第3講三角函數(shù)與解三角形一．選擇題1．（2023?乙卷）已知函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對(duì)稱軸，則A． B． C． D．2．（2023?甲卷）“”是“”的A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件 C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件3．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是A．， B．， C．， D．，4．（2023?新高考Ⅱ）已知為銳角，，則A． B． C． D．5．（2023?新高考Ⅰ）已知，，則A． B． C． D．6．（2023?乙卷）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則A． B． C． D．7．（2022?北京）已知函數(shù)，則A．在，上單調(diào)遞減 B．在，上單調(diào)遞增 C．在上單調(diào)遞減 D．在，上單調(diào)遞增8．（2022?甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值的計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，A． B． C． D．9．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，則A．1 B． C． D．310．（2022?甲卷）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，若關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是A． B． C． D．11．（2022?新高考Ⅱ）若，則A． B． C． D．12．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，二．多選題13．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，則A．在區(qū)間單調(diào)遞減 B．在區(qū)間，有兩個(gè)極值點(diǎn) C．直線是曲線的對(duì)稱軸 D．直線是曲線的切線三．填空題14．（2023?乙卷）若，，則．15．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，如圖，，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．16．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．，，函數(shù)的周期為，，可得，17．（2023?甲卷）在中，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則．18．（2023?上海）已知中，角，，所對(duì)的邊，，，則．19．（2022?上海）函數(shù)的周期為．20．（2022?浙江）若，，則．21．（2022?北京）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則1．22．（2022?乙卷）記函數(shù)，的最小正周期為．若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．四．解答題23．（2023?乙卷）在中，已知，，．（1）求；（2）若為上一點(diǎn)．且，求的面積．24．（2023?甲卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，求面積．25．（2023?天津）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．26．（2023?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知面積為，為的中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求，．27．（2023?新高考Ⅰ）已知在中，，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．28．（2022?天津）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．29．（2022?浙江）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面積．30．（2022?北京）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．31．（2022?乙卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）證明：．32．（2022?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．33．（2022?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，．已知，．（1）求的面積；（2）若，求．34．（2022?乙卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）若，，求的周長(zhǎng)．第3講三角函數(shù)與解三角形（2022-2023年高考真題）一．選擇題1．（2023?乙卷）已知函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對(duì)稱軸，則A． B． C． D．【答案】【解析】根據(jù)題意可知，，取，，又根據(jù)“五點(diǎn)法“可得，，，，，．故選：．2．（2023?甲卷）“”是“”的A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件 C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】【解析】，可知，可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：．3．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】由給定區(qū)間可知，．區(qū)間，與區(qū)間，相鄰，且區(qū)間長(zhǎng)度相同．取，則，，區(qū)間，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能．結(jié)合選項(xiàng)可得，不可能的是，．故選：．4．（2023?新高考Ⅱ）已知為銳角，，則A． B． C． D．【答案】【解析】，則，故，即，為銳角，，．故選：．5．（2023?新高考Ⅰ）已知，，則A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所以，則．故選：．6．（2023?乙卷）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則A． B． C． D．【答案】【解析】由得，得，即，即，得，在中，，，即，則．故選：．7．（2022?北京）已知函數(shù)，則A．在，上單調(diào)遞減 B．在，上單調(diào)遞增 C．在上單調(diào)遞減 D．在，上單調(diào)遞增【答案】【解析】，周期，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，對(duì)于，在，上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤，對(duì)于，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤，對(duì)于，在上單調(diào)遞減，故正確，對(duì)于，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤，故選：．8．（2022?甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值的計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，A． B． C． D．【答案】【解析】，，，是的中點(diǎn)，在上，，延長(zhǎng)可得在上，，．