PAGEPAGE1第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.2簡(jiǎn)潔的三角恒等變換第1課時(shí)簡(jiǎn)潔的三角恒等變換(1)考點(diǎn)1半角公式的理解和簡(jiǎn)潔應(yīng)用1.(2024·山東青島四校高一下期中考試)已知sin2α=13,則cos2α-π4A.-13 B.-23 C.13答案：D解析：cos2α-π4=1+cos2α2.(2024·安徽蕪湖高一上期末考試)已知等腰三角形的頂角的余弦值等于725,則它的底角的余弦值為()A.34 B.35 C.12答案：B解析：設(shè)等腰三角形的頂角為α,底角為β,則cosα=725。又β=π2-α2,所以cosβ=cosπ2-α2=sinα23.(2024·西安一中單元檢測(cè))cosα=725,0<α<π2,則sinα2為(A.45 B.35 C.25答案：B解析：∵α∈0,π2,sinα2=1-cosα4.(2024·浙江諸暨中學(xué)高一段考)若θ∈(π,2π),則1-cosθ答案：-tanθ解析：∵θ∈(π,2π),∴sinθ<0,∴1-cosθ1+cosθ=1考點(diǎn)2積化和差公式的理解和簡(jiǎn)潔應(yīng)用5.(2024·浙江金華一中高一期中考試)已知cos2α-cos2β=m,那么sin(α+β)sin(α-β)=()。A.-m2 B.m2 C.-m 答案：C解析：方法一:sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos2α-cos2β)=-12(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-m,故選方法二:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)·(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-m,故選C。6.(2024·銀川一中模塊測(cè)試)給出下列四個(gè)關(guān)系式:①sinαsinβ=12[cos(α+β)-cos(α-β)];②sinα·cosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];③cosαcosβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];④cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α其中不正確的個(gè)數(shù)是()。A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：①③不正確,②④正確。7.(2024·廣州調(diào)研)已知sinθ+π6·sinθ-π6=答案：∵sinθ+π6sinθ∴-12cosθ即-12cos2θ∴cos2θ=-35。又cos2θ=1∴1-tan2θ1+ta考點(diǎn)3和差化積公式的理解和簡(jiǎn)潔應(yīng)用8.(2024·河南林州一中高二上開學(xué)考試)在△ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,則△ABC是()。A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形答案：B解析：由正弦定理,可得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,即sin2A+sin2B=sin2C,由和差化積公式,可得2sin(A+B)·cos(A-B)=2sinCcosC,即cos(A-B)=-cos(A+B),即cos(A-B)+cos(A+B)=0,所以cosAcosB=0,所以A=90°或B=90°,故選B。9.(2024·西北工大附中單元測(cè)評(píng))下列四個(gè)關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)為。

(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ;(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ;(3)sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosθ(4)sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ。答案：0解析：(1)錯(cuò)誤,右邊應(yīng)是2sin4θcosθ。(2)錯(cuò)誤,右邊應(yīng)是2sin4θsinθ。(3)錯(cuò)誤,右邊應(yīng)是-2cos4θsinθ。(4)錯(cuò)誤,左邊為異名三角函數(shù),應(yīng)先用誘導(dǎo)公式化同名三角函數(shù)后再化積,即sin5θ+cos3θ=sin5θ+sinπ2-3θ=2sin10.(2024·哈爾濱模擬)在△ABC中,∠C=60°,則sinA+sinB等于()。A.2sinA+B2 C.3sinA-B2 D.答案：D解析：∵sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2。又∠C=60°,∴∠A+∠B=120°,∴sinA+sinB=2sin60°cos11.(2024·上海浦東區(qū)調(diào)考)求值:sin75°-sin15°。答案：sin75°-sin15°=2cos75°+15°2·sin75°-15°2=2cos45°·sin30考點(diǎn)4半角公式、和積互化公式的敏捷應(yīng)用問題12.(2024·南昌檢測(cè))若cos2αsinα-π4=-22,則sinαA.-72 B.-12 C.12答案：C解析：cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)·(cosα+sinα)=2cosα+π4·(cosα+sinα)=2sinπ4-α(cosα+sinα),則cos2αsinα-π4=-2(cosα+sin13.(2024·遵義調(diào)考)若sinθ=35,5π2<θ<3π,則tanθ2+cosθ2的值為A.3+1010 B.3-C.3+31010 D.答案：B解析：因?yàn)?π2<θ<3π,所以cosθ=-1-sin2θ=-45,5π4<θ2<3π2,所以sinθ2<0,cosθ2<0。所以sinθ2=-1-cosθ2=-31010,cos14.(2024·福州調(diào)考)若f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)為偶函數(shù),則φ可以取的一個(gè)值為()。A.π6 B.π3 C.-π6 答案：D解析：f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=-2sin3x+φ-π6。因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以只需使φ-π6為π2的奇數(shù)倍即可。因?yàn)?π315.(2024·蘇州模擬)sin10°+sin50°-sin70°的值為。

