2024~2025學(xué)年第一學(xué)期福建省九地市部分學(xué)校開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）友情提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘法計(jì)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)實(shí)部和虛部確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.【詳解】，若，則，∴復(fù)數(shù)z可能在第一象限；若，無解，即復(fù)數(shù)z不可能在第二象限，故應(yīng)選B；若，則，∴復(fù)數(shù)z可能第三象限；若，則，∴復(fù)數(shù)z可能在第四象限．故選：B.2.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義可得結(jié)果.【詳解】根根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)是：.故選：A.3.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知BCD選項(xiàng)中的向量共面，無法作為一組基底；假設(shè)A中向量共面，可知不存在滿足條件的實(shí)數(shù)，由此知假設(shè)錯(cuò)誤，則A中向量可以作為基底.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)共面，則可設(shè)，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，A正確；對(duì)于B，，∴共面，不能作為空間一組基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，∴共面，不能作為空間一組基底，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，共面，不能作為空間一組基底，D錯(cuò)誤.故選：A4.已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)單位向量得出模長(zhǎng)，再根據(jù)垂直得出數(shù)量積，最后應(yīng)用運(yùn)算律求解模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)榭臻g單位向量?jī)蓛纱怪?所以，所以.故選：A.5.如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量.【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.6.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】B【解析】【分析】由線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由，，，可知、可能平行或相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，B正確；對(duì)于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，，可知或，D錯(cuò)誤．故選：B7.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先由題意結(jié)合正弦定理得，再由得，接著結(jié)合基本定理得，故，進(jìn)而可求得和，再由即可求解.【詳解】由題以及正弦定理得，所以由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以，故，則，因?yàn)?，所以，所以即，此時(shí)即，解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵由題意得后利用基本不等式推出，從而得，進(jìn)而解出角A和c邊.8.三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)對(duì)角線向量的性質(zhì)列方程求關(guān)系，從而可得線線垂直，過作，連接，結(jié)合勾股定理，得線線關(guān)系，從而可得二面角的平面角，可將三棱錐補(bǔ)充直棱柱，從而可確定外接球球心位置得外接球半徑，即可得球的體積.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得：，即，可知，過作，連接，則，可知，且二面角的平面角為，則為等邊三角形，即，設(shè)，因?yàn)?，即，解得：或，可知點(diǎn)與點(diǎn)A重合或與點(diǎn)B重合，兩者是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，不妨取點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則，，由，平面，則平面，且為二面的平面角，可知為等邊三角形，可將三棱錐補(bǔ)充直棱柱，如圖所示，為底面正的外心，即，為的外接球球心，可知，且，則三棱錐的外接球半徑，所以外接球的體積.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分.9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為12，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為10．則（）A.B.估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為77.14C.估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為87.50D.估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為30.25【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)，由各組頻率之和為求參數(shù)；B項(xiàng)可由頻率分布直方圖面積與比較，估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間，利用面積關(guān)系建方程求解可得；C項(xiàng)，兩組求加權(quán)平均數(shù)可得；D項(xiàng)，由分別兩組成績(jī)的方差與兩組總方差的關(guān)系求解即可.【詳解】A項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，則，解得，故A錯(cuò)誤；項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為前三個(gè)矩形的面積之和為.設(shè)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為，故B正確；C項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為分，故C正確；D項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為，故D正確.故選：BCD.10.在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為a,b,c，則下列命題一定成立的是（A.若，則是銳角三角形B.若，，，則有唯一解C.若是銳角三角形，，，設(shè)面積為S，則D.若是銳角三角形，則【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理可判斷；由正弦定理可判斷；利用邊化角結(jié)合面積公式可得，求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，即可判斷；由銳角三角形可得及，利用在上的單調(diào)性結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷.【詳解】，，，為銳角，但不能確定角是否為銳角，故不一定是銳角三角形，故錯(cuò)誤；由正弦定理得，，，有唯一解，故正確；，，，，又，解得，，，，，，即，故正確；是銳角三角形，，又，，，又在上單調(diào)遞增，，，，故正確；故選：.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在中點(diǎn)時(shí)，平面平面B.異面直線所成角的余弦值為C.在同一個(gè)球面上D.，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正方體圖像特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到C；分析可知點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度得到D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因?yàn)槊?