第01講導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第10題,5分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對稱性的應(yīng)用2022年新I卷，第15題,5分求過一點(diǎn)的切線方程求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值2022年新Ⅱ卷，第14題,5分求過一點(diǎn)的切線方程無2021年新I卷，第7題,5分求過一點(diǎn)的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)2021年新Ⅱ卷，第16題,5分兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題直線的點(diǎn)斜式方程及辨析2020年新I卷，第21題,12分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2020年新Ⅱ卷，第22題,12分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，了解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與思想,了解極限思想2能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并.熟練使用導(dǎo)數(shù)公式表4能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會(huì)求切線方程【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)考查在曲線上一點(diǎn)的切線方程或過一點(diǎn)的切線方程，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考知識講解1. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。2. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝limeq\o(,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).3. 八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）（為常數(shù)）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）4. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（1）和的導(dǎo)數(shù)：（2）差的導(dǎo)數(shù)：（3）積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）（4）商的導(dǎo)數(shù)：，5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）6. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即．（2）直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過點(diǎn)，斜率為，則直線的點(diǎn)斜式方程為：【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過點(diǎn)P的切線，則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解．（1）當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為；（2）當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；第二步：寫出過的切線方程為；第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程，可得過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．考點(diǎn)一、求曲線切線的斜率或傾斜角1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處切線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·山東濰坊·三模）若為函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為切點(diǎn)作曲線的切線，則切線傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.2．（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為．考點(diǎn)二、求在曲線上一點(diǎn)的切線方程1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．1．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程為2．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)在處的切線方程為．3．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.4．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．考點(diǎn)三、求過一點(diǎn)的切線方程1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點(diǎn)的切線方程為．3．（2023·江蘇南通·二模）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線的方程．4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為．5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，這條切線在x軸上的截距為．考點(diǎn)四、已知切線（斜率）求參數(shù)1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．22．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）若曲線的一條切線為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線方程為，則.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線和曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為.考點(diǎn)五、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是．3．（2016·全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)．2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為.3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線與在處的切線平行，則的值為.4．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A． B． C．1 D．25．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．16．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則．7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則．8．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．9．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為．10．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．12．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知直線與曲線和曲線均相切，則實(shí)數(shù)的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程是.4．（2023·全國·校聯(lián)考三模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為．6．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則．7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.8．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.9．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線過點(diǎn)的一條切線方程．三、雙空題10．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線方程為，則，．【能力提升】一、單選題1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．或2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．3．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是B．曲線的切線斜率可以是3C．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條5．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┲本€是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．3π B．π C． D．6．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）已知，若過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，其中，則m與n可能滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與，若曲線和恰有一個(gè)公切點(diǎn)，則的最小值是．8．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┤暨^點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是.9．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）過點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有三條經(jīng)過點(diǎn)的切線，則的范圍為．【真題感知】一、單選題1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．二、填空題4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.三、解答題6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．9．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.11．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：．

