【解析版】專題03多面體與旋轉(zhuǎn)體本章將討論柱體、錐體及球體等常見(jiàn)的空間幾何體的形狀、性質(zhì)和度量；對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的研究有許多實(shí)際的應(yīng)用；從粉墻黛瓦的傳統(tǒng)民居到高聳入云的摩天大樓，各式建筑雖然千姿百態(tài)，但它們往往都是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的．因此，簡(jiǎn)單幾何體的研究自古以來(lái)就是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，《九章算術(shù)》中的“塹堵”、“陽(yáng)馬”、“鱉”等幾何體就是一些特殊的柱體和錐體；本教材延續(xù)了“二期課改”教材的內(nèi)容編排順序：先學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系（第10章），再學(xué)習(xí)本章的簡(jiǎn)單幾何體；這樣編排的意圖：一是通過(guò)第10章的學(xué)習(xí)，為本章理解幾何體各個(gè)元素之間的位置關(guān)系提供邏輯基礎(chǔ)；二是利用簡(jiǎn)單幾何體模型，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握空間圖形的位置關(guān)系．，與全國(guó)其他一些版本的教材不同．【本章教材目錄】11.1柱體11.1.1棱柱與圓柱；11.1.2柱體的體積；11.1.3柱體的表面積；11.2錐體11.2.1棱錐與圓錐；11.2.2錐體的體積；11.2.3錐體的表面積；11.3多面體與旋轉(zhuǎn)體11.3.1多面體；11.3.2旋轉(zhuǎn)體；11.4球11.4.1球；11.4.2球的體積；11.4.3球的表面積【本章內(nèi)容提要】1、多面體與旋轉(zhuǎn)體是兩類重要的幾何體（1）多面體：由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體稱為多面體；（2）旋轉(zhuǎn)體：一個(gè)平面封閉圖形繞其所在平面上的一條直線在空間旋轉(zhuǎn)一周所得到的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；2、本章所討論的“簡(jiǎn)單幾何體”有：（1）柱體（包括棱柱和圓柱），其中棱柱是多面體，而圓柱是旋轉(zhuǎn)體；（2）錐體（包括棱錐和圓錐），其中棱錐是多面體，而圓錐是旋轉(zhuǎn)體；（3）球，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體；3、我們主要關(guān)注所涉及幾何體的體積和表面積的計(jì)算（1）柱體的體積和表面積：柱體的體積：V柱＝S底h(S底為底面面積，h為高)；直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的表面積：S表＝ch＋2S底；圓柱的表面積：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2；其中，S底，h與c分別是柱體的底面積、高與底面周長(zhǎng)，r是圓柱的底面半徑;（2）錐體的體積和表面積：錐體的體積：V錐＝eq\f(1,3)S底h(S底為底面面積，h為高)；正棱錐（底面為正三角形或正多邊形且高通過(guò)底面中心的棱錐）的表面積：S表＝eq\f(1,2)ch′＋S底；圓錐的表面積：S表＝eq\f(1,2)cl＋S底＝πrl＋πr2；其中，S底、h與犮分別是錐體的底面積、高與底面周長(zhǎng)，h′是正棱錐的斜高，r與l是圓錐的底半徑和母線長(zhǎng)；（3）球的體積和表面積：球的體積：V球＝eq\f(4,3)πR3：球面面積：S球＝4πR2；其中，R是球的半徑；1、多面體的定義由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體；如：棱柱、棱錐、棱臺(tái)等幾何體都是多面體；2、多面體的分類多面體可以用它的面的數(shù)量進(jìn)行命名，有幾個(gè)面的多面體就叫做幾面體；例如，三棱錐有一個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面，所以是四面體；長(zhǎng)方體（四棱柱）有六個(gè)面，是六面體．一般地，一個(gè)n棱錐,有一個(gè)底面和n個(gè)側(cè)面，所以是n＋１面體；n棱柱或n棱臺(tái)有兩個(gè)底面和n個(gè)側(cè)面，所以是n＋2面體;由此可見(jiàn)，面數(shù)最少的多面體是四面體，即三棱錐;3、基本多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形4、四面體四面體在立體幾何中的作用相當(dāng)于三角形在平面幾何中的作用；5、正多面體與平面上的正多邊形類比，在空間中可以考慮正多面體．如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體就叫做正多面體；6、旋轉(zhuǎn)體的定義及其相關(guān)概念由一個(gè)平面封閉圖形繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；這條直線叫做該旋轉(zhuǎn)體的軸；與旋轉(zhuǎn)體類似地可以定義空間中的旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線（包括直線、折線等）繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)面；7、基本旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)題型1、有關(guān)多面體的概念及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)例1、（1）判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①多面體至少有四個(gè)面；（）②九棱柱有9條側(cè)棱,9個(gè)側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形；（）③長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱；（）④三棱柱的側(cè)面為三角形；（）⑤等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相同；（）【提示】注意理解多面體的定義與結(jié)構(gòu)特征；【答案】①√；②√；③√；④×；⑤√；【解析】對(duì)于①，多面體至少應(yīng)有四個(gè)頂點(diǎn)組成（否則至多3個(gè)頂點(diǎn),而3個(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)平面圖形）,而四個(gè)頂點(diǎn)可以圍成四個(gè)面；所以，①是真命題；對(duì)于②，棱柱側(cè)面為平行四邊形，其側(cè)棱和側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面多邊形的邊數(shù)相等；所以，②是真命題；對(duì)于③，長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱，所以，③是真命題；對(duì)于④，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不是三角形，所以，④是假命題；對(duì)于⑤，由祖暅原理，得⑤是真命題；【說(shuō)明】本題主要考查多面體與特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺(tái) B．四棱錐C．四棱柱 D．三棱柱【答案】C【解析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱；題型2、有關(guān)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及截面例2、（1）已知正四棱錐中，底面面積為，側(cè)棱的長(zhǎng)為，則該棱錐的高是.

