________.【答案】【解析】由題意知：，故是周期為3的周期數(shù)列，則.(五)求遞推數(shù)列的通項(xiàng)13.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________【答案】【解析】由兩邊取倒數(shù)可得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，所以14.數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_____________.【答案】【解析】由得，，則，即，又，所以.(六)與的關(guān)系及應(yīng)用15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由①，可得：②，兩式相減得：，所以，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是從第二項(xiàng)開始的，公比是2的等比數(shù)列，所以，所以，故選C16.（2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期全真模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，也符合上式，所以.三、最新模擬練17.（2022屆青海省西寧市高三二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選C.18.（2022屆北京市第八十中學(xué)高三下學(xué)期考前熱身數(shù)學(xué)練）數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長為2的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到雪花曲線.不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖知：第一個(gè)圖有3條邊，各邊長為2，故周長；第二個(gè)圖有12條邊，各邊長為，故周長；第三個(gè)圖有48條邊，各邊長為，故周長；……所以邊的條數(shù)是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，則第n個(gè)圖的邊有條，邊長是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則第n個(gè)圖的邊長為，故.故選C19.（2022屆浙江省金麗衢十二校高三下學(xué)期5月第二次聯(lián)考）己知數(shù)列滿足：，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，…，依次類推，則；由得：，，，令，為的前項(xiàng)和，，又，為遞減數(shù)列，即為遞減數(shù)列，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，，，，，即，，，，，.故選B．20.（多選）（2022屆廣東省高三模擬押題卷）已知數(shù)列滿足，為其前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因?yàn)椋?，，，，…，，所以，，，累加得，∴，，因?yàn)椋?，所以，故選ABC．21.（多選）（2022屆廣東省汕頭市高三三模）意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…．即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和．后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列．下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（

）A． B．是奇數(shù)C． D．【答案】AD【解析】易知，數(shù)列滿足遞推關(guān)系．選項(xiàng)A：；故A正確；選項(xiàng)B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項(xiàng)都是奇、奇、偶重復(fù)循環(huán)，，恰好能被3整除，且為偶數(shù)，所以也為偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若選項(xiàng)C正確，又，則，同理，，依次類推，可得，顯然錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，又，故D正確22.（2022屆浙江省杭州二中、溫州中學(xué)，金華一中三校高三下學(xué)期5月仿真）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)數(shù)育大會的會徽，它的主題圖案是由圖2所示的直角三角形演化而成的，設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺線，記的長度組成數(shù)列，則__________．【答案】【解析】由題意知：.四、高考真題練23.（2022高考全國卷乙）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后,繼續(xù)進(jìn)行深空探測,成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星,為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值,用到數(shù)列：,,,…,依此類推,其中．則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：因?yàn)?所以,,得到,同理,可得,,又因?yàn)?故,；以此類推,可得,,故A錯(cuò)誤；,故B錯(cuò)誤；,得,故C錯(cuò)誤；,得,故D正確.故選D.解法二：特例法,取,則,則,,,由此可排除ABC,故選D.24．(2016高考全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”如下:共有項(xiàng),其中項(xiàng)為項(xiàng)為1,且對任意,中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有 ()A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè)【答案】C【解析】由題意,得必有,,則具體的排法列表如圖所示,共14個(gè),故選C.0000111110111011010011101101001101000111011010011025．(2018高考全國卷數(shù)Ⅰ)記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若,則【答案】【解析】為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，①當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，②，由①﹣②可得，∴，∴是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴．26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則________．【答案】【解析】由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以．五、綜合提升練27.（2022屆安徽省六安市舒城中學(xué)高三下學(xué)期仿真模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則數(shù)列（

）A．無最小項(xiàng)，無最大項(xiàng) B．無最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)C．有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng) D．有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)【答案】D【解析】數(shù)列各項(xiàng)均為正，，由得，一般地由數(shù)學(xué)歸納法知當(dāng)時(shí)，由得（否則若，則，，，矛盾），所以數(shù)列中，時(shí)，，是最小項(xiàng)．又，，所以，，記，則，兩邊求導(dǎo)得，即，時(shí)，，是減函數(shù)，所以時(shí)，是遞減數(shù)列，因此有上界，時(shí)，，即，設(shè)，，時(shí)，，是增函數(shù)，經(jīng)過計(jì)算，得，而，所以時(shí)滿足的滿足，即，從而，而這6個(gè)數(shù)中一定有最大值，此最大值也是數(shù)列的最大項(xiàng)．故選D．28