第01講導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第10題,5分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對稱性的應(yīng)用2022年新I卷，第15題,5分求過一點(diǎn)的切線方程求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值2022年新Ⅱ卷，第14題,5分求過一點(diǎn)的切線方程無2021年新I卷，第7題,5分求過一點(diǎn)的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)2021年新Ⅱ卷，第16題,5分兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題直線的點(diǎn)斜式方程及辨析2020年新I卷，第21題,12分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2020年新Ⅱ卷，第22題,12分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，了解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與思想,了解極限思想2能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并.熟練使用導(dǎo)數(shù)公式表4能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會(huì)求切線方程【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)考查在曲線上一點(diǎn)的切線方程或過一點(diǎn)的切線方程，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考知識講解1. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。2. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝limeq\o(,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).3. 八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）（為常數(shù)）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）4. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（1）和的導(dǎo)數(shù)：（2）差的導(dǎo)數(shù)：（3）積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）（4）商的導(dǎo)數(shù)：，5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）6. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即．（2）直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過點(diǎn)，斜率為，則直線的點(diǎn)斜式方程為：【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過點(diǎn)P的切線，則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解．（1）當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為；（2）當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；第二步：寫出過的切線方程為；第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程，可得過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．考點(diǎn)一、求曲線切線的斜率或傾斜角1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處切線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的值即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以，也即函數(shù)在處切線的斜率，故選：.2．（2023·山東濰坊·三模）若為函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為切點(diǎn)作曲線的切線，則切線傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用處的導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可得出，然后利用正切值即可得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，，得，則以為切點(diǎn)的切線斜率為，令切線傾斜角為，，則，則.故選：D.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.【答案】0【分析】求出點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),即該點(diǎn)處切線斜率.【詳解】解:由題知,所以,所以,故在點(diǎn)處的切線斜率為0.故答案為:02．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為．【答案】5【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入，可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?即函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為5，故答案為：5考點(diǎn)二、求在曲線上一點(diǎn)的切線方程1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)椋?，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．1．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程為【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】由，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以所求切線方程為，即.故答案為：.2．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）函數(shù)在處的切線方程為．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】因?yàn)?，則，又，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.故答案為：3．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】（寫成亦可）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，，則，因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為即.故答案為：（寫成亦可）.4．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)幾何意義和直線方程的點(diǎn)斜式求法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故答案為：.5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以對恒成立，即對恒成立，所以，則，故，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.故答案為：考點(diǎn)三、求過一點(diǎn)的切線方程1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【答案】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：.【答案】或（寫出一條即可）【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得切線方程.【詳解】由可得，設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點(diǎn)坐標(biāo)為或，故切線方程為或，故答案為：或2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點(diǎn)的切線方程為．【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，且代入可得，故可由點(diǎn)斜式得到切線方程，將代入即可求得或，即可求得切線方程【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，∴，得，∴，，∴切點(diǎn)為，，∴曲線在點(diǎn)M處的切線方程為①，又∵該切線過點(diǎn)，∴，解得或．將代入①得切線方程為；將代入①得切線方程為，即．∴曲線過點(diǎn)的切線方程為或．故答案為：或3．（2023·江蘇南通·二模）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線的方程．【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，代入點(diǎn)求出未知數(shù)即可得到切線方程.【詳解】，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，得方程，代入點(diǎn)，得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.故答案為：（或）.4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，進(jìn)而由切點(diǎn)的位置得出，從而得出切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，這條切線在x軸上的截距為．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，再由兩點(diǎn)間斜率公式可得，解得，即可求得切線方程，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，解得，所以切線方程為，可知該切線在x軸上的截距為．故答案為：，考點(diǎn)四、已知切線（斜率）求參數(shù)1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；【答案】(1)【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，令直線與曲線相切的切點(diǎn)為，于是且，所以.故選：B2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）若曲線的一條切線為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算．【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)曲線與直線的切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得：，則，又因?yàn)橛衷谏?，所以，則故選：A.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線方程為，則.【答案】1【分析】根據(jù)切點(diǎn)在曲線與切線上，代入求解即可.【詳解】，故函數(shù)在處的切點(diǎn)為，又切點(diǎn)在切線上，故，故.故答案為：14．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線和曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】1【分析】首先求導(dǎo)的，再假設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)斜率，得，再將分別代入直線與曲線中，聯(lián)立方程組，解方程即可求出參數(shù)【詳解】已知，得，設(shè)切點(diǎn)為，已知直線斜率，得，再將分別代入直線與曲線中可得解得.故答案為：考點(diǎn)五、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；【答案】(1)3【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.3．（2016·全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】【詳解】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，由點(diǎn)在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【名師點(diǎn)睛】函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的不同．1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)．【答案】5【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合平行關(guān)系分析運(yùn)算.【詳解】∵，則，∴，若切線與直線平行，則，解得.故答案為：5.2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)列式得，即可實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，則，解得.故答案為：.3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線與在處的切線平行，則的值為.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)列方程可得.【詳解】，由題意可知，，即，解得.故答案為：4．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由題可得，即可得答案.【詳解】因的斜率為，則．故選：B．5．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進(jìn)而求得a的值.【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，又因?yàn)?，所以，解?故選：A.6．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則．【答案】【分析】求出，分析可得，即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋ㄇ遥瑒t，因?yàn)橹本€的斜率為，又因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以，，解得.故答案為：.7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則．【答案】/【分析】先根據(jù)和在公共點(diǎn)處有相同的切線得出在處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,再由在上,列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有相同的切線，所以即，所以故答案為：8．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別設(shè)直線為和的切點(diǎn)為，，分別利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，建立關(guān)于的方程組解出即可.【詳解】設(shè)直線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，由，所以，由，則，即點(diǎn)，代入直線中有：，