，面，所以，因?yàn)槊妫?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）用普通方法求異面直線所成的角時(shí)可以找到與其中一條平行的直線與另一條直線相交所成的角即為異面直線的夾角；（2）證明面面垂直時(shí)，通常先證明線面垂直，再證明面面垂直；（3）證明點(diǎn)共球面可先證明點(diǎn)共圓.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線及高，再利用錐體的體積公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得，因此圓錐的高，所以圓錐的體積.故答案為：13.甲、乙、丙、丁四支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)輸一場(chǎng)且積分超過其余每支球隊(duì)積分的概率為______．【答案】【解析】【分析】不妨先考慮甲輸丙，再就甲與乙丁的輸贏分類討論后可得所求的概率.【詳解】甲隊(duì)在輸了一場(chǎng)且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分，三隊(duì)中選一隊(duì)與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場(chǎng)比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場(chǎng)比賽一贏一平，則甲只得4分，這時(shí)，丙乙、丙丁兩場(chǎng)比賽中丙只能輸，否則丙分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在丙輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個(gè)它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時(shí)，甲得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時(shí)丙乙，丙丁兩場(chǎng)比賽中丙不能贏，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時(shí)，丁不能贏，概率；②若丙兩場(chǎng)均平，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽無論結(jié)論如何均符合題意；③若兩場(chǎng)丙都輸，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽只能平，概率是；綜上概率為．故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于比較復(fù)雜的概率的計(jì)算，注意根據(jù)問題的特征合理分類，盡量不重不漏，必要時(shí)利用表格或枚舉等方法.14.如圖，已知點(diǎn)是圓臺(tái)的上底面圓上的動(dòng)點(diǎn)，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【詳解】解：連接，過點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因?yàn)?，故，則，則，，故點(diǎn)，又，，，設(shè)點(diǎn)，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因?yàn)椋?，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為，求．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由已知，結(jié)合正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理求得即可求解；（2）由三角形面積公式求得，根據(jù)及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解．【小問1詳解】由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又，所以．【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，由，則，即，所以，即．16.如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.（1）求證：平面；（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合直徑的性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍼AC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因?yàn)槠矫鍼BC，所以PA，又因?yàn)锳B是圓的直徑，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，則，設(shè)平面PBC的法向量為m=x,而，設(shè)直線AC與面PBC所成角為，則，所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為.17.某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測(cè)評(píng)打分.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績(jī)（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并求這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）若認(rèn)定評(píng)分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)愛好者”，評(píng)分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)交流會(huì)，大會(huì)上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動(dòng)愛好者”和“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”各1人的概率.【答案】（1），中位數(shù)是分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)中位數(shù)的求法求得中位數(shù).（2）先按分層抽樣計(jì)算出、抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求得所求概率.【小問1詳解】依題意，，解得.前三組的頻率為，所以中位數(shù)為分.【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，兩者的比例是，所以抽取的名學(xué)生中，中的有人，記為；在中的有人，記為；從中抽取人，基本事件有，共種，其中恰好“運(yùn)動(dòng)愛好者”和“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”各1人的是：，共種，故所求概率為.18.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過作交弧上一點(diǎn)，連結(jié)，由可得，進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明平面，從而由面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求平面與平面夾角的余弦值，而列方程求出的值，從而向量法可求點(diǎn)到直線的距離.【小問1詳解】過作交弧上一點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示：則為弧的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因?yàn)?，則，又，又因?yàn)?、面，所以平面，因?yàn)槊妫云矫嫫矫?【小問2詳解】由題意知，兩兩垂直，所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，又，則A0,0,0，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，即，令，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，，設(shè)