人教版八年級上冊數(shù)學解題技巧專題歸納合集

目錄

1、類比歸納專題：三角形中內(nèi)、外角的有關(guān)計算

2、類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關(guān)的計算模型

3、解題技巧專題：利用全等解決問題的模型與技巧

4、難點探究專題：動態(tài)變化中的三角形全等

5、易錯易混專題：等腰三角形中易漏解或多解的問題

6、解題技巧專題：等腰三角形中輔助線的作法

7、模型構(gòu)建專題：共頂點的等腰三角形

8、類比歸納專題：證明線段相等的基本思路

9、解題技巧專題：乘法公式的靈活運用

10、解題技巧專題：選擇合適的方法因式分解

11、易錯專題：分式中常見的陷阱

12、解題技巧專題：分式運算中的技巧

1、類比歸納專題：三角形中內(nèi)、外角的有關(guān)計算

——全方位求角度

?類型一已知角的關(guān)系，直接利用內(nèi)角和或結(jié)合方程思想

1.在aABC中，ZA-ZB=35°,ZC=55°,則NB等于（）

A.50°B.55°C.45°D.40°

2.在aABC中，已知NA=2NB=3NC,則△A8（；是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.形狀無法確定

3.如圖，在AABC中，ZC=ZABC=2ZA,BD是AC邊上的高，求NDBC的度數(shù).

4

4.如圖，△ABC中，NB=26°，ZC=70°，AD平分NBAC,AELBC于E,EFlAD

于F,求NDEF的度數(shù).

?類型二綜合內(nèi)外角的性質(zhì)

5.如圖，BD、CD分別平分/ABC和/ACE,ZA=60°,則ND的度數(shù)是()

A.20°B.30°C.40°D.60°

6.如圖，ZB=20°,ZA=ZC=40°,則NCDE的度數(shù)為

7.如圖，AD平分NBAC,ZEAD=ZEDA.

(1)求證：ZEAC=ZB；

(2)若NB=50°，ZCAD：ZE=1：3,求NE的度數(shù).

?類型三在三角板或直尺中求角度

8.將一副三角板按如圖所示擺放，圖中Na的度數(shù)是（）

A.120°B.105°C.90°D.75°

9.將兩個含30°和45°的直角三角板如圖放置，則Na的度數(shù)是（）

D.25°

10.一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是

11.如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若Nl=55°,則N2的度

數(shù)為.

?類型四與平行線結(jié)合

12.如圖，已知B、C、E在同一直線上，且CD〃AB,若NA=75°,ZB=40°,

則NACE的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.115°D.145°

13.如圖，AB〃CD,直線PQ分別交AB、CD于點F、E,EG是NDEF的平分線,

交AB于點G.若NPFA=40°,那么NEGB等于（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

14.如圖，BD是aABC的角平分線，DE〃BC,交AB于點E,ZA=45°,ZBDC

=60°，則NBDE=.

15.如圖，在AABC中，點D在BC上，點E在AC上，AD交BE于F.已知EG〃AD

交BC于G,EHLBE交BC于H,ZHEG=55°.

(1)求NBFD的度數(shù)；

⑵若NBAD=/EBC,ZC=44°，求NBAC的度數(shù).

?類型五與截取或折疊相關(guān)

16.如圖I,把aABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE的外部時，則NA

與N1和N2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)

現(xiàn)的規(guī)律是()

A.ZA=Z1-Z2

B.2ZA=Z1-Z2

C.3ZA=2Z1-Z2

D.3ZA=2(Z1-Z2)

4

17.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=52°,將其折疊，使點A落在邊CB

上A'處，折痕為CD,則NA'DB=

B

第17題圖第18題圖

18.在AABC中，NB=70°,若沿圖中虛線剪去NB,則N1+N2等于.

19.如圖.（1）將AABC紙片沿DE折疊成圖①，此時點A落在四邊形BCDE內(nèi)部，

則NA與N1、/2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持不變，請找出這種數(shù)量關(guān)系并說明理

由.

（2）若折成圖②或圖③，即點A落在BE或CD上時，分別寫出NA與N2、NA與

N1之間的關(guān)系式（不必證明）;

（3）若折成圖④，寫出/A與Nl、N2之間的關(guān)系式（不必證明）.

參考答案與解析

1.C2.C

3.解：設(shè)NA=x,則/C=NABC=2x.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°知NC+NABC

+ZA=180°,即2x+2x+x=180°,，x=36°,：.ZC=2x=72°.在RtZXBDC

中，ZDBC=90°-ZC=90°-72°=18°.

方法點撥：三角形中給出的條件含比例且不易直接求出時，一般需要設(shè)未知數(shù)，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程求解.

4.解：?..△ABC中，ZB=26°,ZC=70°,.*.ZBAC=180o-ZB-ZC=180°

-26°-70°=84°...?△口平分NBAC,AZDAC=|zBAC=1x84°=42°.在

乙乙

△ACE中，ZCAE=90°-ZC=90°-70°=20°,AZDAE=ZDAC-ZCAE=

42°-20°=22°.VZDEF+ZAEF=ZAEF+ZDAE=90°,ZDEF=ZDAE=

22°.

