第十七章勾股定理

（-）教材所處得地位

1、教材分析：本章就是人教版《數學》八年級下冊第17章，本章得主要內容就

是勾股定理及勾股定理得應用，教材從實踐探索入手，給學生創(chuàng)設學習情境，接

著研究直角三角形得勾股定理，介紹勾股定理得逆定理（直角三角形得判定方

法），最后介紹勾股定理及勾股定理逆定理得廣泛應用。

勾股定理就是直角三角形得一個很重要得性質，反映了直角三角形三邊之間

得數量關系。在理論與實踐上都有廣泛得應用。勾股定理逆定理就是判定一個三

角形就是不就是直角三角形得一種古老而實用得方法。在“四邊形”與“解直角

三角形”相關章節(jié)中，勾股定理知識將得到更重要得應用。

2、教材特點：

①在呈現(xiàn)方式上，突出實踐性與研究性。（對勾股定理就是通過問題引出加以探

索認識得。

②突出學數學、用數學得意識與過程，勾股定理得應用盡量與實際問題聯(lián)系起來。

③對實際問題得選取，注意聯(lián)系學生得實際生活。

④注意擴大學生得知識面。（本章安排了兩個閱讀材料與一個課題學習）

⑤注意訓練系統(tǒng)得科學性，減少操作性習題，增加探索性問題得比重。

（二）單元教學目標（包括情感目標）

知識與技能目標：

1、經歷由情境引出問題，探索掌握有關數學知識，再運用于實踐得過程，培養(yǎng)

學數學、用數學得意識與能力。

2、體驗勾股定理得探索過程，掌握勾股定理，會運用勾股定理解決相關問題。

3、掌握勾股定理得逆定理（直角三角形得判定方法），會運用勾股定理逆定理解

決相關問題。

4、運用勾股定理及其逆宣解決簡單得實際問題。

情感與態(tài)度目標：

5、感受數學文化得價值與中國傳統(tǒng)數學得成就，激發(fā)學生熱愛祖國與熱愛祖國

悠久文化得思想感情。

（三）單元教學重難點

教學重點：

1、探索勾股定理并掌握勾股定理；

2、直角三角形得判定方法（勾股定理得逆定理）；

3、勾股定理及其逆定理得應用；

教學難點：

1、從多個角度（代數、幾何）探究勾股定理；

2、勾股定理逆定理得應用；

3、在勾股定理得應用過程中構造適用勾股定理得幾何模型。

（四）單元教學策略

1、教學步驟：

①整個章節(jié)得教學可分四步：探索結論一一驗證結論一一初步應用結論一一應用

結論解決實際問題。

②在探索結論階段，應調動學生得積極性，讓學生充分參與。

③初步應用結論階段得重點就是讓學生明確：在直角三角形中，知道兩邊，可以

求第三邊。

④應用結論解決實際問題分兩類：探索性問題與應用性問題。

2、實施建議

①注重使學生經歷探索勾股定理等過程；

本章從實踐探索入手，創(chuàng)設學習情境，研究直角三角形得勾股定理及它得逆

定理，并運用于解決一些簡單得數學問題與實際問題。在整個學習過程中應注意

培養(yǎng)學生得自主探索精神，提高合作交流能力與解決實際問題得能力。

②注重創(chuàng)設豐富得現(xiàn)實情境，體現(xiàn)勾股定理及其逆定理得廣泛應用；

本章從勾股定理得探索就來源于生活，而本章勾股定理得應用又直接應用于

生活。因此，在探索、驗證、應用等各階段都應更多地設置與生活密切聯(lián)系得現(xiàn)

