一、輔助線的基本作法：

、連接2、延長3、作垂線4、作平行線5、作線段相等6、作相等角7、平移翻折旋轉(zhuǎn)

二、方法探究：三角形部分

1、遇到有線段加減的等量關(guān)系時(shí)——截長補(bǔ)短

2、遇到有中點(diǎn)的線段或中線時(shí)一倍長中線

3、遇到有中點(diǎn)或垂直，考慮構(gòu)建垂直平分線；遇到垂直平分線，往往考慮連接垂直平分線上的

點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)。

4、遇到角平分線：常常構(gòu)建角平分線上

規(guī)律21.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，為△48C的中線且/I=N2,Z3=Z4,

求證：BE+CF>EF

證明：在D4上截取DV=D8,連結(jié)NE、NF,貝I」ON=ZX?

在△80E和△%￡>￡中，

DN=DB

Zl=Z2

ED=ED

：.4BDE學(xué)/XNDE

：.BE=NE

同理可證：CF=NF

在△EFN中，EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

規(guī)律22.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，40為△NBC的中線，且Nl=/2,Z3=Z4,求證：BE+CF>EF

證明：延長￡7）到使連結(jié)CAf、FM

/XBDE和中，

BD=CD

Z1=Z5

ED=MD

：.叢BDE學(xué)叢CDM

：.CM=BE

又：N1=N2,Z3=Z4

Z1+Z2+Z3+Z4=180°

.\Z3+Z2=90°

即NEDF=90"

NFDM=ZEDF=90"

△EOF和/中

ED=MD

ZFDM=ZEDF

DF=DF

^EDF^/XMDF

：.EF=MF

'：在4CMF中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此題也可加倍FD,證法同上）

規(guī)律23.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，49為△48C的中線，求證：AB+AO2AD

證明：延長/。至E,使DE=/D,連結(jié)8E

'：AD為△/8C的中線

：.BD=CD

在△ZCD和△￡5。中

BD=CD

Zl=Z2

AD=ED

：./\ACD^/\EBD

"：/\ABE中有

：.AB+AC>2AD

規(guī)律24.截長補(bǔ)短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法.

當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法:

①a>b

②a動=c

③a士分=c±d

例：已知，如圖，在△/8C中，AB>AC,Zl=Z2,P為月D上任一點(diǎn),

求證：AB-AOPB-PC

證明：⑴截長法：在48上截取連結(jié)PN

在△4RV和中，

AN=AC

Zl=Z2

AP=AP

；.^APNgAAPC

：.PC=PN

'：/XBPN中有PB-PC<BN

:.PB—PCVAB-AC

⑵補(bǔ)短法：延長/C至M,使連結(jié)尸Af

在和△/MP中

AB=AM

Zl=Z2

AP=AP

：./\ABP^/\AMP

：.PB=PM

又?.,在中有CM>PM-PC

：.AB-AOPB-PC

練習(xí)：1.已知，在△Z8C中，ZB=60°,AD.CE是△Z8C的角平分線，并

A,

BC

且它們交于點(diǎn)o

求證：AC=AE+CD

2.已知，如圖，AB//CDZ\=Z2,Z3=Z4.

求證：BC=AB+CD

規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。

②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角

形全等.

③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.

例:如圖，已知，BE、8相交于尸，Z5=ZC,Zl=Z2,求證：DF=EF

證明："：ZADF=ZB+Z3

NAEF=ZC+Z4

又；N3=N4

ZB=ZC

：.ZADF=AAEF

在尸和△/（￡■尸中A

ZADF=ZAEFA

△ND尸絲/\AEFBc

：.DF=EF

規(guī)律26.在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相等.

例：已知，如圖△/△48C中，AB=AC,ZBAC=90°,過工作任一條直線4V,作BO_L4N于。，

CE1AN于E,求證：DE=BD~CE

證明：VZBAC=90°,BDLAN

.".Zl+Z2=900Zl+Z3=90°

AZ2=Z3

?：BDLANCEA.AN

：.ZBDA=ZAEC=90°

在和中，

ABDA=N4EC

Z2=Z3

AB=AC

：./\ABD^/\CAE

：.BD=AE且AD=CE

：.AE~AD=BD-CE

：.DE=BD~CE

規(guī)律27.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等.