5.B6.80°

7.(1)證明：TAD平分NBAC,.?.NBAD=NCAD.又YNEADM/EDA,ZEAC=

ZEAD-ZCAD=NEDA—NBAD=ZB；

(2)解：設(shè)NCAD=x°，貝Ij/E=3x°.由(1)矢UNEAC=NB=50°,/.ZEAD=ZEDA

=(x+50)°.在AEAD中,VZE+ZEAD+ZEDA=180°,：.3x°+2(x+50)°

=180°,解得x=16..?.NE=48°.

8.B9.B10.75°11.35012.C13.C14.15°

15.解:(1)VEH±BE,AZBEH=90°.VZHEG=55°,/.ZBEG=ZBEH-ZHEG

=35°.又,；EG〃AD,/.ZBFD=ZBEG=35°；

(2)VZBFD=ZBAD+ZABE,ZBAD=ZEBC,Z.ZBFD=ZEBC+ZABE=ZABC.

由(1)可知NBFD=35°,AZABC=35°.VZC=44°,.\ZBAC=180°-ZABC

-ZC=180°-35°-44°=101°.

16.B17.14°18.250°

19.解：(1)延長BE、CD,交于點P,則ABCP即為折疊前的三角形.由折疊的

性質(zhì)知NDAE=NDPE.連接AP.由三角形的外角性質(zhì)知Nl=NEAP+NEPA,N2

=ZDAP+ZDPA,則N1+N2=NDAE+NDPE=2NDAE,即N1+N2=2NA；

(2)圖②中，Z2=2ZA；圖③中，Z1=2ZA；

(3)圖④中，Z2-Z1=2ZA.

2、類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關(guān)的計算模型

模型1：求同一頂點的角平分線與高線的夾角的度數(shù)

1.如圖，AD,AE分別是aABC的高和角平分線.

(1)已知NB=40°,ZC=60°,求NDAE的度數(shù);

(2)設(shè)NB=a,ZC=P(a<B),請用含a,B的代數(shù)式表示NDAE,并證明.

模型2：求兩內(nèi)角平分線的夾角的度數(shù)

2.如圖，^ABC中，NABC和NACB的平分線交于點0.若NB0C=120°,則NA

3.如圖，△ABC中，點P是NABC,NACB的平分線的交點.

(1)若NA=80°,求NBPC的度數(shù).

(2)有位同學在解答(1)后得出NBPC=90°+；/A的規(guī)律，你認為正確嗎？請給

出理由.

模型3：求一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角的度數(shù)

4.如圖，在AABC中,BAi平分NABC,C4平分NACD,BA?CAi相交于點A”

(1)求證：ZA(=1zA；

⑵如圖，繼續(xù)作NA0C和NACD的平分線交于點A2,得NA?；作N&BC和NA?CD

的平分線交于點A3,得平A3...依此得到交A2017,若NA=a,則NA2017=

A

模型4：求兩外角平分線的夾角的度數(shù)【方法5】

5.(1)如圖，B0平分AABC的外角NCBD,CO平分AABC的外角NBCE,則NB0C

與NA的關(guān)系為；

(2)請就(1)中的結(jié)論進行證明.

參考答案與解析

1.解：(1)VZB=40°,ZC=60°,/.ZBAC=180°-ZB-ZC=180°-40°

-60°=80°.?；AE是角平分線，.?.NBAE=：NBAC=；X80°=40°.?..△口是高，

乙乙

AZBAD=90°-ZB=90°-40°=50°,AZDAE=ZBAD-ZBAE=50°-40°

=10°.

(2)ZDAE=1(P-a),證明如下：VZB=a,ZC=B(a<p),AZBAC=180°

一(a+B).YAE是角平分線，.?.NBAE=g/BAC=90°-1(a+p).=AD是

高，.?.NBAD=90°-ZB=90°—a,AZDAE=ZBAD-ZBAE=90°-a-

90°—J(Q+B)=[(g—a).

2.60°

3.解：(1)?.'BP,CP為角平分線，.?.NPBC+NPCB=J(NABC+NACB)=](180°

乙乙

-ZA)=1x(180°-80°)=50°,/.ZBPC=180o-(ZPBC+ZPCB)=180°

-50°=130°.

(2)正確，理由如下：：BP,CP為角平分線，，NPBC+NPCB=；(NABC+NACB)

=:(180°-ZA)=90°-1zA,.-.ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-

乙乙

(90。-；NA)=90。+1zA.

4.(1)證明：'.〈人|平分NACD,...NA￡D=T/ACD=；(NA+/ABC).又,.?/A￡D

=ZA,+ZAtBC,ZA.+ZA.BC^CZAH-ZABC).'.'BAi平分NABC,/.ZA.BC

=1ZABC,.g/ABC+NA尸;(/A+NABC),ZA,=|zA.

