數(shù)學基礎(chǔ)知識

默寫小紙條第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作

或

.(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的

，相應(yīng)的切線方程為

.導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作

或

.f′(x0)(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的

，相應(yīng)的切線方程為

.斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝___f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝___基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝___f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______0αxα－1cosx－sinxaxlnaf(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝___ex導(dǎo)數(shù)的運算法則1.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝

；[f(x)g(x)]′＝

；[cf(x)]′＝

.5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝

，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.導(dǎo)數(shù)的運算法則1.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝

；[f(x)g(x)]′＝

；f′(x)±g′(x)[cf(x)]′＝

.f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝

，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.y′u·u′x常用結(jié)論1.在點處的切線與過點的切線的區(qū)別(1)

點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.(2)

點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.2.可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

.3.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的

，|f′(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的

，|f′(x)|越

，曲線在這點處的切線越“陡”.常用結(jié)論1.在點處的切線與過點的切線的區(qū)別(1)

點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.(2)

點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.在過2.可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

.偶函數(shù)奇函數(shù)周期函數(shù)3.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的

，|f′(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的

，|f′(x)|越

，曲線在這點處的切線越“陡”.方向快慢大導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性11.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是_________單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的

；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的

；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.定義域零點導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性11.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是_________單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的

；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的

；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.定義域零點導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性23.常用結(jié)論①若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則當x∈(a,b)時,

恒成立；若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則當x∈(a,b)時,

恒成立.②若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則當x∈(a,b)時,

有解；若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則當x∈(a,b)時,

有解.③若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為

在(a,b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號).④偶函數(shù):對稱區(qū)間上單調(diào)性

；

奇函數(shù):對稱區(qū)間上單調(diào)性

.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性23.常用結(jié)論①若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則當x∈(a,b)時,

恒成立；若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則當x∈(a,b)時,

恒成立.②若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則當x∈(a,b)時,

有解；若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則當x∈(a,b)時,

有解.③若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為

在(a,b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號).④偶函數(shù):對稱區(qū)間上單調(diào)性

；

奇函數(shù):對稱區(qū)間上單調(diào)性

.互異相同f′(x)>0f′(x)<0f′(x)≥0f′(x)≤0f′(x)＝0導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值11.函數(shù)的極值極小值f(a)極大值f(b)在x=a或b附近比其他點處的函數(shù)值都

,比其他點處的函數(shù)值都,f′(x)f′(a)=

,f′(b)=

,在點x＝a或b附近的導(dǎo)數(shù)符號左側(cè)

，右側(cè)

，左側(cè)

，右側(cè)

，函數(shù)的單調(diào)性先

后

，先

后

，極值點a叫做函數(shù)y＝f(x)的

，b叫做函數(shù).

2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f′(x0)＝0”是“函數(shù)在x＝x0處有極值”的

條件.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值11.函數(shù)的極值極小值f(a)極大值f(b)在x=a或b附近比其他點處的函數(shù)值都

,比其他點處的函數(shù)值都,f′(x)f′(a)=

,f′(b)=

,在點x＝a或b附近的導(dǎo)數(shù)符號左側(cè)

，右側(cè)

，左側(cè)

，右側(cè)

，函數(shù)的單調(diào)性先

后

，先

后

，極值點a叫做函數(shù)y＝f(x)的

，b叫做函數(shù).

極小值點極大值點小大00f′(x)<0f′(x)>0f′(x)<0f′(x)>0減增減增2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f′(x0)＝0”是“函數(shù)在x＝x0處有極值”的

條件.必要不充分導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值22.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值22.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)*函數(shù)中的構(gòu)造問題11.利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

.(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

.2.利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)(1)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

.(2)出現(xiàn)f′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

.*函數(shù)中的構(gòu)造問題11.利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

.