例：［。為的中線，且CF_L/。于尸，的延長線于E

求證：BE=CF

證明：（略）

E

規(guī)律28.條件不足時(shí)延長已知邊構(gòu)造三角形.

例：已知NC=8。，力。_L/C于/,BCBD于B

求證：AD=BC

證明：分別延長。力、C8交于點(diǎn)E

'：ADLACBC1.BD

:.NCAE=NDBE=90°

在和△€1/￡：中

NDBE=NCAE

BD=AC

NE=NE

：.ADBE@ACAE

：.ED=EC,EB=EA

：.ED~EA=EC~EB

：.AD=BC

規(guī)律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.

例:已知,如圖，AB//CD,AD//BC

求證:AB=CD

證明:連結(jié)NC（或8。）

?:AB"CD,AD//BC

.\Z1=Z2

在△NBC和中，

Z1=Z2

AC=CA

Z3=Z4

：./\ABC^^CDA

：.AB=CD

練習(xí)：已知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求證：BE=DF

規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”.

例：已知，如圖，在放△/8C中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE_L5。的延長線于E

求證：BD=ICE

證明：分別延長8/、CE交于F

'：BE±CF

："BEF卷BEC=9。"「

在△BEF和△2EC中、

NBEF=NBECBc

1

：.CE=FE=-CF

2

'：ZBAC=90°,BE±CF

：.ZBAC=ZCAF=90°

N1+/8D4=90°

Z\+ZBFC=90u

NBDA=NBFC

在/\ABD和△NC尸中

NBAC=ZCAF

ZBDA=ZBFC

AB=AC

AABD絲AACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

練習(xí)：已知，如圖，NACB=3NB,/I=N2,CD_LN。于

求證：AB-AC=2CD

規(guī)律31.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，AC,8。相交于O,RAB=DC,AC=BD,

求證：ZA=ZDAD

證明：（連結(jié)3C,過程略）

BC

規(guī)律32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件.

例：已知，如圖，AB=DC,ZA=Z￡>

求證：NABC=NDCB

證明：分別取4。、BC中點(diǎn)、N、M,A

連結(jié)NB、NM、NC（過程略）/\

BZ---------------------

規(guī)律33.有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離

相等證題.

例：已知，如圖，Z1=Z2,P為BN上一點(diǎn),且8c于。，AB+BC=2BD,

求證：ZBAP+ZBCP=\^°

證明：過尸作PELBA于E

'：PDLBC,Zl=Z2

：.PE=PD

在Rt/XBPE和RtABPD中

BP=BP/

PE=PD

B

DC

：.BE=BD

'：AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE~AE

：.AE=CD

'：PE±BE,PD1BC

NPEB=NPDC=90°

在APEA和△P￡）C中

PE=PD

ZPEB=ZPDC

AE=CD

：.叢PEA學(xué)4PDC

：.NPCB=NEAP

'：ZBAP+AEAP=\^°

:.NB4P+NBCP=180°

練習(xí)：1.已知，如圖，PA.PC分別是△N8C外角NK4C與/NC/的平分線，它們交于P,

PDLBM于M,PFLBN于■F,求證：8P為的平分線

2.已知，如圖，在△/8C中，ZABC=\Q0°,ZACB=20°,CE是/NCB的平分線，。是4c

上一點(diǎn)，若NCBD=20",求/CEO的度數(shù)。

規(guī)律34.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例：已知，如圖，AB=AC,BD14c于D,

求證：NBAC=2NDBC

證明：（方法一）作N8ZC的平分線NE,交.BC于E,則Nl=/2=-ZBAC

2

5L'：AB=AC

：.AE±BC

：.Z2+ZACB=90"

'：BDLAC

：.ZDBC+ZACB=90"

，Z2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）過4作ZELBC于E（過程略）

（方法三）取8c中點(diǎn)E,連結(jié)NE（過程略）

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線

例：已知，如圖，△48C中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)、,DELAB于E,DFLACF,