(2)22017

1

5.(l)ZB0C=90°--ZA

乙

⑵證明:如圖，:BO,CO分別是AABC的外角NDBC,NECB的平分線，，NDBC

=2Z1=ZACB+ZA,ZECB=2Z2=ZABC+ZA,2Z1+2Z2=2ZA+ZABC

+ZACB=ZA+180°,.?.N1+N2=TNA+90°.又?.?Nl+N2+NB0C=180°,

.,.ZB0C=180°-(Zl+Z2)=90°-1zA.

3、解題技巧專題：利用全等解決問題的模型與技巧

一一明模型，先觀察，再猜想，后證明

?類型一全等三角形的基本模型

1.如圖，AC=AD,BC=BD,ZA=50°,ZB=90°，則NC=

第1題圖第2題圖

2.如圖，銳角aABC的高AD,BE相交于F,若BF=AC,BC=7,CD=2,則AF

的長為

3.如圖，點A,D,C,E在同一條直線上，AB〃EF,AB=EF,ZB=ZF,AE=10,

AC=6,則CD的長為()

A.2B.4C.4.5D.3

4.如圖，在△ABC,AADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C,D,

E在同一直線上，連接BD交AC于點F.

(1)求證：△BADgACAE；

⑵猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說明理由.

E

?類型二證明線段間的等量關(guān)系

一、等線段代換

5.如圖，RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直線1為經(jīng)過點A的任一直線,

BD_L1于D,CEL1于E,若BD>CE,試問：

(DAD與CE的大小關(guān)系如何？請說明理由；

(2)線段BD,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由.

二、截長補短法

6.如圖，在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點，若AC平分NBAE,ZACE=90°,

猜想線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.

三、倍長中線法

7.在aABC中，AB=8,AC=6,則BC邊上的中線AD的取值范圍是()

A.6<AD<8

B.2<AD<14

C.1<AD<7

D.無法確定

參考答案與解析

1.110°2.33.A

4.(1)證明：?.?NBAC=NDAE=90°,：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即NBAD

=NCAE.在ABAD和4CAE中，?.?AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

.,.△BAD^ACAE(SAS).

(2)解：BDLCE.理由如下：由(1)可知△BADgACAE,AZABD=ZACE.VZBAC

=90°,.?.NABD+NAFB=90°.又?.?/AFB=NDFC,/.ZACE+ZDFC=90°,

/.ZBDC=90°,EPBD±CE.

5.解：(1)AD=CE.理由如下：于D,CE，1于E,.?.NBDA=NAEC=90°,

AZCAE+ZACE=90°.VZBAC=Z90°,AZBAD+ZCAE=90°,AZBAD=

NACE.又；AB=AC,.,.△ABD^ACAE(AAS),.*.AD=CE.

(2)BD=DE+CE.理由如下:由⑴可知AABD烏Z\CAE,；.BD=AE,AD=CE.又*+AE

=DE+AD,.?.BD=DE+CE.

6.解：AE=AB+DE.證明如下：如圖，在AE上截取AF=AB,并連接CF.?.'AC平

分NBAE,，NBAC=NCAF.又：AC=AC,.?.△BAC烏△FAC(SAS),，BC=FC,ZACB

=ZACF.VZACE=90°,AZACF+ZFCE=90°,ZACB+ZDCE=90°,AZFCE

=NDCE.又YC為BD的中點，，BC=DC,ADC=FC.XVCE=CE,

.?.△FCE之△DCE(SAS),；.DE=FE,；.AE=AF+FE=AB+DE.

7.C

4、難點探究專題：動態(tài)變化中的三角形全等

——以"靜"制‘'動"，不離其宗

?類型一動點變化

1.如圖，Rt/XABC中，ZC=90°，AC=6,BC=3,PQ=AB,點P與點Q分別在

AC和AC的垂線AD上移動，則當AP=時，△ABC和aAPQ全等.

2.如圖，AABCAB=AC=12cm,ZB=ZC,BC=8cm,點D為AB的中點.如

果點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA

上由C點向A點運動.若點Q的運動速度為vcm/s,則當4BPD與4CQP全等時，

v的值為【提示：三角形中有兩個角相等，則這兩個角所對的邊相

等工

A

3.Z^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC(ZABC=ZACB=45°),點D為直線BC上

一動點(點D不與B,C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.【方

法11】

(1)觀察猜想：如圖①，當點D在線段BC上時，

①BC與CF的位置關(guān)系為；

②線段BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為(將結(jié)論直接寫在橫線上).

A

(2)數(shù)學思考：如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成

立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明.

?類型二圖形變換

4.如圖甲，已知A,E,F,C在一條直線上，AE=CF,過E,F分別作DE_LAC,

BF_LAC,且AB=CD,連接BD.

(1)試問OE=OF嗎？請說明理由；

(2)若ADEC沿AC方向平移到如圖乙的位置，其余條件不變，上述結(jié)論是否仍成

立？請說明理由.

