7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征（精講）考點一離散型隨機變量的均值【例1】（2023遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀┠硵?shù)學(xué)老師對本校2022屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績按進(jìn)行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績，并用莖葉圖記錄分?jǐn)?shù)如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段（分）總計頻數(shù)頻率(1)求表中的值及分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，并估計這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率（分?jǐn)?shù)在內(nèi)為及格）；(2)從成績在范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機選4人，設(shè)其中成績在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【一隅三反】1．（2023·高二課時練習(xí)）某校50名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽選拔，成績?nèi)拷橛?0分到140分之間．將成績結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方式得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)若成績大于或等于100分且小于120分認(rèn)為是良好的，求該校參賽學(xué)生在這次數(shù)學(xué)聯(lián)賽中成績良好的人數(shù)；(2)若從第一、第五組中隨機取出兩個人的成績，記為從第一組中取出成績的個數(shù)，求的分布與數(shù)學(xué)期望．2．（2021春·河北唐山·高二開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某銀行招聘，設(shè)置了A，B，C三組測試題供競聘人員選擇.現(xiàn)有五人參加招聘，經(jīng)抽簽決定甲、乙兩人各自獨立參加A組測試，丙獨自參加B組測試，丁、戊兩人各自獨立參加C組測試.若甲、乙兩人各自通過A組測試的概率均為；丙通過B組測試的概率為；而C組共設(shè)6道測試題，每個人必須且只能從中任選4題作答，至少答對3題者就競聘成功.假設(shè)丁、戊都只能答對這6道測試題中4道題.(1)求丁、戊都競聘成功的概率；(2)記A、B兩組通過測試的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望.考點二離散型隨機變量的方差【例2】（2022春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谀?名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù).求：(1)的分布；(2)的期望與方差.【一隅三反】1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）某小組共10人參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4．現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布、期望與方差．2．（2022春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，m個白球，若從中不放回地取出2個球，在第一個取出的球是紅球的前提下，第二個取出的球是白球的概率為．(1)求白球的個數(shù)m；(2)若有放回的取出兩個求，記取出的紅球個數(shù)為X，求，．考點三均值與方差的性質(zhì)【例3-1】（2022春·黑龍江綏化·高二?？计谀┰O(shè)的分布列如表所示，又設(shè)，則等于（

）1234A． B． C． D．【例3-2】（2022春·江西宜春·高二江西省銅鼓中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知X的分布列如下，且，，則a為（

）X﹣101PA．1 B．2 C．3 D．4【例3-3】（2022秋·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【例3-4】（2022春·山東東營·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，隨機變量的分布列為：01則當(dāng)在上增大時（

）A．單調(diào)遞增，最大值為B．先增后減，最大值為C．單調(diào)遞減，最小值為D．先減后增，最小值為【一隅三反】1．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)離散型隨機變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-22．（2022春·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機變量滿足，則（

）A．或4 B．2 C．3 D．43．（2022春·吉林·高二校聯(lián)考期末）已知隨機變量的分布列如下表所示，若，則（

）123A． B． C． D．24．（2022春·浙江·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知下表為離散型隨機變量X的分布列，其中，下列說法正確的是（

）X012PA． B．C．有最大值 D．有最小值5．（2022春·福建莆田·高二莆田一中?？计谀ǘ噙x）設(shè)，隨機變量的分布列為：0m1P則當(dāng)m在（0，1）上增大時，（

）A．減小 B．增大C．先增后減，最大值為 D．先減后增，最小值為考點四均值與方差在決策中應(yīng)用【例4】（2022·高二單元測試）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量、，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8、7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2．(1)求、的分布；(2)比較甲、乙的射擊技術(shù)．【一隅三反】1．（2022·高二課時練習(xí)）（多選）投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1甲股票收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6表2乙股票收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3則下列結(jié)論正確的是（

）A．投資甲股票收益的均值較小B．投資乙股票收益的均值較小C．投資甲股票比投資乙股票的風(fēng)險高D．投資乙股票比投資甲股票的風(fēng)險高2（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級中學(xué)校考期末）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機