【提示】注意正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征與計(jì)算方法；【答案】；【解析】如圖，取正方形的中心，連接，，則就是正四棱錐的高.因?yàn)榈酌婷娣e為；所以，，因?yàn)?，?cè)棱的長(zhǎng)為所以，所以正四棱錐的高為；【說(shuō)明】對(duì)于棱錐的計(jì)算，關(guān)鍵還是抓住“特殊”的直角三角形；（2）、如圖，四邊形AA1B1B為邊長(zhǎng)為3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，請(qǐng)你判斷這個(gè)幾何體是棱柱嗎？若是棱柱，指出是幾棱柱；若不是棱柱，請(qǐng)你試用一個(gè)平面截去一部分，使剩余部分是一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征．在立體圖中畫出截面；【提示】注意：理解與依據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判斷；【解析】（1）因?yàn)檫@個(gè)幾何體的所有面中沒(méi)有兩個(gè)互相平行的面，所以這個(gè)幾何體不是棱柱；（2）在四邊形ABB1A1中，在AA1上取E點(diǎn)，使AE＝2；在BB1上取F點(diǎn)，使BF＝2；連結(jié)C1E，EF，C1F，則過(guò)C1，E，F(xiàn)的截面將幾何體分成兩部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其側(cè)棱長(zhǎng)為2；截去部分是一個(gè)四棱錐C1-EA1B1F；【說(shuō)明】本題考查了簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及截面的知識(shí)交匯；認(rèn)識(shí)一個(gè)幾何體，需要看它的結(jié)構(gòu)特征，并且要結(jié)合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關(guān)系，分析它是由哪些幾何體組成的組合體，并能用平面分割開；題型3、有關(guān)簡(jiǎn)單多面體的平面展開圖例3、（1）畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖（畫出其中一種即可）；（2）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)；【提示】注意將空間問(wèn)題、多面體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)平面幾何問(wèn)題解之；【解析】（1）平面展開圖如圖所示：（2）沿長(zhǎng)方體的一條棱剪開，有三種剪法：①如圖（1），以A1B1為軸展開，AC1＝eq\r(42＋（5＋3）2)＝eq\r(80)＝4eq\r(5)；②如圖（2），以BC為軸展開，AC1＝eq\r(32＋（5＋4）2)＝eq\r(90)＝3eq\r(10)；③如圖（3），以BB1為軸展開，AC1＝eq\r(（4＋3）2＋52)＝eq\r(74)；綜合以上，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)：eq\r(74)；【說(shuō)明】1、多面體的展開與折疊：（1）由多面體畫平面展開圖，一般要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來(lái)，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖；（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過(guò)程逆推；2、求從幾何體的表面上一點(diǎn)，沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，所走過(guò)的最短距離，常將幾何體的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題；題型4、有關(guān)簡(jiǎn)單多面體的高考真題體驗(yàn)例4、（2019·全國(guó)Ⅱ卷）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一；印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）；半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體；半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.（圖2）是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1；則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為；【提示】將該多面體分為三層，分別數(shù)出每一層的面數(shù)，求和即可得正多面體的面數(shù)；從圖形中作一個(gè)最大的水平截面，它是一個(gè)正八邊形，八個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為鐵正方形邊上，由此可計(jì)算出棱長(zhǎng)；【解析】方法1：（1）可以將該多面體分為三層，上層個(gè)面，中層個(gè)面，下層個(gè)面，上下底各個(gè)面，所以共有個(gè)面；（2）作出該圖形的一個(gè)最大的水平截面正八邊形，如圖，其八個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上，設(shè)“半正多面體”棱長(zhǎng)為，則，解得，故答案為：．方法2：（1）由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，共計(jì)18個(gè)面,第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.