5.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°，點D,F分別在AB,AC上，CF=CB,連

接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE,連接EF.

(1)求證：4BCD且AFCE；

(2)若EF〃CD,求NBDC的度數(shù).

參考答案與解析

1.3或6解析：?..△ABC和4APQ全等，AB=PQ,.?.有△ABCgZ\QPA或

△ABC絲ZXPQA.當△ABCgAQPA時，則有AP=BC=3；當△ABCgAPQA時，則有

AP=AC=6,.?.當AP=3或6時，^ABC和4APQ全等，故答案為3或6.

2.2或3解析：當BD=PC時，4BPD與aCQP全等.?點D為AB的中點，，BD

=1AB=6cm,APC=6cm,，BP=8—6=2(cm).,點P在線段BC上以2cm/s的

速度由B點向C點運動，,運動時間為Is.?.?△DBPgAPCQ,.,.CQ=BP=2cm,

.,.v=24-l=2(cm/s);當BD=CQ時,ABDP^AQCP./.PB=PQ,NB=2CQP.又

VZB=ZC,/.ZC=ZCQP,...PQ=PC,/.PB=PC.VBD=6cm,BC=8cm,PB=

PC,.,.QC=6cm,ABP=4cm,運動時間為4+2=2(s)”=6+2=3(cm/s),

故答案為2或3.

3.解:(1)①垂直②BC=CD+CF

(2)CF，BC成立；BC=CD+CF不成立，正確結(jié)論：CD=CF+BC.證明如下：

?.?正方形ADEF中，AD=AF,ZDAF=ZBAC=90°,AZBAD=ZCAF.

fAD=AF,

在ADAB與AFAC中，｛ZBAD=ZCAF,.,.ADAB^AFACCSAS),AZABD=ZACF,

IAB=AC,

DB=CF.VZACB=ZABC=45°,，NABD=180°—45°=135°,：.ZBCF=

ZACF-ZACB=ZABD-ZACB=90°,/.CF±BC.VCD=DB+BC,DB=CF,.,.CD

=CF+BC.

4.解:(1)OE=OF.理由如下:VDE±AC,BF±AC,ZDEC=ZBFA=90°.VAE

AB=CD,

=CF,/.AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在RtAABF和RtACDE中，＜

、AF=CE,

rZBFO=ZDEO,

/.RtAABF^RtACDE(HL),，BF=DE.在△BFO和△□￡()中，SZB0F=ZD0E,

IBF=DE,

...△BFO四△DEO(AAS),.*.OE=OF.

(2)結(jié)論依然成立.理由如下：VAE=CF,，AE—EF=CF—EF,，AF=CE.同⑴

可得△BFO之△□￡(),，F(xiàn)O=EO,即結(jié)論依然成立.

5.⑴證明：?.?將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE,，CD=CE,NDCE

=90°.VZACB=90°,AZBCD=90°—NACD=NFCE.在ABCD和AFCE中，

fCB=CF,

<ZBCD=ZFCE,

lcD=CE,

/.△BCD^AFCE(SAS).

⑵解:由(1)可知NDCE=90°,ABCD^AFCE,ZBDC=ZE.VEF/7CD,/.ZE

=180°-ZDCE=90°,.\ZBDC=90o.

5、易錯易混專題：等腰三角形中易漏解或多解的問題

——易錯歸納，各個擊破

?類型一求長度時忽略三邊關(guān)系

1.一個等腰三角形的兩邊長分別是4,8,則它的周長為（）

A.12B.16C.20D.16或20

2.學習了三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學們交流這樣一個問題：“已知一

個等腰三角形的周長是12,其中一條邊長為3,求另兩條邊的長”.同學們經(jīng)過

片刻思考和交流后，小明同學舉手說：“另兩條邊長為3、6或4.5、4.5.”你

認為小明的回答是否正確：,理由是.

3.已知等腰三角形中，一腰上的中線將三角形的周長分成6cm和10cm兩部分,

求這個三角形的腰長和底邊的長.

?類型二當腰或底不明求角度時沒有分類討論

4.已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°,則這個等腰三角形的頂角為（）

A.100°B.40°

C.40°或100°D.60°

5.等腰三角形的一個外角等于100°,則與這個外角不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)

分別為（）

A.40°,40°B.80°,20°

C.80°,80°D.50°,50°或80°,20°

6.已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4,則這個等腰三角形頂角的度

數(shù)為.

?類型三三角形的形狀不明時沒有分類討論

7.等腰三角形的一個角是50°,則它一腰上的高與底邊的夾角是（）

A.25°B.40°

C.25°或40°D.不能確定

8.在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為

50°,則NB等于.

9.如果兩個等腰三角形的腰長相等、面積也相等，那么我們把這兩個等腰三角

形稱為一對合同三角形.已知一對合同三角形的底角分別為x°和y°,則

（用含x的代數(shù)式表示）.

10.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°,求頂角的度數(shù).

