微專題67圓錐曲線的性質(zhì)

一、基礎(chǔ)知識

（一）橢圓：

1、定義和標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）平面上到兩個定點耳,B的距離和為定值（定值大于|耳耳|）的點的軌跡稱為橢圓，其中

耳,工稱為橢圓的焦點，比與|稱為橢圓的焦距

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：

①焦點在x軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點P（九,y）,大（-c,0）,耳（c,0）,設(shè)距離和

22

附|+附|=2a,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：號+%=1,其中（4＞匕＞0萬="一。2）

②焦點在y軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點P（x,y）,片（0,—c）,用（O,c）,設(shè)距離和

22

\PF\+\PF^=2a,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：號+今=1,其中（。＞〃＞0萬="一°2）

焦點在哪個軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中哪個字母的分母更大

22

2、橢圓的性質(zhì)：以焦點在x軸的橢圓為例：=+==1（?！?〉0）

ab

（1）?：與長軸的頂點有關(guān)：4（—a,0），4（a，°），|A4|=2a稱為長軸長

b：與短軸的頂點有關(guān)：4（0,—外為似方），|4周=2）稱為短軸長

c：與焦點有關(guān)：耳（—c,0）,與（c,0），寓B|=2c稱為焦距

（2）對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱

（3）橢圓上點的坐標(biāo)范圍：設(shè)P（Xo，yo）,則一。＜。,一沙＜%＜6

（4）通徑：焦點弦長的最小值

①焦點弦：橢圓中過焦點的弦

2房

②過焦點且與長軸垂直的弦歸。|=—

說明：假設(shè)PQ過6（―G。），且與長軸垂直，則尸（―c,%）,Q（—G—%），所以

h22h2

4+》=1“：=與可得為=一。則|尸。|=——

aa

(5)離心率：e=—,因為c<a,所以ee(O,l)

a

(6)焦半徑公式：稱P到焦點的距離為橢圓的焦半徑

①設(shè)橢圓上一點則歸制=a+exo，|?6|=a—ex0(可記為“左加右減”)

②焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為a+c,最小值為a-c

,0

(7)焦點三角形面積：S,p空■,=btan,(其中。=/「耳鳥)

證明：\pflF2=1|P^|-|P^|sin^

且閨聞2Tp聞2+|尸閶2—2儼聞歸閭COS平譙

=(附|+歸閭)2—2附忖用(l+cosKM)

.'.4c2=4片—2忸行療閶(1+cosE%)

2a2一2c22"

??.I叫閘|=

l+cos「Pg1+cos^PZ^

i[0刀2

SinF1PF2

久畔=5比卜附曲片學(xué)=i-1+cosP^

Ws“23ali也

1+cosF^PF^2

因為IP再后=g-2c-%=c-%,所以A?tan鳥=。，由此得到的推論:

①ZFyPF2的大小與為之間可相互求出

p

②NFiPF2的最大值：F}PF2最大oS最大oy0最大o為短軸頂點

(二)雙曲線：

1、定義：平面上到兩個定點片，耳距離差的絕對值為一個常數(shù)(小于閨耳|)的點的軌跡稱

為雙曲線，其中耳,心稱為橢圓的焦點，⑶8|稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個定點片，月距

離差為一個常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支

2、標(biāo)準(zhǔn)方程：

①焦點在x軸：設(shè)雙曲線上一點P（x,y）,￡（-0,0）,6億0）,設(shè)距離差的絕對值

22

||尸耳|—|P閭1=2。，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：三―2=1,其中（。＞0力＞0萬=。2-〃）

②焦點在y軸：設(shè)雙曲線上一點p（x,y）,E（0,—c）,耳（O,c）,設(shè)距離差的絕對值

22

||尸耳|—|尸閭1=2。,則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：二-亳=1,其中（。＞04＞0萬=02-。2）

焦點在哪個軸上，則對應(yīng)字母作為被減數(shù)

22

2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點在x軸的雙曲線為例：%=1（。〉0力〉0）

（1）?：與實軸的頂點有關(guān)：A（—a，o），4（a，°），|A4|=2a稱為實軸長

b；與虛軸的頂點有關(guān)：4（0,—3也（0⑼，忸］圖=2》稱為虛軸長

C：與焦點有關(guān)：E（—c,0）,耳（c,o），I耳閶=2c稱為焦距

（2）對稱性：雙曲線關(guān)于x軸，y軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱

（3）雙曲線上點坐標(biāo)的范圍：設(shè)則有/＜一。或/2a,y0^R

（4）離心率：e=—,因為c＞a,所以ee（l,+c。）

（5）漸近線：當(dāng)xf”或xfTo時，雙曲線在向兩方無限延伸時，會向某條直線無限靠

近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸近線。

①雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的1變?yōu)?,再解出y

2222

關(guān)于x的直線即可。例如在——當(dāng)=1（。＞0/〉0）中，求漸近線即解：2r=0,變

abab

bb

形為y=±—%,所以y=±—%即為雙曲線的漸近線

aa

②漸近線的幾何特點：直線x=Q,x=-〃,y=Z?,y=-人所圍成的矩形，其對角線即為雙曲線

的漸近線

③漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能體現(xiàn)凡反。的關(guān)