（2）如圖，將該半正多面體的部分放在棱長(zhǎng)為1的正方體中，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，所以，，所以，，以，即該半正多面體棱長(zhǎng)為，答案：；；【說(shuō)明】本題考查學(xué)生的空間想象能力，抽象概括能力，解題關(guān)鍵是從“半正多面體”中作出一個(gè)截面為正八邊形且正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上，由此易得棱長(zhǎng)；題型5、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的概念及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)例5、（1）下列說(shuō)法正確的是（）A．矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周其余三邊形成的面所圍成的幾何體是圓柱B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．用一個(gè)平面去截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)D．圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；【提示】理解特殊旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)概念；【答案】A；【解析】由圓柱的定義可知，A正確；由圓臺(tái)的定義可知，B不正確，應(yīng)以直角梯形的垂直于底邊的腰為軸；C錯(cuò)誤，應(yīng)是用一個(gè)與圓錐底面平行的平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；D錯(cuò)誤，由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸；故選A；【說(shuō)明】本題考查了特殊旋轉(zhuǎn)體的定義與結(jié)構(gòu)特征（2）、給出以下四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是__________．【提示】注意：緊扣住圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形成過(guò)程進(jìn)行判斷；【答案】②④；【解析】①不正確，因?yàn)檫@兩點(diǎn)的連線不一定與圓柱的旋轉(zhuǎn)軸平行；②正確，符合圓錐母線的定義；③不正確，結(jié)合圓臺(tái)母線的定義可知，母線與旋轉(zhuǎn)軸的延長(zhǎng)線應(yīng)交于一點(diǎn)，而從圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，其連線未必滿足這一條；④正確，符合圓柱母線的性質(zhì)；【說(shuō)明】本題主要考查了準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的生成過(guò)程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問(wèn)題的關(guān)鍵．要注意定義中的關(guān)鍵字眼，對(duì)于似是而非的問(wèn)題，可以通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)解決；題型6、有關(guān)簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征例6、（1）如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()【答案】A（2）、已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰(如圖)．分別以AB，BC，CD，DA為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？【提示】eq\x(梯形)eq\o(→,\s\up16(任一邊),\s\do14(為軸))eq\x(組合體)eq\o(→,\s\up16(空間),\s\do14(想象))eq\x(結(jié)構(gòu)特征)【解析】①以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；如圖（1）所示；②以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一組合體：下部為圓柱，上部為圓錐；如圖（2）所示；③以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐；如圖（3）所示．④以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體，它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐；如圖（4）所示；（1）（2）（3）（4）【說(shuō)明】關(guān)于平面圖形繞固定軸旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體的組成問(wèn)題，可采用如下方法解決：1、引線分割：由平面圖形的各定點(diǎn)向旋轉(zhuǎn)軸引垂線，將平面圖形分割成不同的直角三角形或直角梯形或矩形；2、旋轉(zhuǎn)成體：將上述分割的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)形成不同的柱、錐、臺(tái)體解之；題型7、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算問(wèn)題例7、（1）一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為________．【答案】20；【解析】由題意可知，該圓柱的軸截面的面積為5×2×2＝20；（2）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為6和12，平行于底面的截面自上而下分母線為2∶1的兩部分，求截面的面積．【提示】畫出圓臺(tái)，將圓臺(tái)還原成圓錐，利用比例關(guān)系求截面的半徑即可．【解析】如圖所示，將圓臺(tái)還原成圓錐，其中P為圓錐頂點(diǎn)，CD、AB、EF分別為圓臺(tái)的上、下底面以及截面圓的半徑．顯然CD∥EF∥AB，所以，eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，所以，PD＝DB＝eq\f(1,2)PB.又eq\f(DF,FB)＝2，所以DF＝eq\f(2,3)DB＝eq\f(1,3)PB.所以PF＝PD＋DF＝eq\f(5,6)PB.