?類型四一邊確定，另兩邊不確定，求等腰三角形個數(shù)時漏解

11.平面直角坐標系中，已知A（2,2）、B（4,0）.若在坐標軸上取點C,使aABC

為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

12.如圖，在4X5的點陣圖中，每兩個橫向和縱向相鄰陣點的距離均為1,該

點陣圖中已有兩個陣點分別標為A,B,請在此點陣圖中找一個陣點C,使得以點

A,B,C為頂點的三角形是等腰三角形，則符合條件的C點有個.

B

V-

?/???

A/???

參考答案與解析

i.c

2.不正確沒考慮三角形三邊關(guān)系

3.解:設(shè)腰長為xcm,①腰長與腰長的一半是6cm時，x+；x=6,解得x=4,

???底邊長=10—gx4=8(cm).=?4+4=8,4cm>8cm不能組成三角形；

120120

②腰長與腰長的一半是10cm時，x+-x=10,解得x=7p.,?底邊長=6—5X7

乙O乙。

oonono

=W(cm),.,.三角形的三邊長為彳加、—cm>.cm,能組成三角形.綜上所述，三

OO00

OQO

角形的腰長為彳加，底邊長為鼻cm.

OO

4.C5.D

6.120°或20°7.C8.70°或20°

9.x或90—x解析：?.?兩個等腰三角形的腰長相等、面積也相等，.?.腰上的高

相等.①當這兩個三角形都是銳角或鈍角三角形時，y=x,②當兩個三角形一個

是銳角三角形，一個是鈍角三角形時，y=90—x.故答案為x或90—x.

10.解:此題要分情況討論：當?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時,腰上的高在其外部.如

圖①所示，得頂角NACB=ND+/DAC=90°+20°=110°；當?shù)妊切蔚捻?/p>

角是銳角時，腰上的高在其內(nèi)部，如圖②所示，故頂角NA=90°-ZABD=90°

-20°=70°.綜上所述，頂角的度數(shù)為110°或70°.

6、解題技巧專題：等腰三角形中輔助線的作法

——形成精準思維模式，快速解題

?類型一利用“三線合一”作輔助線

一、已知等腰作垂線（或中線、角平分線）

1.如圖，在aABC中，AB=AC,AELBE于點E,且BE=^BC,若NEAB=20°,

貝0ZBAC=.

2.如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC邊的中點，過點D作DEJ_AB,DF1AC,

垂足分別為E,F.

（1）求證：DE=DF；

⑵若NA=90°,圖中與DE相等的有哪些線段（不說明理由）？

BDC

3.如圖，AABC中，AC=2AB,AD平分NBAC交BC于D,E是AD上一點，且EA

=EC,求證:EB±AB.

二、構(gòu)造等腰三角形

4.如圖，4ABC的面積為1cm2,AP垂直NABC的平分線BP于P,則4PBC的面

積為（）

A.0.4cm2B.0.5cm2

C.0.6cm2D.0.7cm"

5.如圖，已知aABC是等腰直角三角形，NA=90°,BD平分NABC交AC于點D,

CE_LBD.求證:BD=2CE.

?類型二巧用等腰直角三角形構(gòu)造全等

6.如圖，在AABC中，AC=BC,ZC=90°,D是AB的中點，DE_LDF,點E,F

分別在AC,BC上，求證：DE=DF.

?類型三等腰(邊)三角形中截長補短或作平行線構(gòu)造全等

7.如圖，已知AB=AC,ZA=108°,BD平分NABC交AC于D,求證：BC=AB

+CD.

8.如圖，過等邊4ABC的邊AB上一點P,作PE±AC于E,Q為BC延長線上一點,

且PA=CQ,連PQ交AC邊于D.

⑴求證:PD=DQ；

⑵若AABC的邊長為1,求DE的長.

參考答案與解析

1.40°

2.(1)證明：如圖，連接AD.?.?AB=AC,D是BC的中點，NEAD=NFAD.又

VDE±AB,DF±AC,/.DE=DF.

E

BDC

⑵解:若NBAC=90°,圖中與DE相等的有線段DF,AE,AF,BE,CF.

3.證明：如圖,作EF,AC于F????EA=EC,AAF=FC=|AC.VAC=2AB,AAF=

乙

AB.YAD平分NBAC,AZBAD=ZCAD.XVAE=AE,AAABE^AAFE(SAS),

/.ZABE=ZAFE=90o./.EB±AB.

5.證明：如圖,延長BA和CE交于點M.YCELBD,...NBEC=NBEM=90°.；BD

平分NABC,，NMBE=NCBE.又?.?BE=BE,AABME^ABCECASA),.\EM=EC=1

MC.?.?△ABC是等腰直角三角形，，NBAC=NMAC=90°,BA=AC,/.ZABD4-

ZBDA=90°.VZBEC=90°,AZACM+ZCDE=90°.VZBDA=ZEDC,AZABE

=ZACM.XVAB=AC,.'.△ABD絲△ACM(ASA),/.DB=MC,.*.BD=2CE.