系。

（6）通徑：

①內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點連成的線段外弦：雙曲線兩支上各取一點連成的線段

2h2

②通徑：過雙曲線焦點的內(nèi)弦中長度的最小值，此時弦無軸，\pQ\=—

（7）焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點。（%,%），左右焦點分別為耳,工，則

①忸制=1+綺|,|尸閭=心一氣|（可記為“左加右減”）

②由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點最近的點為雙曲線的頂點，距離為c-a

n

（8）焦點三角形面積：設(shè)雙曲線上一點尸（后,%）,則凡兩居=/cotw（其中e=NP￡g）

（三）拋物線：

1、定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于到一條定直線（定點不在定直線上）的距離的點的軌跡

為拋物線

2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點位置：

（1）焦點在x軸正半軸：y1=2/?x（p>0）,焦點坐標(biāo)

⑵焦點在x軸負半軸：_/=—2px（p>0）,焦點坐標(biāo)[go]

（3）焦點在y軸正半軸：%2=2py（p>0）,焦點坐標(biāo)

（4）焦點在y軸負半軸：/=—2py（p>0）,焦點坐標(biāo)

小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點的位置與坐標(biāo)：那個字母是一次項，則焦點在哪條軸上；其

坐標(biāo)為一次項系數(shù)除以4,例如：必=4>，則焦點在y軸上，且坐標(biāo)為（0,1）

3、焦半徑公式：設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點為尸，A（x,y）,則|衣卜x+g

4、焦點弦長：設(shè)過拋物線y2=2px（p>0）焦點的直線與拋物線交于人（七,乂）,3（々，%），

則|AB|=%+&+P（|AB|=|AF|+|BF|,再由焦半徑公式即可得到）

二、典型例題：

22

例L已知雙曲線?方=1的右焦點與拋物線上⑵的焦點重合，則該雙曲線的焦點到

其漸近線的距離等于（

A.A/5B.472C.3D,5

思路：先從常系數(shù)方程入手，拋物線V=12X的焦點為（3,0）,即雙曲線中的c=3,所以

/?2=c2—a2=5,從而雙曲線方程為：——2―=1,其漸近線方程：y=+-^-x,由對稱

452

性可得焦點到兩漸近線的距離相等，不妨選擇2y=0,右焦點區(qū)（3,0）,所以

答案：A

小煉有話說：（1）一道題含多個圓錐曲線方程，往往以某些特殊點（焦點，頂點）為橋梁聯(lián)

接這些方程，在處理時通常以其中一個曲線方程（不含參）為入手點，確定特殊點的坐標(biāo)，

進而解出其他圓錐曲線的要素

答案：A

22

例2：已知雙曲線三一鼻=1（67>Q,b>0）的實軸長為4A/2,虛軸的一個端點與拋物線

a'b

f=2py（p>0）的焦點重合，直線y=Ax-l與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行,

則p=()