求證：DE=DF

證明：連結(jié)/D

?.,。為8c中點(diǎn)，

：.BD=CD

又；AB=AC

：.AD平分/84C

\"DELAB,DFA.AC

：.DE=DF

⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例：已知，如圖，△Z8C中，AB=AC,在比1延長線和AC上各取一點(diǎn)E、F,使NEAF,求

證：EFLBC

證明：延長8E到N,使=連結(jié)CN,則/8=/N=/C

NB=NACB,NACN=ZANC

,//8+ZACB+ZACN+ZANC=180°

：.2ZBCA+2ZACN=180°

：.ZBCA+ZACN=90°

即/8CN=90"

.".NCLBC

'：AE=AF

：.NAEF=ZAFE

又?/ZBAC=ZAEF+ZAFE

NBAC=NACN+ZANC

：.ZBAC=2ZAEF=2ZANC

：.NAEF=ZANC

J.EF//NC

：.EF±BC

⑷常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線

例：已知，如圖，在△/BC中，AB=AC,。在上，E在ZC延長線上，且BD=CE,連結(jié)DE

交BC于尸

求證：DF=EF

證明：（證法一）過。作DN//AE,交8c于N,則ZDNB=ZACB,NNDE=NE,

'：AB=AC,

：.NB=NACB

：.ZB=ZDNB

：.BD=DN

又YBD=CE

：.DN=EC

在△￡）*和△ECF中

Z1=Z2

ZNDF=ZE

DN=EC

，△DNF9/\ECF

：.DF=EF

（證法二）過E作EA/〃/8交8C延長線于M則（過程略）

⑸常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線

攸||：已知，如圖，ZX/BC中，AB=AC,E在/C上，。在氏4延長線上，S.AD=AE,連結(jié)

求證：DELBC

證明：（證法一）過點(diǎn)E作EF〃BC交4B于F,貝ijN-/D

NAFE=NBXt'

NAEF=NC/\

"：AB=AC

：.NB=NC

：.NAFE=NAEF

'：AD=AE

：.NAED=NADE

又'：ZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180°

：.2ZAEF+2ZAED=90°

即NFED=90"

：.DELFE

又,：EF//BC

：.DE1BC

（證法二）過點(diǎn)。作。N〃8c交C4的延長線于N,（過程略）

（證法三）過點(diǎn)/作8c交OE于（過程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形……等邊三角形

例：已知，如圖，△48C中，/8=4C,ABAC=800『為形內(nèi)一點(diǎn)，若NPBC=l（fNPCB

=30"求的度數(shù).

解法一：以為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE

貝|JNA4E=//8E=6O"

AE=AB=BE

'：AB=AC

：.AE=ACNABC=NACB

：.NAEC=NACE

,?NEAC=NBAC-NBAE

=80°-60°=20°

AZACE=1(1800-Z￡/iQ=80o

,/ZACB=1(180"-NBAQ=50"

ZBCE=ZACE-NACB

=80°—50"=30"E

ZPCB=30°

ZPCB=NBCE

,：ZABC=NACB=50°,ZABE=60°

ZEBC=ZABE-ZABC=60P-50°=10°

"：ZPBC=10°

4PBe=NEBC

在△PBC和△EBC中

ZPBC=NEBC

BC=BC

NPCB=/BCE

：.APBCQAEBC

:.BP=BE

?:AB=BE

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBRA

?//ABP=ZABC-NPBC=50°—10°=40°

AZPAB=；(180°—/48尸尸70"

解法二：以4C為?邊作等邊三角形，證法同一。

解法三：以8C為一邊作等邊三角形△8CE,連結(jié)力瓦則

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

■:EB=EC

???￡在8C的中垂線上

E

同理/在8c的中垂線上

：.EA所在的直線是BC的中垂線

：.EA±BC/\

NAEB=|NBEC=30°=ZPCB——P

由解法一知:ZABC=50°

：.N4BE=ZEBC-ZABC=10°=NPBC

,：/ABE=/PBC,BE=BC/AEB=ZPCB

：.AABE迫/\PBC

：.AB=BP

NBAP=NBR4

,/ZABP=ZABC~ZPBC=50"—100=40"