6.證明:如圖，連接CD.?.?AC=BC,D是AB的中點，...CD平分NACB,CD±AB,

AZCDB=90°.VZACB=90°,AZBCD=ZACD=45°,.,.ZB=180°-ZCDB

-ZBCD=45°,.,.ZACD=ZB=ZBCD,.\60=80.VEDIDF,.\ZEDF=ZEDC

+ZCDF=90°.XVZCDF+ZBDF=90°,/.ZEDC=ZBDF,

/.△ECD^AFBD(ASA),.*.DE=DF.

I)

H

7.證明：如圖，在線段BC上截取BE=BA,連接DE.；BD平分/ABC,，NABD

=ZEBD.XVBD=BD,/.AABD^AEBDCSAS),/.ZBED=ZA=108°,/.ZDEC

=180°—NDEB=72°.又?.?AB=AC,ZA=108°,：.ZACB=ZABC=|x(180°

-108°)=36°,AZCDE=ZDEB-ZACB=180°-36°=72°,AZCDE=

ZDEC,/.CD=CE,/.BC=BE+EC=AB+CD.

8.(1)證明:如圖，過P作PF〃BC交AC于點F,...NAFPM/ACB,ZFPD=ZQ,

NPFD=NQCD.「△ABC為等邊三角形，，/A=NACB=60°,ZAFP=60°,

...△APF是等邊三角形，，AP=PF.?.?AP=CQ,，PF=CQ,...△PFD之△QCD(ASA),

/.PD=DQ.

(2)解：?.,△APF是等邊三角形,PE±AC,/.AE=EF.VAPFD^AQCD,.*.CD=DF,

1-1

.,.DE=EF+DF=-AC,又?.?AC=1,.-.DE=-

乙乙

7、模型構(gòu)建專題：共頂點的等腰三角形

——明模型，悉結(jié)論

?類型一共直角頂點的等腰直角三角形

1.如圖，已知AABC和ADBE均為等腰直角三角形.

⑴求證:AD=CE；

⑵猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，請說明理由；若不垂直，則只要寫出結(jié)

論，不用寫理由.

?類型二共頂點的等邊三角形

2.如圖①，等邊aABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊aEDC,

連接AE.

(□△DBC和AEAC會全等嗎？請說明理由；

(2)試說明AE〃BC的理由;

(3)如圖②，將(1)中動點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形，請

問是否仍有AE〃BC?證明你的猜想.

參考答案與解析

1.(1)證明：?.'△ABC和4DBE均為等腰直角三角形，；.AB=BC,BD=BE,

ZABC=ZDBE=90°,AZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,即NABD=NCBE,

.".△ABD^ACBE(SAS),.*.AD=CE.

(2)解:垂直.理由如下：如圖，延長AD分別交BC和CE于G和F.；AABD^ACBE,

二ZBAD=ZBCE.VZBAD+ZABC+ZBGA=ZBCE+ZAFC+ZCGF=180°，

ZBGA=ZCGF,/.ZAFC=ZABC=90°，/.AD±CE.

B

E

2.解:(1QDBC和AEAC全等.理由如下：,△ABC和aEDC為等邊三角形，，BC

=AC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°，,NACB—NACD=NDCE—NACD,即NBCD

=ZACE,.?.△DBC義△EAC(SAS).

(2)VADBC^AEAC,AZEAC=ZB=60°.XVZACB=60°,AZEAC=ZACB,

，AE〃BC.

⑶仍有AE〃BC.證明如下：;△ABC,AEDC為等邊三角形，，BC=AC,DC=CE,

ZBCA=ZDCE=60°,：.ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,即NBCD=NACE.在

jBC=AC,

△DBC和AEAC中，VSZBCD=ZACE,.'.△DBC0△EAC(SAS),/.ZEAC=ZB=

ICD=CE,

60°.XVZACB=60°,.,.ZEAC=ZACB,，AE〃BC.

8、類比歸納專題：證明線段相等的基本思路

——理條件、定思路，幾何證明也容易

?類型一已知“邊的關(guān)系”或“邊角關(guān)系”用全等

1.如圖，已知AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AF±CD,F為垂足，求證:

⑴AC=AD；

⑵CF=DF.

A

及￡

I)

2.如圖，ZC=90°,BC=AC,D、E分別在BC和AC上，且BD=CE,M是AB的

中點.求證：^MDE是等腰三角形.

?類型二已知角度關(guān)系或線與線之間的位置關(guān)系用”等角對等邊“

3.如圖，在Z\ABC中,CE、CF分別平分NACB和4ACB的外角NACG,EF〃BC交

AC于點D,求證：DE=DF.

4.如圖，在AABC中，ZACB=2ZB,ZBAC的平分線AD交BC于D,過C作CN1AD

交AD于H,交AB于N.

(1)求證：AN=AC；

⑵試判斷BN與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

?類型三已知角平分線、垂直或垂直平分用相應(yīng)的性質(zhì)

5.如圖，中，NCAB的平分線與BC的垂直平分線DG相交于D,過點D作

DE±AB,DF±AC,求證：BE=CF.