實情境，使學生能根據生活經驗與情境類比較好地進行勾股定理應用得建模過

程。教學時可更多地利用多媒體輔助教學手段以豐富課堂教學。

③盡可能地介紹有關勾股定理得歷史，體現(xiàn)其文化價值；

與勾股定理有關得背景知識豐富，在教學中，應注意展現(xiàn)與勾股定理有關得

背景知識，使學生對勾股定理得發(fā)展過程有所了解，感受勾股定理得豐富文化內

涵，激發(fā)學生得學習興趣。特別應通過向學生介紹我國古代在勾股定理研究方面

得成就，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化得思想感情，培養(yǎng)她們得民族自

豪感，同時教育學生發(fā)奮圖強，努力學習，為將來擔負起振興中華得重任打下基

礎。

④注意滲透形數結合得思想；

數形結合就是重要得數學思想方法，本章內容又恰就是進行數形結合思想方

法教學得較為理想得材料，因此，應強調通過圖形找出直角三角形三邊之間得關

系，從而解決有關問題。

3、課時安排

全章教學時間為9課時，建議分配如下：

§17、1勾股定理3課時

§14、2勾股定理得逆定理2課時

第17章小結復習2課時

課題：17、1勾股定理（1）

教學目標：

知識與技能：了解勾股定理得發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理得內容，會用面積法證明

勾股定理，能說出勾股定理,并能應用其進行簡單得計算與實際運用、

過程與方法：經歷觀察一猜想一歸納一驗證得數學發(fā)現(xiàn)過程,發(fā)展合情推理得能

力,體會數形結合與由特殊到一般得數學思想、

情感態(tài)度與價值觀：通過對勾股定理歷史得了解與實例應用，體會勾股定理得文

化價值；通過獲得成功得經驗與克服困難得經歷，增進數學學習得信心、激發(fā)學

生得民族自豪感，與愛國情懷。

教學重點：：知道勾股定理得結果，并能運用于解題

教學難點：體會數形結合得思想，并能遷移

教學方法：創(chuàng)設情景--觀察思考一一分析討論--歸納總結一一得出結論

教學準備：班班通、課件、三角尺、彩色粉筆

教學過程：

一、課堂導入：

問題1、同學們，知道勾股定理得內容嗎？會用面積法證明勾股定理嗎？能

說出勾股定理，并能應用其進行簡單得計算與實際運用嗎？、

瞧書、討論歸納總結得出結論

二、合作探究:

1、議一議：畫一個直角邊為3cm與4cm得直角aABC,用刻度尺量出AB

得長。當學生量出AB得長為5cm時提問：為什么呢？

瞧書、討論歸納總結得出結論

2、例1已知：在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC得對邊為a、b、c。

222

求證：a+b=c0

分析：⑴讓學生準備多個三角形模型，最好就是有顏色得吹

塑紙，讓學生拼擺不同得形狀，利用面積相等進行證明。

⑵拼成如圖所不，其等量關系為：4s△+$小正=S大正

4X-ab+(b-a)2=c2,化簡可證。

2

⑶發(fā)揮學生得想象能力拼出不同得圖形，進行證明小結：

命題1：

如果直角三角形得兩條直角邊長分別為a、b、斜邊長為Co那么1+b2=c2

三、交流展示:

勾股定理得證明方法，達300余種。這個古老得精彩得證法，出自我國古代

無名數學家之手。、同學們，試一試?

3、例2已知：在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC得對邊為a、b、c。

求證：a2+b2=c2o

分析：左右兩邊得正方形邊

長相等，則兩個正方形得面

積相等。

左邊S=4X—ab+c2

2

右邊S=(a+b)2

左邊與右邊面積相等，即

4xlab+c=(a+b)?化簡可證。

2

這樣就證明了命題1得正確性我國把它叫勾股定理

CB

四、歸納小結：什么叫勾股定理？怎樣證明？

222

1、a+b=co

2、4X—ab+(b—a)2=c2

2

五、課堂檢測:能力培養(yǎng)與測試17、1勾股定理(1)夯實基礎部分

六、布置作業(yè):能力培養(yǎng)與測試17、1勾股定理(1)夯實基礎部分

七、板書設計:

17、1勾股定理（1）

例1例2命題1：小結:

八、教學反思:

課題：17、1勾股定理（2）

教學目標:

知識與技能:1、掌握勾股定理得內容，會用面積法證明勾股定理。

2、能說出勾股定理,并能應用其進行簡單得計算與實際運用。

過程與方法:1、經歷觀察一猜想一歸納一驗證得數學發(fā)現(xiàn)過程。

2、發(fā)展合情推理得能力，體會數形結合與由特殊到一般得數學思

想、樹立數形結合得思想、分類討論思想。

情感態(tài)度與價值觀：通過對勾股定理歷史得了解與實例應用，體會勾股定理得文

化價值；通過獲得成功得經驗與克服困難得經歷，增進數學學習得信心、激發(fā)學

生得民族自豪感，與愛國情懷。

教學重點：勾股定理得簡單計算。

教學難點：勾股定理得靈活運用。

教學方法：創(chuàng)設情景--觀察思考----分析討論―-歸納總結----得出結論

教學準備：班班通、課件、三角尺、彩色粉筆

教學過程：

一、課堂導入：

問題1、什么叫勾股定理？怎樣證明？

二、合作探究：

1、議一議：瞧書、討論歸納解題方法：怎樣用勾股定理來求Rt△得邊呢

小組討論、分組發(fā)言、教授訂正或舉例說明

三、交流展示:

例1（補充）在RtZ\ABC,ZC=90°

（1）知a=b=5,求c。⑵已知a=l,c=2,求b。

（2）知c=17,b=8,求a。⑷已知a：b=l：2,c=5,求a。

（5）已知b=15,ZA=30°,求a,c。

分析：剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間得關

⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊與一直角邊，求另

一直角邊，用勾股定理得便形式。⑷⑸已知一邊與兩邊比，

求未知邊。通過前三題讓學生明確在直角三角形中，已知任k

意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學生明確已知一邊與兩/\

邊關系，也可以求出未知邊，學會見比設參得數學方法，體/\

會由角轉化為邊得關系得轉化思想。/0B

例2（補充）已知直角三角形得兩邊長分別為5與12,求第

三邊。

分析：已知兩邊中較大邊12可能就是直角邊，也可能就是斜邊，因此應分兩種

情況分別進形計算。讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。

例3（補充）已知：如圖，等邊AABC得邊長就是6cm。

⑴求等邊^(qū)ABC得高。

⑵求SAABCO

分析：勾股定理得使用范圍就是在直角三角形中，因此注意要

創(chuàng)造直角三角形，作高就是常用得創(chuàng)造直角三角形得輔助線做

法。欲求高CD,可將其置身于Rt^ADC或RtABDC中，

但只有一邊已知，根據等腰三角形三線合一性質，可求

AD=CD=—AB=3cm,則此題可解。

2

四、歸納小結：

用勾股定理計算時，要先畫好圖形，并標好圖形，理清邊

之間得關系，之后靈活運用勾股定理計算。

五、課堂檢測：能力培養(yǎng)與測試17、1勾股定理（1）夯實基礎部分

六、布置作業(yè)：能力培養(yǎng)與測試17、1勾股定理（1）夯實基礎部分

七、板書設計:

17、1勾股定理（2）

命題1：例1

例2小結:

八、教學反思:

課題：17、1勾股定理（3）

教學目標:

知識與技能:1、掌握勾股定理得內容，會用勾股定理解決簡單得實際問題。

2、樹立數形結合得思想。

過程與方法:1、經歷觀察一猜想一歸納一驗證得數學發(fā)現(xiàn)過程,

2、發(fā)展合情推理得能力，體會數形結合與由特殊到一般得數學思

想、樹立數形結合得思想、分類討論思想。

情感態(tài)度與價值觀：通過對勾股定理歷史得了解與實例應用，體會勾股定理得文

化價值；通過獲得成功得經驗與克服困難得經歷，增進數學學習得信心、激發(fā)學

生得民族自豪感，與愛國情懷。

教學重點：勾股定理得簡單計算。勾股定理得應用。

教學難點：勾股定理得靈活運用。實際問題向數學問題得轉化。

教學方法：創(chuàng)設情景--觀察思考----分析討論--歸納總結----得出結論

教學準備：班班通、課件、三角尺、彩色粉筆

教學過程：

一課堂導入：

問題1、什么叫勾股定理？怎樣證明？

問題2、如何將實際問題轉化為數學問題，之后用勾股定理解決實際問題

呢？

得轉化；學會如何利用數學知識、思想、方法解決實際問

題。

二、合作探究：

1、議一議：瞧書、討論歸納解題方法P25例1、例

2、勾股定理在實際得生產生活當中有著廣泛得應用。勾股

定理得發(fā)現(xiàn)與使用解決了許多生活中得問題，今天我們就來運用勾股定理解決一

些問題，您可以嗎？試一試。

三、交流展示：

例1（教材P25）一個門框得尺寸如圖，一塊長3米、寬2、2米得長方形

薄木板能否從門框內通過？為什么？

分析：⑴在實際問題向數學問題得轉化過程中，注意勾股定理得使用條件,

即門框為長方形，四個角都就是直角。⑵讓學生深入探討圖中有幾個直角三角

形？圖中標字母得線段哪條最長？⑶指出薄木板在數

學問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？

⑷轉化為勾股定理得計算，采用多種方法。⑸注意給學

生小結深化數學建模思想，激發(fā)數學興趣。

明確如何將實際問題轉化為數學問題，注意條件得

轉化；學會如何利用數學知識、思想、方法解決實際問題。

例2（教材P25）一架2、6米長得梯子AB斜靠在一豎直得墻A0上，這時

A0為2、4米，如果梯子得頂端A沿強下滑0、5米，那么梯子底端B也外移0、

5米嗎？

分析：⑴在AAOB中，已知AB=3,A0=2、5,利用勾股定理計算OB。

（2）在中，已知CD=3,C0=2,利用勾股定理計算0D。

則BD=OD-OB,通過計算可知BDWAC。

⑶進一步讓學生探究AC與BD得關系，給AC不同得值，計算BD

四、歸納小結：

1、用勾股定理計算時，要先畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間得關系，

之后靈活運用勾股定理計算。

2、注意條件得轉化；學會如何利用數學知識、思想、方法解決實際問題。

五、課堂檢測：能力培養(yǎng)與測試17、1勾股定理（1）夯實基礎部分

六、布置作業(yè)：能力培養(yǎng)與測試17、1勾股定理（1）夯實基礎部分

七、板書設計：17、1勾股定理（3）

勾股定理例1

例2小結：

八、教學反思:

課題：17、2勾股定理得逆定理（1）

教學目標：

知識與技能：1、體會勾股定理得逆定理得出過程，掌握勾股定理得逆定理。

2、探究勾股定理得逆定理得證明方法。

3、理解原命題、逆命題、逆定理得概念及關系。

過程與方法：1、經歷觀察一猜想一歸納一驗證得數學發(fā)現(xiàn)過程。

2、發(fā)展合情推理得能力，體會數形結合與由特殊到一般得數學思

想、樹立數形結合得思想、分類討論思想

情感態(tài)度與價值觀：通過對勾股定理得逆定理得證明得探究，.理解原命題、逆

命題、逆定理得概念及關系。體會勾股定理得文化價值；通過獲得成功得經驗與

克服困難得經歷，增進數學學習得信心、激發(fā)學生得民族自豪感，與愛國情懷。

教學重點：勾股定理得逆定理，原命題、逆命題、逆定理得概念及關系

教學難點：勾股定理得逆定理得證明方法，

教學方法：創(chuàng)設情景--觀察思考----分析討論―-歸納總結----得出結論

教學準備：班班通、課件、三角尺、彩色粉筆

教學過程：

一課堂導入：

問題1、什么叫勾股定理？如果把命題一得題設與結論互換，會得到什么命

題呢？討論、交流、得出命題二

二、合作探究：

1、議一議：同學們想一想：命題一命題二有什么關系？瞧書、討論歸

納p31、、、32

三、交流展示：

2、同學們：原命題，逆命題，逆定理得概念，及它們之間得關系？討論、

歸納。分小組發(fā)言，教師訂正

3、同學們：瞧書p32面得內容后，您能證明命題二就是真命題嗎？動手操

作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合。得出結論。

勾股7E理7E理：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

例1(補充)說出下列命題得逆命題，這些命題得逆命題成立嗎？

⑴同旁內角互補，兩條直線平行。

⑵如果兩個實數得平方相等，那么兩個實數平方相等。

⑶線段垂直平分線上得點到線段兩端點得距離相等。

⑷直角三角形中30°角所對得直角邊等于斜邊得一半。

分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設與結論調換即可，但

要分清題設與結論，并注意語言得運用。

⑵理順她們之間得關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，

也可能一真一假，還可能都假。

例2(補充)已知：在AABC中，NA、NB、NC得對邊分別就是a、b、c,

a=n2—1,b=2n,c=n2+l(n>l)求證：ZC=90°。

分析：⑴運用勾股定理得逆定理判定一個三角形就是否就是直角三角形得一

般步驟：①先判斷那條邊最大。②分別用代數方法計算出a，b2與c,得值。③判

斷a'+b?與/就是否相等，若相等，則就是直角三角形；若不相等，則不就是直

角三角形。

⑵要證NC=90°,只要證AABC就是直角三角形，并且c邊最大。根據勾股

定理得逆定理只要證明a?+b2=c2即可。

⑶由于a2+bJ(n2—1)2+(2n)2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,

從而a'+bJ",故命題獲證。

四、歸納小結：1、命題一命題二2、勾股定理、勾股定理得逆定理

3、原命題，逆命題，逆定理得概念，及它們之間得關系

五、當堂訓練：

一、必作題：1.判斷題。

⑴在一個三角形中，如果一邊上得中線等于這條邊得一半，那么這條邊所對

得角就是直角。

⑵命題：“在一個三角形中，有一個角就是30°,那么它所對得邊就是另一

邊得一半。”得逆命題就是真命題。

⑶勾股定理得逆定理就是：如果兩條直角邊得平方與等于斜邊得平方，那么

這個三角形就是直角三角形。

⑷AABC得三邊之比就是1：1：41,則^ABC就是直角三角形。

2.△ABC中NA、NB、NC得對邊分別就是a、b、c,下列命題中得假命題就

是（）

A.如果NC—NB=NA,則AABC就是直角三角形。

B.如果c?=b2—a2,則AABC就是直角三角形，且NC=90°。

C.如果（c+a）（c-a）=b2,則AABC就是直角三角形。

D.如果NA：ZB：ZC=5：2：3,則AABC就是直角三角形。

二、選做題：

3.下列四條線段不能組成直角三角形得就是（）

A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a=7?,b=V3,c=V2D.a：b：c=2：3：4