ZPAB=；(180°—NN8P)=；(180°—40°尸70°

規(guī)律35.有二倍角時(shí)常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例：已知，如圖,在△48C中,Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求證：AB+BD=AC

證明：延長到E,使BE=BD,連結(jié)。E

則/8OE

,/ZABD=ZE+ZBDE

：./ABC=2NE

,：ZABC=2ZC

：.ZE=ZCL

在和CD中/'Vx

NE=ZCBc

/\D、i

Z1=Z2

AD=ADE

:.AAED出AACD

：.AC=AE

,:AE=AB+BE

：.AC=AB+BE

即AB+BD=AC

⑵平分二倍角

例：已知，如圖，在△4BC中，8O_b4C于Q,/BAC=2/DBC

求證：NABC=NACB

證明：作/8/C的平分線交8c于E,則ZCAE=ZDBC

'JBDLAC

：.Z.CBD+NC=90"

：.ZCAE+ZC=90°

,/Z.AEC=180°—NCAE—ZC=90"

：.AE1,BC

ZABC+ZBAE=90°

,：ZCAE+ZC=90°

ZBAE=ZCAE

：.ZABC=ZACB

⑶加倍小角

例:已知,如圖，在△NBC中，BDUC于D,ZBAC=2ZDBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作/FBD=/DBC,BF交AC于F(過程略)

規(guī)律36.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來.

例：已知，如圖，△Z8C中，AB=AC,ZBAC=120°,E尸為的垂直平分線，EF交BC于F,

交AB于E

求證：BF=-FC

2

證明：連結(jié)/尸，則/尸=8尸

NB=ZE4B

'：AB=AC

:./B=NC

'：NBAC=120"

ZB=NCNB4c=g(180"-ZBAC)=30"

，NE4B=30°

NE4C=NBAC—ZE4B=1200-30"=90"

又：NC=30°

：.AF=-FC

2

1

：.BF=-FC

2

練習(xí)：已知，如圖，在△/18C中，/C48的平分線/。與8c的垂直平分線OE交于點(diǎn)。，DMA.AB

于M,￡W_L4c延長線于N

求證：BM=CN

規(guī)律37.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例：已知，如圖，在△ZBC中，Z5=2ZC,/D_L8C于。

求證：CD=AB+BD

證明：（一）在C。上截取。E=連結(jié)/E,貝lJ/8=ZE

NB=NAEB

■:4B=2乙C

：.NAEB=2NC

又：NAEB=ZC+ZEAC

：.ZC=ZEAC

:.AE=CE

又：CD=DE+CE

：.CD=BD+AB

(—)延長C8到F,使=連結(jié)AF貝ljAF

=AC（過程略）

規(guī)律38.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例：已知，如圖，在△NBC中，BC=2AB,ZABC=2ZC,BD=CD

求證：△N8C為直角三角形

證明：過。作￡>￡_L8C,交,AC于E,連結(jié)2E,則8E=C￡,

：.ZC=ZEBC

'：ZABC=2AC

ZABE=ZEBC

?：BC=2AB,BD=CD

：.BD=AB±

在/\ABE和IXDBE中/\

AB=BD/\

NABE=NEBCc^—.............L----------\B

D

BE=BE

：.AABE會/\DBE

：.ZBAE=ZBDE

NBDE=90"

ZBAE=90°

即△Z8C為直角三角形

規(guī)律39.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題.

例：已知，如圖，在△Z8C中，ZJ=90°,OE為5c的垂直平分線

求證：BE^AE^AC2

證明：連結(jié)CE,貝ljBE=CE

?/NA=90"

:.AE2+AC2=EC2

BE2

:.BE2-AE2=AC2

練習(xí)：已知，如圖，在△48C中，/A4c=90°,AB=AC,P為BC上一點(diǎn)

求證：PBAPC^ZPA?

規(guī)律40.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.

例：已知，如圖,在△4BC中,ZB=45°,ZC=30°,AB=6，求NC的長.