答案：0解析：sin10°+sin50°-sin70°=2sin50°+10°2·cos50°-10°2-sin70°=2sin30°cos20°16.(2024·衡陽八中模擬)已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2β=sinθcosθ,求證:2cos2α=cos2β。答案：證明:由題意,得2sin①2-②×2,得4sin2α-2sin2β=1。變形為1-2sin2β=2-4sin2α,則有cos2β=2cos2α?？键c(diǎn)5給角求值問題17.計(jì)算:sin105°cos75°=()。A.12 B.14 C.22答案：B解析：sin105°cos75°=sin75°cos75°=12sin150°=14,故選18.計(jì)算:3cosπ12+sinπ12=(A.0 B.-2C.6+2答案：C解析：原式=232cosπ12+12sinπ12=2cosπ6cosπ12+sinπ6sinπ12=2cosπ12=2cosπ3-π4=2cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ419.計(jì)算:sin35°-sin25°答案：-3解析：原式=2sin5°cos30°-2sin30°sin5°=-20.計(jì)算:3tan12°-3答案：-43解析：原式=3sin12°-3cos12°cos12°sin12°·2cos2421.計(jì)算:tan11°+tan49°+3tan11°tan49°=。

答案：3解析：原式=2cos(30°-20°)-sin20°考點(diǎn)6給值求值問題22.已知2sinα=1+cosα,則tanα2=()A.12 B.1C.2 D.2或不存在答案：B解析：2sinα=1+cosα,即4sinα2cosα2=2cos2α2,當(dāng)cosα2=0時(shí),tanα2不存在,當(dāng)cosα2≠023.設(shè)α是其次象限角,tanα=-43,且sinα2<cosα2,則cosα2A.-55 B.55 C.35 答案：A解析：因?yàn)棣潦瞧浯蜗笙藿?且sinα2<cosα2,所以α2為第三象限角,所以cosα2<0。因?yàn)閠anα=-43,所以cosα=-35,所以cos24.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,則sin(α+2β)+sin(α-2β)=()。A.1 B.-1 C.0 D.±1答案：C解析：∵sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,∴sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0。25.已知sinθ2+cosθ2=233,則cos2答案：7解析：因?yàn)閟inθ2+cosθ2=233,所以1+sinθ=43,即sinθ=13,所以cos2θ=1-2sin226.若tanθ+π4=3,則5sin2θ-3sinθcosθ+2cos2θ答案：7解析：tanθ=tanθ+π4-π∴原式=5sin2θ-3sin第2課時(shí)簡(jiǎn)潔的三角恒等變換(2)考點(diǎn)1協(xié)助角公式的應(yīng)用問題1.使函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)為奇函數(shù)的θ的一個(gè)值是()。A.π6B.π3C.π2答案：D解析：f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin2x當(dāng)θ=23π時(shí),f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x2.已知f(x)=sinx+3cosx(x∈R),函數(shù)y=f(x+φ)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱,則φ的值可以是()。A.π2 B.π3 C.π4答案：D解析：因?yàn)閒(x)=2sinx+π3,所以f(x+φ)=2sinx+φ+π3。因?yàn)閒(x+φ)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱,所以φ+π3=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+π63.已知函數(shù)f(x)=(1+3tanx)cosx,則函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸方程是。

答案：x=π3(只要符合x=kπ+π3,k∈Z即可,解析：f(x)=(1+3tanx)·cosx=1+3sinxcosx·cosx=cosx+3由x+π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ+π3(k∈Z),故函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程為x=kπ+π3(4.已知α,β均為銳角,且cos(α+β)=sin(α-β),則tanα=。

答案：1解析：因?yàn)閏os(α+β)=sin(α-β),所以cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,所以cosα(sinβ+cosβ)=sinα(cosβ+sinβ)。因?yàn)棣?β均為銳角,所以sinβ+cosβ≠0,所以cosα=sinα,所以tanα=1。5.已知tanα2=12,則sinα+答案：3+4解析：∵tanα2=12,∴sinα=2sinα2cosα2=2sinα2coscosα=cos2α2-sin2α2=cos2α2-∴sinα+π6=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×32考點(diǎn)2三角變換之變角問題6.(2024·天津南開區(qū)高一期末)sin80°cos70°+sin10°·sin70°=()。A.-32 B.-12 C.12答案：C解析：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos(70°-10°)=cos60°=12,故選C7.(2024·甘肅定西通渭高三上期末)已知f(sinx)=cos3x,則f(cos10°)的值為()。A.-32 B.±12 C.12答案：B解析：因?yàn)閏os10°=sin80°,并且f(sinx)=cos3x,所以f(cos10°)=f(sin80°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-12。因?yàn)閏os10°=sin100°,所以f(cos10°)=f(sin100°)=cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=12,故選8.tan20°+4sin20°=。