6.如圖，在AABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分線，DE_LAB于E,F在AC

上，BD=DF.求證:

(1)CF=EB；

(2)AB=AF+2EB.

參考答案與解析

1.證明：(D^AABC^lAAED中，AB=AE,ZB=ZE,BC=ED,AAABC^AAED,

/.AC=AD；

(2)在RtZXACF和Rt^ADF中，AC=AD,AF=AF,/.AACF^AADF,/.CF=DF.

2.證明：連接CM,則BM=CM,且CMJLMB,AZB=ZMCE=45°,，BM=AM=

CM.在AMBD和AMCE中，BM=CM,ZB=ZMCE,BD=CE,AAMBD^AMCE,Z.DM

=EM,.?.△MDE是等腰三角形.

3.證明：:CE是AABC的角平分線，.../ACEnNBCE.?.PF為AABC外角NACG

的平分線，，NACF=NGCF.：EF〃BC,/.ZGCF=ZF,ZBCE=ZCEF./.ZACE

=ZCEF,ZF=ZDCF,.*.CD=ED,CD=DF,，DE=DF.

4.(1)證明：VCN±AD,.\ZAHN=ZAHC=90°.又TAD平分NBAC,ZNAH=

ZCAH.AANHWAACHdp,ZAHN+ZNAH+ZANH=180°,ZAHC+ZCAH

+ZACH=180°AZANH=ZACH,AAN=AC；

jAN=AC,

(2)解：BN=CD.理由如下：連接ND.在AAND和AACD中，｛/NAD=CAD,

IAD=AD,

/.△AND^AACD(SAS),/.DN=DC,ZAND=ZACD.XVZACB=2ZB,ZAND

=2NB.又?.?△BND中，ZAND=ZB+ZNDB,/.ZB=ZNDB,，NB=ND,；.BN=

CD.

5.證明：連接BD、CD...飛口是NFAE的平分線，DE1AB,DF1AC,.\DE=DF.VDG

是BC的垂直平分線，；.BD=CD..?.Rtz^CDF絲RtaBDE.，BE=CF.

6.證明：⑴:AD是NBAC的平分線，DE±AB,DCLAC,；.DE=DC.又?.?BD=DF,

.,.RtACFD^RtAEBD(HL).，CF=EB；

(2)在Rtz^ADC和RtZ\ADE中，AD=AD,DC=DE,.".RtAADC^RtAADE,，AC=

AE,/.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF4-EB=AF+2EB.

9、解題技巧專題：乘法公式的靈活運用

一一計算技巧多，先觀察，再計算，事半功倍

?類型一利用乘法公式進行簡便運算

1.計算102X98的結(jié)果是()

A.9995B.9896C.9996D.9997

2.計算20152-2014X2016的結(jié)果是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.計算：

(1)512=；

(2)298X302=

4.運用公式簡便計算:

/、12,、10002

（1）40^X39-；屹）2522—248”

5.閱讀下列材料：

某同學在計算3(4+1)(4?+1)時，把3寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運用平方差

公式計算:3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1.請

借鑒該同學的經(jīng)驗，計算下面式子的值：

?類型二利用乘法公式的變式求值

6.若a—b=g,且a''—1?=1,則a+b的值為（）

11

A.B.~C.1D.2

7.若a—b=l,ab=2,則（a+b￥的值為（）

A.-9B.9C.±9D.3

8.已知x+-=5,那么x'+t的值為（）

XX

A.10B.23C.25D.27

9.若m+n=l,則代數(shù)式nr—rr'+2n的值為1.

10.若a+b=3,ab=2,則（a—b）2=.

11.閱讀:已知a+b=-4,ab=3,求a'+b?的值.

解：Va+b=—4,ab=3,

a~+b-=(a+b)~—2ab=(-4)2—2X3=10.

請你根據(jù)上述解題思路解答下面問題：

(1)已知a—b=-3,ab=—2,求(a+b)(a‘一b~)的值;

(2)已知a—c—b=-10,(a—b)c=-12,求(a—b"+c'的值.

參考答案與解析

1.C2.D

3.(1)2601(2)89996

4.解：(1)原式=\o+；](4O—；)=40'一=1599/

___________WOO；_________

(2)原式=(250+2)2—(250—2),

____________________WOO；____________________10002

=2502+2X250X2+22-(2502-2X250X2+22)=2000=50°,

5-解:11+和+卻+卻+9+次=2X(1—卻+卻+升

1

7=2X

6.B7.B8.B9.110.1

11.解：(1)?.,8—b——3,ab=-2,A(a+b)(a2—b2)=(a+b)2(a—b)—[(a—

b)2+4ab](a-b)=[(-3)2+4X(-2)]X(—3)=—3.

(2)Va—c—b=-10,(a—b)c=-12,/.(a—b)2+c2:z::[(a—b)—c]2+2(a—b)c

=(-10)2+2*(-12)=76.