①由，所以，由，，即點(diǎn)，代入直線中有：，

②聯(lián)立①②解得：，所以，故選：B.9．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】/0.5【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，和切線相同即可判斷.【詳解】，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢，若繼續(xù)增大，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，所以的最大值為.故答案為：.10．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，又當(dāng)時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時(shí)，的值為．故答案為：．11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋郧?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．12．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知直線與曲線和曲線均相切，則實(shí)數(shù)的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】C【分析】由題意可求得直線與曲線和曲線分別切于點(diǎn)，，則，化簡后得，然后將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理可求得其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可得答案.【詳解】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，所以對于曲線，則，所以，所以切點(diǎn)，對于曲線，則，所以，切點(diǎn)，易知A,B不重合，因?yàn)楣芯€過兩點(diǎn)，所以，進(jìn)而可得，令，則，令，則所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在使得，即，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽趦?nèi)存在，使得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽趦?nèi)存在，使得，綜上所述，存在兩條斜率分別為，的直線與曲線和曲線都相切，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是求出兩切點(diǎn)的坐標(biāo)后，將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理解決，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)區(qū)間上各點(diǎn)處切線的斜率的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可得答案.【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率均小于0，故A不正確；對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故B不正確；對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故C不正確；對于D，由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D2．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出的值．【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則．故選：A．二、填空題3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程是.【答案】【分析】根據(jù)題意求導(dǎo)，求出切線的斜率，再求出切線方程即可.【詳解】由題意，得，則在處的切線斜率，所以切線方程為，即.故答案為：.4．（2023·全國·校聯(lián)考三模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，再求出切點(diǎn)，從而可求切線方程.【詳解】由題得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為:.5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為．【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由題意得，，則，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.6．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.【詳解】，，即，，，利用三角函數(shù)定義，．故答案為：.7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.8．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線斜率，進(jìn)而求得切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以切線方程為：，即：.故答案為：.9．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線過點(diǎn)的一條切線方程．【答案】或（寫出其中的一個(gè)答案即可）【分析】首先判斷點(diǎn)在曲線上，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，再說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值，從而得到曲線的另一條切線方程.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程符合題意．因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極大值，又極大值恰好等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以直線也符合題意．故答案為：或（寫出其中的一個(gè)答案即可）三、雙空題10．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線方程為，則，．【答案】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程待定系數(shù)即可.【詳解】易知由題意可得當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：1；【能力提升】一、單選題1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線，由切線經(jīng)過可得出一個(gè)方程，根據(jù)題意切線只有一條，也就是轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程只有一個(gè)解的問題.【詳解】設(shè)切點(diǎn)．因?yàn)椋?，所以點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即.令，則與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時(shí)，，于是符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別設(shè)直線為和的切點(diǎn)為，，分別利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，建立關(guān)于的方程組解出即可.【詳解】設(shè)直線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，由，所以，由，則，即點(diǎn)，代入直線中有：，