A.4B.3C.2D,1

思路：本題涉及圓錐曲線和字母較多，所以首先要確定核心變量，從所求出發(fā)可嘗試以P作

為核心變量，拋物線必=2?！档慕裹c為，所以可得匕=^,因為

2a=4A/2na=20,所以雙曲線方程為」-----t=1,可求得漸近線方程為

8P2

y=±-P/—X,不妨設(shè)y=丘-1與y=—平行,則有左=—^。從相切可想到與拋物線

4V2-4V24V2

P

聯(lián)立消元后的方程A=0眸邛x=>x1—P廠%-2p=0所以

2V2

J=2py

A=-^=^|—8p=0解得p=4

答案：A

思路：橢圓與雙曲線共焦點，所以有C2-n2=a2+b2,所求表達式

11加2〃22+2

=+==與+\J,本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮

exe2ccc

|的|+1A閭=2加JAF；|—IA閭=2。。結(jié)合A片的中點與耳耳的中點可得雙曲線的漸近線與

平行，從而A￡J.AK，所以有|"f+|A閶2=|耳閭2=公2,聯(lián)系上面條件可得：

222

4c=\AFf+\AF2f=^（\AFi\+\AF2\f+（\AFl\-\AF2ff=2m+2a,所以

11療+a2c

——+—=-----------=2

/22

Ge?c

答案：A

222

例4：已知橢圓G：j+%=l（a〉6〉0）與雙曲線。2：/—q=l有公共的焦點，。2的一

條漸近線與以G的長軸為直徑的圓相交于A8兩點，若G恰好將線段三等分，貝I"）

131

A./=一B.6Z2=13C.b2=—D.b2=2

22

思路：因為G，02有公共焦點，所以通過G可得片卜6,0），&（750），從而c=J5,圓的

直徑為2a,所以A3截橢圓的弦長為一3。由雙曲線得AB:y=2x,進而與橢圓方程聯(lián)立，

3

再利用弦長公式即可得到關(guān)于。（或Z?）的方程，解方程即可

解：通過G可得耳卜火,0），心（6，o），?,“二百

snc[儼12+422=42人2

不妨設(shè)AB:y=2x,貝卜———y,所以一=±/

、y=2%4a2+/"/+/

2后ab_2

利用弦長公式可得d

J4a2+/3

|邛ab_2.a1=—

又因為4―>2=。2=5,4為+,2一:.解得:<；，故選C

[a2-b2=5/=5

答案：C

例5：（2014,山東，10）已知a>Z?>0,橢圓G的方程為二+3=1,雙曲線C,的方程是

ab

=-二=1,G與C的離心率之積為且，則G的漸近線方程為（）

ab2

A.x±42y=0B.yflx±=0C.x±2y=QD.2x±y=Q

思路：要想求漸近線方程，關(guān)鍵在的比值，所以將兩個離心率均用。力表示，再利用乘積

為即可得到。力關(guān)系，進而求出漸近線方程

2

2

解：設(shè)曲線GC的離心率分別為"2,則［廠cJa-/?c'■Ja+b

1!r\

因為雙曲線的漸近線方程為：y=±—x,代入可得：y=+—x^x+42y=Q

a2

答案：A

小煉有話說：本題在設(shè)計上利用橢圓和雙曲線中。的求法不同，從而使得兩條曲線在〃力相同

的情況下，離心率的乘積中含有平方差公式的特點，從而簡化運算，較易得出6關(guān)系

例6：橢圓j+與=1（〃2〉〃〉0）和雙曲線二—三=l（a〉6〉0）的公共焦點為E，凡，P

mnab

是兩曲線的一個交點，那么|/與卜|%|的值是（）

2?m—at-廠

A.m-aB.m-aC.-----D.7m—7a

2

思路：所求既是橢圓的焦半徑，又是雙曲線的焦半徑。所以由橢圓和雙曲線定義

可得：||尸耳|-歸聞=2a,|尸制+|尸閶=2加，由此聯(lián)想到兩個式子的完全平方公式，進而

可求出附卜上閶，則附卜歸叫=￡（|明+|P閭『―（附]—歸可）2卜病一/

答案：B

例7：已知拋物線y2=2px（〃>0）的焦點/與雙曲線?-]=1的右焦點重合，拋物線的

準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=耳，則A點的橫坐標(biāo)為（）

A.2&B.3C,26D.4

思路：因為兩條曲線的焦點重合，所以可用雙曲線計算出焦點的坐標(biāo)/=4+5=9,所以

2

方（3,0）,進而可確定拋物線方程：y=12xf以及準(zhǔn)線方程/：X=—3。所以K（—3,0）,

設(shè)A點橫坐標(biāo)為x,則A1,4京），所以|AK「=[x—（—3）T+12X,由焦半徑公式可得：

\AF\=X+^=X+3,所以|必|=夜|A同=>|AK「=2|AF「，即

（X+3）2+12X=2（X+3）2,可解得：%=3

答案：B

22

例8：設(shè)r為雙曲線上-上=1的左焦點，在x軸上歹點的右側(cè)有一點A,以E4為直徑的

169

圓與雙曲線左，右兩支在x軸上方的交點分別為M,N,則|￡?—（叫的值為（）

回

,2554

A.lB.一C.-D.一

5245

思路：因為所求分式涉及到三條線段長度，若直接用距離公式則異常復(fù)雜，所以考慮時刻簡

化計算，首先由|引囪,|兩|聯(lián)想到焦半徑公式，設(shè)M（XI，X）,N（X2，%），則有

|?^F|=\a+ex\=ex+a

\MF\+=-ex1-a22所以

\FN\-\FM\=x^+2a,設(shè)A（m,O）,由雙曲線可知產(chǎn)（一5,0）,則E4的中點

?生/可，圓半徑一等，所以圓方程為：卜―F1+T誓），整理后

可得：x2-（m-5）x+/-5m=0,因為|印|—|方閭的值與（玉+/）相關(guān)，所以考慮聯(lián)

x2-(m-5)x+y2-5m=0

立圓和雙曲線方程〈尤22消去y可得：

工—21=1

1169

252-（m-5）x-9+5m-0,所以玉+々=竺與勺，代入|兩|—|楨|可得：

-----X

16

河―但叫=/6（鼻-5）+8=4（：+5）,因為|網(wǎng)=加+5,所以原式的值為:

答案：D

小煉有話說：本題可發(fā)現(xiàn)無論A的位置如何，從選項上來看四口誓1

應(yīng)該為定值，故可

冏

以利用特殊位置，比如A為右焦點時，便可輕松得到答案：由對稱性可得

,,.,.,\FN\-\FM\2a4

\FN\-\FM\=2a=8,且|冏=2c=10,所以J~~-

例9：如圖，從雙曲線1―5=1（?！?力〉0）的左焦點/引圓好+/="的切線，切點

為T,延長FT交雙曲線右支于尸點，若M為線段FP的中點，。為坐標(biāo)原點，則

|MO|一眼刀的值為（用含的表達式表示）”

思路：首先要將1MoiMT|向靠攏，因為"與圓切于7，

連結(jié)OT,可知\OT\=r=a