解：過工作ZD_LBC于￡>

ZB+ZBAD=90",

VZB=45°,NB=NBAD=45°,

：.AD=BD

'：ABL=AD1+BEr,AB=6

：.AD=1

VZC=30°,ADA.BC

：.AC=2AD=2

四邊形.部分

規(guī)律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.

例：已知,的周長為60cm對角線/C、8。相交于點(diǎn)。，△/OB的周長比△8OC的周長多

8cm,求這個(gè)四邊形各邊長.

解：；四邊形488為平行四邊形

：.AB=CD,AD=CB,AO=CO

,/JS+C￡>+￡>J+C5=60

AO+AB+OB~[OB+BC+OC）=8

，/8+8C=30,AB-BC=8

：.AB=CD=19,BC=AD=11

答：這個(gè)四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19。機(jī)、11cm.

規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長之差等于鄰邊之差.

（例題如上）

規(guī)律43.有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形

例：已知，如圖，Rt/\ABC,ZACB=90°,CD于。，ZE平分NC48交CD于尸，過F作FH〃/B

交BC于H

求證：CE=BH

證明：過F作FP〃BC交于P,則四邊形FP8”為平行四

邊形

:.NB=NFR4,BH=FP

,：Z.ACB=90",CDA.AB

.?./5+NCAB=45",ZB+ZCAB=90"

：.Z5=ZFPA

又YN1=Z2,AF=AF

：./\CAF^/\PAF

：.CF=FP

VZ4=Z1+Z5,Z3=Z2+Z5

Z3=Z4

：.CF=CE

：.CE=BH

練習(xí)：已知，如圖，AB//EF//GH,BE=GC

求證：AB=EF+GH

規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長此線段.

例：已知，如圖，在口/88中，AB=2BC,M為中點(diǎn)

求證：CM±DM

證明：延長OW、CB交于N

?.?四邊形/BCD為平行四邊形

：.AD=BC,AD//BC

,4=ZNBAZADN=NN

又,：AM=BM

,4AMD冬ABMN

A

MB

、

:.AD=BN

：.BN=BC

'：AB=2BC,AM=BM

：.BM=BC=BN

AZI=Z2,N3=NN

；/l+N2+/3+/N=180",

Z.Z1+Z3=90°

：.CM±DM

規(guī)律45.平行四邊形對角線的交點(diǎn)到一組對邊距離相等.

如圖：OE=OF

規(guī)律46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三

角形的面積等于平行四邊形面積的一半.

如圖：S&BEC——SaABCD

2

規(guī)律47.平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的

面積之和等于平行四邊形面積的一半.

如圖：Si\AOB+Saooc==■—SaABCD

2

規(guī)律48.任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等.

如圖：AO2+OC2=BO2+DO2

規(guī)律49.平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形.

如圖：四邊形GH0N是矩形

（規(guī)律45?規(guī)律49請同學(xué)們自己證明）

規(guī)律50.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.

例：已知I,如圖，E為矩形/BCD的邊力。上一點(diǎn)，且BE=ED,P為對角線5。上一點(diǎn)，PF±BE

于尸，PGL4D于G

求證：PF+PG=AB

證明：證法一：過P作尸于，,則四邊形/，PG為矩形

：.AH=GPPH//AD

：.NADB=NHPB

,:BE=DE

/.NEBD=ZADB

ZHPB=NEBD

又NPFB=NBHP=90°

XPFB四叢BHP

：.HB=FP

J.AH+HB=PG+PF

即AB=PG+PF

證法二：延長GP交8c于N,則四邊形N8NG為矩形，（證明略）

規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法：

⑴作斜邊上的高

例：已知，如圖，若從矩形48CQ的頂點(diǎn)C作對角線8。的垂線與NB/O的平分線交于點(diǎn)E

求證：AC=CE

證明：過/作垂足為F,則工廠〃EG

NE4E=ZAEG

?.?四邊形為矩形

ZBAD=900OA=OD

：.Z.BDA=NCAD

"：AF1.BD

：.ZABD+ZADB=NABD+/BAF=

NBAF=NADB=NCAD

為/歷i。的平分線

ZBAE=ZDAE

，ZBAE-ZBAF=ZDAE-NDAC

^ZE4E=ZCAE

:.NCAE=NAEG

：.AC=EC

⑵作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：

①有斜邊中點(diǎn)時(shí)