①由，所以，由，，即點(diǎn)，代入直線中有：，

②聯(lián)立①②解得：，所以，故選：B.3．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，，，可將問題轉(zhuǎn)化為方程組有且只有一組實(shí)數(shù)根.后通過研究函數(shù)，及過原點(diǎn)與切線，可得答案.【詳解】令，則，令，則，令，則.令在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；又，，則有且只有兩根，分別為.則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于方程組有且只有一組實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)在上遞增，又.即，則有且只有一組實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，方程組有且只有一組實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)圖象與直線圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，臨界情況為兩條直線與圖象相切.當(dāng)與相切，設(shè)對應(yīng)切點(diǎn)為，因，則相應(yīng)切線方程為；當(dāng)與相切，設(shè)對應(yīng)切點(diǎn)為，則相應(yīng)切線方程為，則.綜上，.故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及同構(gòu)以及用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)思想研究函數(shù)圖象的交點(diǎn).同構(gòu)時(shí)，需仔細(xì)觀察，巧用指對互化，將相同結(jié)構(gòu)放在一起以便簡化問題，對于函數(shù)零點(diǎn)問題，?？赊D(zhuǎn)化為相關(guān)圖象交點(diǎn)問題來解決.二、多選題4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是B．曲線的切線斜率可以是3C．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷A、B，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程，判斷方程的解，即可判斷C、D.【詳解】因?yàn)?，所以，對于A：令，方程無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故A錯(cuò)誤；對于B：令，解得，所以曲線的切線斜率可以是，故B正確；對于C：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，顯然，所以，故過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故C正確；對于D：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以存在使得，所以方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有條，故D正確；故選：BCD5．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┲本€是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．3π B．π C． D．【答案】AB【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由題意可得，解得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即，即可得出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵直線恒過定點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵，∴可取，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，則，則，所以，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，故A，B正確，C，D不正確.故選：AB.6．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎?，若過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，其中，則m與n可能滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像，從而結(jié)合圖像得到的關(guān)系式，從而得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，即方程有2個(gè)解，即，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，若，令，得或，令，得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

若，令，得或，令，得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

又，，故由圖可知，當(dāng)或時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，或.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程后，把代入切線方程，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，求解即可.三、填空題7．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與，若曲線和恰有一個(gè)公切點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】設(shè)出公切點(diǎn)，利用和在公切點(diǎn)處函數(shù)值和導(dǎo)函數(shù)值分別相等，得到的表達(dá)式，求出最大值即可.【詳解】，.設(shè)公切點(diǎn)為，則，，即.因此，其中，因?yàn)椋詾榈谝幌笙薜慕?；不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以的最小值是，且有唯一解.故答案為：.8．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考一模）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得切線方程，進(jìn)而根據(jù)過點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，得韋達(dá)定理，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)或，由導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可求解范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，又切線過，則，有兩個(gè)不相等實(shí)根，其中或，令或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即.故答案為：9．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）過點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，，所以切線的斜率為，切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，整理得，依題意可得有兩個(gè)不等的正根，設(shè)，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，得，又，，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，因?yàn)椋?，設(shè)，則，在上為增函數(shù)，又，所以，即，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.故.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有三條經(jīng)過點(diǎn)的切線，則的范圍為．【答案】【分析】求導(dǎo)后對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的凹凸性，再數(shù)形結(jié)合分析相切的臨界條件，從而可得.【詳解】由題意，令，則，令可得或.故當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，圖象往下凸；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，圖象往上凸.

又經(jīng)過的切線方程為，即，令可得，又經(jīng)過的切線方程為，故當(dāng)時(shí)有三條經(jīng)過點(diǎn)的切線.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求導(dǎo)分析函數(shù)切線的問題，需要根據(jù)題意求導(dǎo)，并求導(dǎo)數(shù)形結(jié)合分析切線斜率的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的凹凸性，從而分析切線可能的情況，屬于難題.【真題感知】一、單選題1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.二、填空題4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.【答案】【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因?yàn)?，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增所以．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點(diǎn)評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對值均不大于1．［方法三］：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋O(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．（?。┤?，即或，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．綜上，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．［方法五］：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．．則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．所以，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．【整體點(diǎn)評】（2）方法一：先通過研究函數(shù)的單調(diào)性，得出零點(diǎn)可能所在區(qū)間，再根據(jù)反證法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零點(diǎn)的定義以及零點(diǎn)存在性定理即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：利用零點(diǎn)的定義結(jié)合題意求出的范圍，然后再由零點(diǎn)定義以及的范圍即可求出所有零點(diǎn)的范圍，從而證出；方法四：由函數(shù)的單調(diào)性討論極大值極小值的符號，得出的范圍，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證出；方法五：設(shè)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，滿足，再設(shè)另一個(gè)零點(diǎn)為，通過零點(diǎn)定義找到的關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程存在解的條件以及反證法即可推出矛盾，從而證出．8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零