所以eq\f(EF,AB)＝eq\f(PF,PB)＝eq\f(5,6)，所以EF＝eq\f(5,6)AB＝10，所以截面的面積為π·EF2＝π·102＝100π；【說(shuō)明】對(duì)于此類問(wèn)題，特別注意：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題；圓柱、圓錐、圓臺(tái)問(wèn)題要抓住它們的軸截面及其中線段與底面半徑、高、母線之間的關(guān)系，構(gòu)造矩形、直角三角形求解；題型8、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖問(wèn)題例8、（1）如圖所示，有一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱體，在A點(diǎn)處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱表面一周且由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問(wèn)螞蟻爬行的最短距離是多少？【提示】將圓柱體側(cè)面展開，利用平面中兩點(diǎn)之間線段最短求解；【解析】把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．∵AA′為底面圓的周長(zhǎng)，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，即螞蟻爬行的最短距離為2eq\r(1＋π2)；【說(shuō)明】本題考查了有關(guān)旋轉(zhuǎn)體“面上的最短問(wèn)題“，一般”展開“往往是有效的方法；（2）、如圖所示，圓柱側(cè)面上有兩點(diǎn)B，D，在D處有一只蜘蛛，在B處有一只蒼蠅，蜘蛛沿怎樣的路線行走才能以最短的路程抓住蒼蠅？最短路程是多少？【提示】通過(guò)展開圖，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題；【解析】如圖，設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，底面圓半徑為r，將圓柱的側(cè)面沿母線AB展開即得矩形AA′B′B，其中D，C分別為AA′，BB′的中點(diǎn).在矩形ADCB中，AB＝CD＝l，AD＝BC＝eq\f(1,2)×2πr＝πr，連接BD，則BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(l2＋π2r2)；可知蜘蛛沿著DB爬行時(shí)路程最短，最短路程為eq\r(l2＋π2r2)；【說(shuō)明】1、用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，得到的截面與底面全等或相似，常結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的軸截面的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組來(lái)解決問(wèn)題；2、幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題，都應(yīng)該將幾何體的表面展開，畫出展開圖，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題；題型9、將多面體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題例9、（1）在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF將其折成一個(gè)多面體，則此多面體是________．【答案】三棱錐；【解析】如圖折起后，由題設(shè)條件可知三點(diǎn)D，C，B重合，所以折起后能構(gòu)成三棱錐．（2）如圖所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△APC1周長(zhǎng)的最小值是________．【答案】eq\r(21)＋5；【解析】將面DCC1展開如圖所示．AP＋PC1≥AC1，AC1＝eq\r(AB2＋BC\o\al(2,1))＝eq\r(42＋32)＝5，在直三棱柱中，側(cè)面AB1C1D是矩形，∴AC1＝eq\r(AB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1))＝eq\r(AB2＋BB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1))＝eq\r(42＋12＋22)＝eq\r(21).∴△APC1的周長(zhǎng)的最小值是eq\r(21)＋5；題型10、有關(guān)多面體的綜合題例10、（1）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．【答案】eq\f(4,3)；【解析】由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，且正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)等于eq\r(2)，所以該多面體的體積為2×eq\f(1,3)×1×(eq\r(2))2＝eq\f(4,3)；（2）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分別是CE和CF的中點(diǎn)．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）求證：平面BDGH∥平面AEF；（3）求多面體ABCDEF的體積．【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD.又因?yàn)槠矫鍮DEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC?平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.（2）證明：在△CEF中，因?yàn)镚，H分別是CE和CF的中點(diǎn)，所以GH∥EF.又因?yàn)镚H?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.設(shè)AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因?yàn)镺A＝OC，CH＝HF，所以O(shè)H∥AF，又因?yàn)镺H?平面AEF，AF?平面AEF，所以O(shè)H∥平面AEF，因?yàn)镺H∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.（3）由（1）得AC⊥平面BDEF，又因?yàn)锳O＝eq\r(2)，四邊形BDEF的面積S1＝3×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，所以四棱錐A－BDEF的體積V1＝eq\f(1,3)·AO·6eq\r(2)＝4，同理，四棱錐C－BDEF的體積V2＝4，所以多面體ABCDEF的體積等于8；題型11、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖問(wèn)題例11、（1）某市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，某市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為某市某公園供游人休息的石凳，它可以看作一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的棱長(zhǎng)為20eq\r(2)cm，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為cm2.