例：已知，如圖，AD、BE是△NBC的高，F(xiàn)是￡>￡的中點(diǎn)，G是/B

的中點(diǎn)

求證：GFLDE

證明：連結(jié)G￡、GD

?.】￡）、8E是△ZSC的高，G是48的中點(diǎn)

:.GE=-AB,GD=-AB

22

：.GE=GD

是。E的中點(diǎn)

GFLDE

②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)

例：已知，如圖，在△NBC中，。是5c延長線上一點(diǎn)，且D4J.84于AC=-BD

2

求證：NACB=2/B

證明：取8。中點(diǎn)E,連結(jié)4E；則力后二鳥后二-BD

2

；?/l=NB

1

9：AC=-BD

2A

：.AC=AE

.73/2/°\\

VZ2=Z1+ZB15EcD

：.Z2=2ZB

：.NACB=2NB

規(guī)律52.正方形一條對角線上一點(diǎn)到另一條對角線上的兩端距離相等.

例：已知，如圖，過正方形對角線8。上一點(diǎn)尸，作PE_L8c于E,作P凡LCO于尸

求證：AP=EF

證明:連結(jié)NC、PC

?.?四邊形Z8CA為正方形

垂直平分/C,ZBCD=90°

：.AP=CP

'：PE±BC,PFLCD,ZBCD=90°

四邊形PECF為矩形

：.PC=EF

：.AP=EF

規(guī)律53.有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn).

例：已知,如圖，正方形/8CZ）中，M為N8的中點(diǎn)，MNLMD,BN平分NC8E并交MN于N

求證：A/D=A/N

1

證明：取的中點(diǎn)尸，連結(jié)則￡>P=_R4=-AD

2

?.?四邊形為正方形

：.AD=AB,ZA=ZABC=90°

Z1+ZAMD=90°,又DMLMN

：.Z2+ZAMD=90°

AZI=Z2

???M為ZB中點(diǎn)

1

：.AM=MB=-AB

2

：.DP=MBAP=AM

，ZAPM=ZAMP=45°

：.ZDPM=\35°

":BN平分'/CBE

:.NCBN=4S

：.ZMBN=ZMBC+ZCBN=900+45°=135°

即NDPM=NMBN

：.小DPMq叢MBN

：.DM=MN

注意：把M改為上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。

練習(xí)：已知，。為正方形/8CD的CD邊的中點(diǎn)，P為CQ上一點(diǎn)，且/P=PC+8C

求證：NBAP=2NQAD

AB

規(guī)律54.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法.

旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件.

旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.

例：已知，如圖，在△/BC中，AB=AC,ZBAC=90",。為8C邊上任一點(diǎn)

求證：2AD2=BD2+CD2

證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"得△/€■￡■

:.BD=CENB=NACE

'：NBAC=90°

：.ZDAE=90°A

DE2=AD2+AE2=2AD2/E

YNB+ZACB=90°-------\

，ZDCE=90"

：.CD2+CE2=DE2

：.2AD2=BD2+CD2

注意：把△/￡>(:繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°也可，方法同上。

練習(xí)：已知，如圖，在正方形N8CQ中，E為4D上一點(diǎn),BF平分/CBE交CD于F

求證：BE=CF+AE

A

B

規(guī)律55.有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形.

例：如圖，在正方形/BCD中，E、F分別是。、ZX4的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)

求證：AP=AB

證明：延長C尸交8/的延長線于K

?.?四邊形Z8CD為正方形

：.BC=AB=CD=DAZBCD=ZD=ZBAD=90°

；E、尸分別是C。、的中點(diǎn)

11

:.CE=-CDDF=AF=-AD

22

：.CE=DF

：.ABCE安/\CDF

：.ZCBE=ZDCF

ZBCF+ZDCF=90"

，NBCF+NCBE=90°

：.BEA.CF

又,：ND=/DAK=90"DF=AFZ1=Z2

:./\CD心AKAF

：.CD=KA

:.BA=KA

又〈BELCF

：.AP=AB

練習(xí)：如圖，在正方形NBCD中，0在CD上，且。0=0C,尸在8c上，且NP=CD+CP

求證：“。平分NZMP

規(guī)律56.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.