10、解題技巧專題：選擇合適的方法因式分解

——學會選擇最優(yōu)方法

?類型一一步(提公因式或套公式)分解因式

1.下列分解因式正確的是()

A.—ma—m=-m(a—1)

B.a2—1=(a—1)2

C.a2—6a+9=(a—3)2

D.a"+3a+9=(a+3),

2.分解因式：

(1)3x3y3—x2y34-2x4y；

(2)2(x+y)2—(y+x)J

?類型二兩步(先提后套或二次分解)分解因式

3.分解因式￡b—b：)結(jié)果正確的是()

A.b(a+b)(a—b)B.b(a—b)~

C.b(a2—b2)D.b(a+b)~

4.分解因式：

(l)-2a3+12a2-18a;

(2)(x2+l)2-4x2.

*?類型三特殊的因式分解法(分組分解法、十字相乘法、配方法)

5.閱讀下列材料并解答問題：

將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解

法.例如：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+

b)(m+n).

(1)試完成下面填空:x2—y2—2y—l=x2—(y'+2y+l)=

________________________________________________?

(2)試用上述方法分解因式：a"-2ab—ac+be+b".

6.閱讀與思考：將式子x2-x-6分解因式.這個式子的常數(shù)項-6=2X(-3),

一次項系數(shù)一1=2+(—3),這個過程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解

二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在

十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)，

如圖所示，這種分解二次三項式的方法叫“十字相乘法”.

Ix(-3)+1x2=-1

請同學們認真觀察，分析理解后，解答下列問題:

(1)分解因式:x?+7x—18；【方法22】

(2)填空：若x?+px—8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是

7.閱讀：分解因式x?+2x—3.

解：原式=x?+2x+1—1—3=解+2x+l)—4=(x+1)2—4=(x+1+2)(x+1—

2)=(x+3)(x—1).

上述因式分解的方法可以稱之為配方法.請體會配方法的特點，然后用配方法分

解因式：

(1)X2-4X+3;(2)4X2+12X-7.

參考答案與解析

1.C

2.解：(1)原式=x,y(3xy2—y2+2x2)；

(2)原式=(x+y)\[2—(x+y)]=(x+y)2?(2—x—y).

3.A

4.解：(1)原式=-2a(a2—6a+9)=-2a(a—3)"；

(2)原式=(x2+l+2x)(x?+l—2x)=(x+l)2(x—I))

5.解:(l)x2—(y+1)2(x+y+1)(x—y—1)

(2)原式=(a2—2ab+b')—(ac—be)=(a—b)2—c(a—b)=(a—b)(a—b—c).

6.解:(1)原式=(x+9)(x—2).

(2)7,-7,2,-2解析：若x?+px—8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p

的所有可能值分別是一8+1=—7；—1+8=7；—2+4=2；—4+2=—2.

7.解：(1)原式=x°—4x+4—4+3=(x2—4x+4)—1=(x-2)'—1=(x-2+1)(x

—2—1)=(x—1)(x—3)；

⑵原式=4x?+12x+9—9—7=(4X2+12X+9)—16=(2x+3)2—16=(2x+3+

4)(2x+3-4)=(2x+7)(2x—1).

11、易錯專題：分式中常見的陷阱

——易錯全方位歸納，各個擊破

?類型一分式值為0時求值，忽略分母不為0

x2—4

1.分式一7的值等于0時，x的值為（）

X一乙

A.±2B.2C.-2D.^/2

2

2.要使m小—記9篇的值為0,則m的值為（）

A.3B.—3

C.±3D.不存在

3.若分式3三—占IV的I值為零，則x的值為.

X-I-O

?類型二自主取值再求值時，忽略分母或除式不能為0

4.先化簡，再求值：（1-$?淆，從一1,2,3中選擇一個適當?shù)臄?shù)作為

x值代入.

29

x+x（

5.先化簡：^2x+r然后再從一2VxW2的范圍內(nèi)選取一個合適

的x的整數(shù)值代入求值.

?類型三無解時忽略分式方程化為一次方程后未知數(shù)系數(shù)為0的情況

6.★若關(guān)于x的分式方程注一1=：無解,則m的值為（）

3

A.——B.1

乙

3fL3

C.—5或2D.15或一5

—,心、，-1-上乙八rra2a-x-1__5.y,,..

7.已知關(guān)于x的分式萬程后J—x?+x=0無解，求a的值.

?類型四已知方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去公分母為0時參數(shù)的

值

8.若關(guān)于x的分式方程f=2—六-的解為正數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)m的值

X—22-x

為（）

A.1,2,3B.1,2

C.1,3D.2,3

9.已知關(guān)于x的分式方程號=1的解為負數(shù),求a的取值范圍.

參考答案與解析

1.C2,B3.3

VV-1V3

4.解：原式=,?―-=-當x=3時，原式===3(x不能取一1和

x+1x—2x—23—2

2).

x(x+1)2x—(x—1)x(