故選：．9．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，則A．1 B． C． D．3【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為，則，由，得，，的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，，且，則，．，，取，可得．，則．故選：．10．（2022?甲卷）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，若關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是A． B． C． D．【答案】【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，則對(duì)應(yīng)函數(shù)為，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，，即，，則令，可得的最小值是，故選：．11．（2022?新高考Ⅱ）若，則A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以，所以，，所以，所以．解法二：由題意可得，，即，所以，故．故選：．12．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，不能滿足在區(qū)間極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以；函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，，，，求得，故選：．二．多選題13．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，則A．在區(qū)間單調(diào)遞減 B．在區(qū)間，有兩個(gè)極值點(diǎn) C．直線是曲線的對(duì)稱軸 D．直線是曲線的切線【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，所以，，所以，因?yàn)椋?，故，令，解得，故在單調(diào)遞減，正確；，，，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)在區(qū)間，只有一個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；令，，得，，顯然錯(cuò)誤；，求導(dǎo)可得，，令，即，解得或，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線方程為，即，故正確．直線顯然與相切，故直線顯然是曲線的切線，故正確．故選：．三．填空題14．（2023?乙卷）若，，則．【答案】．【解析】，，令，，設(shè)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，則，則．故答案為：．15．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，如圖，，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．由題意：設(shè)，，，，則，由的圖象可知：，即，，又，，，即，，觀察圖象，可知當(dāng)時(shí)，滿足條件，．故答案為：．16．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．，，函數(shù)的周期為，，可得，函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，可得，所以．故答案為：，．17．（2023?甲卷）在中，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則．【答案】2．【解析】如圖，在中，，，由正弦定理可得，，又，，，又為的平分線，且，，又，，．故答案為：2．18．（2023?上海）已知中，角，，所對(duì)的邊，，，則．【答案】．【解析】，，，由余弦定理得，，又，，．故答案為：．19．（2022?上海）函數(shù)的周期為．【答案】【解析】，．故答案為：．20．（2022?浙江）若，，則．【答案】；．【解析】，，，，，，解得，，．故答案為：；．21．（2022?北京）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則1．【答案】1；．【解析】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，，，函數(shù)，，故答案為：1；．22．（2022?乙卷）記函數(shù)，的最小正周期為．若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】3．【解析】函數(shù)，的最小正周期為，若，，則，所以．因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，故，，所以，，因?yàn)?，則的最小值為3．故答案為：3．四．解答題23．（2023?乙卷）在中，已知，，．（1）求；（2）若為上一點(diǎn)．且，求的面積．【解析】（1）在中，由余弦定理可知，，由余弦定理可得，又，，（2）由（1）知：，，，，，的面積為．24．（2023?甲卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，求面積．【解析】（1）因?yàn)?，所以；?），所以，所以，所以，即，由為三角形內(nèi)角得，面積．25．（2023?天津）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ），，，則；（Ⅱ），，，則，化簡(jiǎn)整理可得，，解得（負(fù)值舍去）；（Ⅲ），，，，則，故，所以．26．（2023?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知面積為，為的中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求，．【分析】（1）根據(jù)已知條件，推得，過(guò)作，垂足為，依次求出，，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，求得，兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）為中點(diǎn)，，則，過(guò)作，垂足為，如圖所示：中，，，，解得，，，故；（2），，，，則，①，，即②，由①②解得，，，又，．27．（2023?新高考Ⅰ）已知在中，，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．【解析】（1），，，，，，，，，，即，又，，解得，又，，；（2）由（1）可知，，，，，，設(shè)邊上的高為，則，，解得，即邊上的高為6．28．（2022?天津）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【解析】解（1）因?yàn)?，，，由余弦定理可得，解得：；?），，所以，由，可得，由正弦定理可得，即，可得，所以；（3）因?yàn)椋?，所以，，，可得，所以，所以的值為?9．（2022?浙江）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，且，由正弦定理可得：，即有；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)?，所以，所以；由正弦定理可得：，所以，所以?0．（2022?北京）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【解析】（Ⅰ），，又，，，，；（Ⅱ）的面積為，，又，，，，又，，，，的周長(zhǎng)為．31．（2022?乙卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）證明：．【解析】（1）由，又，，，，即（舍去）或，聯(lián)立，解得；證明：（2）由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，整理可得：．32．（2022?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【解析】（1），，．，化為：，，，，，，．（2）由（1）可得：，，，，為鈍