【答案】1600π；【解析】設(shè)正方體的中心為O，E為棱的中點(diǎn)，連接A1D，B1C，A1C，B1D，則O為矩形A1DCB1的對(duì)角線的交點(diǎn)，則OE＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2)×20eq\r(2)×eq\r(2)＝20(cm)，同理O到其余各棱的中點(diǎn)的距離也為20cm，故石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的半徑為20cm，其表面積為4π·202＝1600π(cm2)；（2）如圖1，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖2，已知圓柱的底面直徑AB＝16m，母線長(zhǎng)AD＝4m，圓錐的高PQ＝6m，則該蒙古包的側(cè)面積約為m2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))【答案】144π；【解析】依題意得，圓柱的側(cè)面積S1＝2π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))×AD＝2π×eq\f(1,2)×16×4＝64π(m2)，∵DC＝AB＝16m，∴QC＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,2)×16＝8(m)，在Rt△PQC中，PC＝eq\r(PQ2＋QC2)＝eq\r(62＋82)＝10(m)，∴圓錐的側(cè)面積S2＝eq\f(1,2)×PC×2π×QC＝eq\f(1,2)×10×2π×8＝80π(m2)，∴該蒙古包的側(cè)面積S＝S1＋S2＝64π＋80π＝144π(m2)．題型12、有關(guān)幾何體的與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題例12、已知圓錐SO的底面半徑為1，若其底面圓周上存在兩點(diǎn)A，B，使得∠ASB＝90°，則該圓錐側(cè)面積的最大值為eq\r(2)π.【答案】eq\r(2)π；【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，∵∠ASB＝90°，∴AB＝eq\r(2)l，又OA＋OB≥AB(當(dāng)且僅當(dāng)AB為底面圓直徑時(shí)取等號(hào))，∴AB≤2，即l≤eq\r(2)，∴圓錐側(cè)面積S＝π×1×l＝πl(wèi)≤eq\r(2)π，即所求最大值為eq\r(2)π.（2）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′＝3，O′C′＝1，（1）判斷平面四邊形OABC的形狀并求周長(zhǎng)；（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．【解析】（1）)將直觀圖還原得?OABC，如圖，所以O(shè)A＝3，OC＝eq\r(12＋2\r(2)2)＝3，所以平面四邊形OABC為菱形，其周長(zhǎng)為3×4＝12.（2）四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐再加上一個(gè)同底的圓錐，V＝πr2h＝π(2eq\r(2))2·3＝24π，l＝eq\r(12＋2\r(2)2)＝3，S圓錐側(cè)＝πrl＝π·2eq\r(2)·3＝6eq\r(2)π，S圓柱側(cè)＝2πrh＝2π·2eq\r(2)·3＝12eq\r(2)π.S＝2S圓錐側(cè)＋S圓柱側(cè)＝2×6eq\r(2)π＋12eq\r(2)π＝24eq\r(2)π.1、面數(shù)最少的多面體有________個(gè)面.【答案】4；【解析】面數(shù)最少的多面體是四面體(三棱錐)，有4個(gè)面；2、棱柱的側(cè)棱最少有________條，棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)之間的大小關(guān)系是________．【答案】3；相等；3、如圖所示，不是正四面體的展開圖的是________．①②③④【答案】③④；【解析】可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體；4、如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是【答案】四棱錐【解析】余下部分是四棱錐A′－BCC′B′.5、若棱臺(tái)上、下底面的對(duì)應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是________.【答案】1∶4【解析】由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺(tái)上、下底面是相似多邊形，面積之比為對(duì)應(yīng)邊之比的平方.6、下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________．【答案】①②【解析】①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．7、下列四個(gè)命題中正確的是（）A．棱柱的底面一定是平行四邊形B．棱錐的底面一定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱【答案】D；【解析】A中棱柱的底面可以是任何平面多邊形，B中棱錐的底面可以是任何平面多邊形，C中棱錐被經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和底面的平面分成的兩部分都是棱錐，D中棱柱被平行于底面的平面分成兩個(gè)棱柱；8、下列說(shuō)法中，正確的是()①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；③四面體的任何一個(gè)面都可以作為三棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等．A．①②B．①③C．②③ D．②④【答案】B；【解析】由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)幾何體就不是棱錐，故②錯(cuò)；四面體就是由四個(gè)三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，故④錯(cuò)．故選B.9、如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比；【解析】方法1、設(shè)AB＝a，AD＝b，DD′＝c，則長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的體積V＝abc，又S△A′DD′＝eq\f(1,2)bc且三棱錐C－A′DD′的高為CD＝a，所以V三棱錐C－A′DD′＝eq\f(1,3)S△A′D′D·CD＝eq\f(1,6)a