答案：3解析：原式=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=9.函數(shù)y=sin(x+10°)+cos(x+40°)(x∈R)的最大值是。

答案：1解析：令x+10°=α,則x+40°=α+30°?！鄖=sinα+cos(α+30°)=sinα+cosαcos30°-sinαsin30°=12sinα+32cosα=sin(α+60°)?！鄖max10.已知sinx+π6=33,則sin5π6-答案：2+解析：sin5π6-x+sin2π3-x=sinπ-5π6-x+cos2π211.(2024·河北張家口高三上期末)已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<(1)求tan2α的值;答案：解:(1)由cosα=17,0<α<π2sinα=1-cos2α∴tanα=sinαcosα=4∴tan2α=2tanα1-tan(2)求β。答案：(2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π∵cos(α-β)=1314∴sin(α-β)=1-cos2(由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosα·cos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×∴β=π3考點(diǎn)3三角變換之變式問題12.已知sin2α=23,則cos2α+π4A.16 B.13 C.12答案：A解析：由倍角公式可得,cos2α+π4=1+cos2α+π22=13.在△ABC中,若sinAsinB=cos2C2,則下列等式中肯定成立的是()A.A=B B.A=CC.B=C D.A=B=C答案：A解析：∵sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cosA∴12cosAcosB+12sinAsinB=12?！郼os(A-∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B。故選A。14.函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是。

答案：1-2解析：∵y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2sin2x+π4,∴y15.化簡(jiǎn)2+cos2-sin答案：3cos1解析：原式=1+cos2+(1-sin21)=2cos21+cos16.(2024·湖北荊州高一調(diào)考)若sinπ3-α=13,則cos答案：-7解析：cosπ3+2α=cos2π6+α=cos2π2-π17.(2024·山東濰坊高一調(diào)考)已知cosα-π4=45,α∈0,π答案：6解析：因?yàn)閏osα-π4=45,所以sinα-π4=-35,sin所以cos2αsinα+π2sinπ2-α+π考點(diǎn)4角的范圍在三角變換中的應(yīng)用問題18.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα,tanβ,且α,β∈-π2,π2,則tanαA.12 B.-2 C.43 D.1答案：B解析：由題意知tanα+tanβ=-4a,tanα·tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+∵a>1,∴tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+1>0,∴tanα<0,tanβ<0。∵α,β∈-π2,π2,∴α,β∈-∴tanα+β2<0,∴tanα+19.設(shè)α∈3π2,2π,化簡(jiǎn):1答案：-cosα解析：∵α∈3π2,2π,∴cosα>0,cos故原式=12+12cos2α=20.(2024·湖北恩施高一調(diào)考)已知sinα=-1213,α∈π,3π2,則tan答案：-3解析：因?yàn)閟inα=-1213,α∈π,3π2,所以cosα=-513,所以tanα=125。因?yàn)棣痢师?3π2,所以α2∈π2,3π4,所以即6tan2α2+5tanα2-6=0,解得tanα2=-32或tanα2=21.已知sinx-siny=-23,cosx-cosy=23,x,y為銳角且x≠y,則sin(x+y)=答案：1解析：∵sinx-siny=-23,cosx-cosy=23,兩式相加,得sinx+cosx=siny+cosy,∴sin2x=sin2又∵x,y均為銳角且x≠y,∴2x=π-2y,x+y=π2,∴sin(x+y)=122.已知α,β為銳角,cosα=17,sin(α+β)=5314,則角β答案：π解析：∵α為銳角,cosα=17,∴sinα=4又∵β為銳角,∴0<α+β<π?！遱in(α+β)=5314<sinα,∴π2<α+β<π,∴cos(α+β∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-1114×17+5314×∵β為銳角,∴β=π323.已知sinα,cosα是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0的兩個(gè)根,則1+cos2α-sin2α1答案：2+1解析：原式=2cos2α-2sinαcosα2si由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得sinα+cosα=a,sinα·cosα=a,依據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得(sinα+cosα)2=a2=1+2sinαcosα=1+2a,即a2-2a+1=0。解得a=1±2,又因?yàn)?2≤sinα+cosα≤2,24.(2024·遼寧撫順中學(xué)高三上期末)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,答案：∵π2<β<3π4,∴-3π4<-β∵π2<α<34π,∴-14π<α-β∵α>β,∴α-β>0,∴0<α-β<π4∵cos(α-β)=1213,∴sin(α-β)=1-144∵π2<α<3π4,π2<β<3π4,∴π<α+∵sin(α+β)=-35,∴cos(α+β)=-1-9∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=1213×-45-513×考點(diǎn)5三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題25.(2024·石家莊質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值為2,則f(x