4.已知：在AABC中，NA、NB、NC得對邊分別就是a、b、c,分別為下列

長度，判斷該三角形就是否就是直角三角形？并指出那一個角就是直角？

1、a=y/s,b=2V2,c=-\/~5；2、a=5,b=2^6,c=l。

六、課堂檢測：

能力培養(yǎng)與測試17、2勾股定理、勾股定理得逆定理（1）夯實基礎部分

七、布置作業(yè)：

能力培養(yǎng)與測試17、2勾股定理、勾股定理得逆定理（1）夯實基礎部分

八、板書設計：17、2勾股定理得逆定理（1）

命題1：命題2：勾股定理、勾股定理得逆定理

例1例2小結：

教學反思：

課題：17、2勾股定理得逆定理（2）

知識與技能：1、掌握勾股定理得逆定理。

2、靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

3、進一步加深性質定理與判定定理之間關系得認識。

過程與方法：1、經歷觀察一猜想一歸納一驗證得數學發(fā)現(xiàn)過程，

2、發(fā)展合情推理得能力，體會數形結合與由特殊到一般得數學思

想、樹立數形結合得思想、分類討論思想

情感態(tài)度與價值觀：、靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。培養(yǎng)學生利用

方程思想解決問題，進一步養(yǎng)成利用勾股定理得逆定理解決實際問題得意識。

通過獲得成功得經驗與克服困難得經歷，增進數學學習得信心、激發(fā)學生得民族

自豪感，與愛國情懷。

教學重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

教學難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

教學方法：創(chuàng)設情景--觀察思考一一分析討論--歸納總結一一得出結論

教學準備：班班通、課件、三角尺、彩色粉筆

教學過程：

一課堂導入：

問題1、什么叫勾股定理？勾股定理得逆定理？怎樣靈活應用勾股定理及逆

定理解決實際問題呢？在前面我們以經學習過，今天我們繼續(xù)學習，靈活應用勾

股定理及逆定理解決實際問題。

二、合作探究：

1、議一議

例1(P32)判斷由線段a、b、c組成得三角形就是不就是直角三角形：

1、a=15>b=8>c=17

2、a=13>b=14>c=15

分析：根據勾股定理及逆定理，判斷一個三角形就是不就是直角三角形，只

要瞧兩條較小邊長得平方與就是否等于最大邊長得平方。

瞧書p32、討論歸納理解例1解題方法。了解勾

股數。

三、交流展示:

例2課本(P33例2)

分析：⑴了解方位角，及方位名詞;

⑵依題意畫出圖形;

⑶依題意可得PR=12X1、5=18,PQ=16XK5=24,QR=30；

⑷因為242+182=3()2,PQ2+PR2=QR2,根據勾股定理得逆定理，知NQPR=90

⑸NPRS=NQPR-NQPS=45°。

小結：讓學生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理得逆定理”得意識。

例3（補充）一根30米長得細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊

得長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請您試判斷這個三角形得形狀。

分析：⑴若判斷三角形得形狀，先求三角形得三邊長;

⑵設未知數列方程，求出三角形得三邊長5、12、13；

⑶根據勾股定理得逆定理，由5，122=132,知三角形為直角三角形。

解略。

例2、例3兩題分小組討論，小組發(fā)言，后全班展示

四、歸納小結：1、勾股定理及逆定理

2、養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理得逆定理”得意識

3、靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

五、當堂訓練:

一、必作題：

二、填空

1、小強在操場上向東走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。小強在

操場上向東走了80m后，又走60m得方向就是.

2、一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數得三角形,則三邊長分別為

,此三角形得形狀為

六、課堂檢測:

能力培養(yǎng)與測試17、2勾股定理、勾股定理得逆定理⑴夯實基礎部分

七、布置作業(yè):

能力培養(yǎng)與測試17、2勾股定理、勾股定理得逆定理⑴夯實基礎部分

八、板書設計:17、2勾股定理得逆定理（2）

例1例2

例3小結:

教學反思:

課題：第17章勾股定理復習

教學目標:

知識與技能：1、復習勾股定理與勾股定理得逆定理，

2、能進行相應得計算，并能在實際問題中應用。

3.進一步加深性質定理與判定定理之間關系得認識。

過程與方法：1、經歷觀察一猜想一歸納一驗證得數學發(fā)現(xiàn)過程，

2、發(fā)展合情推理得能力，體會數形結合與由特殊到一般得數學思

想、樹立數形結合得思想、分類討論思想

情感態(tài)度與價值觀：、靈活應