例：已知，如圖，等腰梯形N8C。中，AD//BC,AD=3),AB=4,8c=7

求N8的度數(shù)

解：過N作N￡〃8交8c于E,則四邊形NECZ)為平行四邊形

：.4D=EC,CD=AE

"：AB=CD=4,AD

AD=3,BC=1/\

：.BE=AE=AB=4/\

.,.△/BE為等邊三角形B』-----------、、c

NB=60"

規(guī)律57.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形.

例：已知，如圖，在梯形N8CD中，AD//BC,AB=AC,NBAC=90",BD=BC,BD交AC于O

求證：8=CD

證明：過/、。分別作ZE_L8C,DF1,BC,垂足分別為￡、尸則四邊形/E尸。為矩形

：.AE=DF

'：AB=AC,AELBC,ZBAC=90°,

：.AE=BE=CE=-BC,ZACB=45。

2

,:BC=BD

1

:.AE=DF=-BD

2

XVDF15C

，ZZ)BC=30°

,:BD=BC

NBDC=ZBCD

=1(180°-ZDSC)

=75°

,?NDOC=NDBC+ZACB=300+45°=75°

ZBDC=ZDOC

：.CO=CD

規(guī)律58.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.

例：已知，如圖，等腰梯形48co中，AD//BC,ACYBD,AD+BC=10,DELBC于E

求DE的長.

解：過。作。尸〃4C,交5c的延長線于凡則四邊形/CFD為平行四邊形

：.AC=DF,4D=CF

四邊形ABCD為等腰梯形木水

：.AC=DB

：.BD=FD。//、、

15￡----------------+.-p

^DELBC”"

1

：.BE=EF=-BF

2

=；(BC+CF)=g(BC+AD)

1

=-xl0=5

2

'：AC//DF,BD1.AC

:.BDLDF

"：BE=FE

1

:.DE=BE=EF=-BF=5

2

答:CE的長為5.

規(guī)律59.延長梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.

例：已知，如圖，在四邊形力5co中，^AB=DC,ZB=ZC,AD<BC

求證：四邊形N8C。等腰梯形

證明：延長歷1、CD,它們交于點(diǎn)E

Z5=ZC

：.EB=EC?

又,：AB=DC

：.AE=DE/\

ZEAD=ZEDA/\

???ZE+ZEAD+NEDA=180°---------\

ZB+ZC+NE=180"

/.ZEAD=ZB

C.AD//BC

■:AD豐BC,4B=/C

???四邊形Z8C。等腰梯形

(此題還可以過一頂點(diǎn)作48或CO的平行線；也可以過/、。作8c的垂線)

規(guī)律60.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形.

例：已知,如圖，梯形中，AD//BC,E為CD中點(diǎn)、,EFL4B于F

求證：S梯形ABCD=EFAB

證明：過E作MN〃AB,交2。的延長線于"，交BC于N,則四邊形為平行四邊形

'：EF\.AB

SoABNM=AB-EF

,:AD〃BC

：.ZM=ZMNC

又,：DE=CEZ1=Z2

：./\CEN^/\DEM

SdCEN=S&DEM

S梯形ABCD=S五邊形ABNED+S4CEN=S五邊形ABNED+S&DEM

=S梯形4BCD=EFAB

規(guī)律61.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長與另一底的延長線相交，把梯形

轉(zhuǎn)換成三角形.

例：已知,如圖，直角梯形Z3CD中，AD//BC,ABLAD^A,DE=EC=BC

求證：NAEC=3/DAE

證明：連結(jié)8E并延長交的延長線于N

,:AD〃BC

：.Z3=NN

又,.?N1=Z2ED=EC

：.ADEN經(jīng)4CEB

:?BE=ENDN=BC

\*AB±AD

：?AE=EN=BE