y=~2x+xjx求dy(微分)，先求導(dǎo)數(shù)

極限ef

解：

limsinx

----=lty'=(e~2x+x4x)

x->0x

=(戶'+(訴，

令:-2x=u

3

基本積分公式8導(dǎo)數(shù)基本公式=(?”)'+*)'

(1)\Odx=cbe(c)'=0=eu+—x2

2

⑵fxadx=-^—xa+la131

+c(x)=ax2x2

a+\=e-(-2x)+-x

2

1

(3)f—t￡r=ln|x|+c(Inx)=—31

XX=-2e-2x+-x2

2

(4)jaxdx=---+cx31

°⑷)=a\nady=(-2e~2x+—x2)dx

Ina

(5)\exdx=ex+c?(ex)=ex三、示例②

y=eG+±求y

(6)fsinxdr=-cosx+c(cosx)=-sinx

X

解：

(7)]cosxdx=sinx+c(sinx)=cosx

y=(產(chǎn)+與

X

令Jx+1=u

22

Vx=X?-^==X2Xy/x=X^—^-==X原式=(e"+』)’

VxXy/xx

=(euy+(x-ly

ll2

XX=eu'-x~

=(y[x+\y-x-2

cosO=1cos—=0cos^-=-1lne=l=；產(chǎn)(工+1/7-2

2

冗

sinO=O?sin—=1sin^=0lnl=0三、示例②涉及公式

2

(u+v)'=u'+v'

(w-v),=w'-v'

三、示例①

(MV)'=u'v+uv'

lim，-3x+2

■rf2x2-4

lim*-2)--1)

x—>2(x—2)(x+2)

lim1

x—>2x+2

1

=—

4

j三、示例②

三、示例③三、示例④

fo2xexdx

sinVx,

——T^ax

令2x=〃,e"=v'

貝"〃'=2,v=\v'dx=\e'dx-ex

=JsinVx(-7=)t￡v

ylx原式=2xex-f02exdx

=f(sin

二(2e-0)-2j；exdx

=2f(sinVx)t/Vx

=2e-(2e-2)

令&=u=2

2jsin〃d〃

三、示例④

=-2cosw+c

￡

=-2cosVx+cJoxcosxdx

令X=〃,COSX=V*

三、示例③

則〃'=l,v=Jcosxdx=sinx

￡￡

x-原式=xsinxp_J：Ixsinxdx

=\ex-^-dx

=xsinx|2+cosx|2

xIoIo

/萬(wàn).乃八、/7C八、

=-\e^d—=(—xsin——0)4-(cos——cosO)

x222

令』=u=--1

X2

=-\eudu

三、示例④

=-e+c

犬

J：xsinxtZr

=—ex+c

令x=〃,sinx=v*

三、示例③涉及公式

則〃'=l,u=Jsinxtfr=-cosx

—dx—2,dy/~xn￡

原式=x(-cosx)|J-"1x(-cosx)公

1j,1K￡

—rdx=-a-=-xcosxp+J：cosxdx

xx

1,

—ax=d\nx

x

exdx=d(ex+c)

=0+(siny-sin0)

sin犬公=-dcosx

cosxdx=Jsinx=1

三、示例④涉及公式

\uVdx=uvu1vdx

bb

\auv'dx=uv^-\ativdx

k^=k

x\=b-a

三、示例①

..Vl-X-l(V1-x-1)(V1-X+1)

lun------------=lim------------------------------:.dy=—exsinexdx

XMsin4.r—osin4x(Vl-x+1)(xJ

[.0-x)-1-x三、示例③

=lim----------.-----=lim-----------------

sin4x(V1-x+1)sin4x(V1-x+1)

2

fInx,r.22

v—x1..—X..1—I------ar=IInxa\nx令lnx=〃^udu

=hm----------.——=lim--------hm/-----=—二、

XTOsin4xJl—x+1sin4x*T。Jl一1+1

111

=——X-=——

428

33

示例②

三、示例③

2

設(shè)y=/e，求y'.r1+51nx.

————dx

Jx

1/，(L}

y'=(x2ev)r=(x2)ex+x2ex=j(1+5Inx)dInx=J(1+5Ind(5Inx)

\/

="(1+5Inx)d(\+5Inx)^l+51nx=z/2+c

11r?\1

=2xev+x2ex——j-1=(2x-l)ev

=—(l+51nx)2+c

三、示例②

三、示例④

設(shè)y=sin4x+cos31，求y'

J"InxLr

yr=4cos4x-3sinxcos2x

令lnx=〃,x"=/,則u'=—v=------xa+[

三、示例②x,a+\

設(shè)y=x7x+Incosx,求y'.Px"In杜=(Inx)—xa+,If-P-—xa+}dx

Ji4+11Jlxa+\

y=(x6+lncosx)，=(x&j+(lncosx)'=(Ine—-In1—la+,)———[xadx

a+1a+la+W

(,31ia+,fl+,

令cosx=ux2+(inu)=-x2+—wz=—e——5—rx|r

--------------k)2uQ+1S+l)21

311.31sinx

2i(i]、

=—x+------(cosx)=-x-----------1"+11^a+\1ia+l

2cosx2cosx=------e-----------re------rl

a+l+(a+l),

,3rsinx3廠

y=—\Jx---------=-yjx-tanx

2cosx2

注意：〃為兒就代入幾，比如，X?1n疝中〃為

三、示例②

2,J；xInjalr中a為1,中〃為

設(shè)y=Inx+cose”,求dy.

%,[InMr4為0

令e"=u,則cose1=cosw

示例四(應(yīng)用題)

y'=(inx+coseA)=(inx)+(cosev)

某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為V的有蓋圓柱形容器,問(wèn)容器

的底半徑與高各為多少時(shí)可使用料最省？

解：設(shè)圓柱體半徑為R,高為h,則體積

V=7rR2hS表面積=2成〃+2成2=21+2成之所以丁=2%上點(diǎn)蛻1,右）或B（l,-0）到到點(diǎn)

A

A（2,0）的距離最短.

令；S'=-2叱+4成=（）=>==2=>R$示例四（應(yīng)用題）

圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng),問(wèn)當(dāng)?shù)装?/p>

徑與高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

答：當(dāng)R時(shí)表面積最小，即用料