考點(diǎn)11.反比例函數(shù)（精講）【命題趨勢(shì)】反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù)，年年都會(huì)考，總分值為12分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考一定還會(huì)考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個(gè)解答題，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平面幾何的知識(shí)結(jié)合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會(huì)是小題考查的重點(diǎn)?！局R(shí)清單】1：反比例函數(shù)的概念（☆☆）反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0的任意實(shí)數(shù)．2：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（☆☆☆）1）反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對(duì)稱性軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸為直線y=x和y=-x），中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心為原點(diǎn)）2）待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式（k≠0）；（2）把已知一對(duì)x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．3：反比例函數(shù)中|k|的幾何意義（☆☆☆）1）反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2）涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合（☆☆☆）1）涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)。若求時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍；反之亦然。2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來決定：①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可無交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．5：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（☆☆）解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小．同樣，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．2.利用|k|的幾何意義求出的k帶有絕對(duì)值，需要結(jié)合圖象分布象限來確定具體的符號(hào)。【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)1.反比例函數(shù)的定義例1：（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即．如圖，鐵架臺(tái)左側(cè)鉤碼的個(gè)數(shù)與位置都不變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側(cè)力F與力臂L滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）

A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系變式1.（2023·福建·統(tǒng)考一模）下面四個(gè)函數(shù)中，圖象為雙曲線的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023上·浙江九年級(jí)期中）已知函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是．例2：（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．變式1．（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時(shí)，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，的值為．變式2.（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則代數(shù)式．核心考點(diǎn)2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3：4．（2023年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C． D．變式1．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）反比例函數(shù)的圖像如圖所示，則的值可以是下列中的（

）A．3 B．2 C． D．變式2.（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

例4：（2023·廣東廣州·?？家荒＃┮阎幢壤瘮?shù)的圖象在第二、第四象限，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．變式1．（2023·福建莆田·?？既＃┤綦p曲線在第一、三象限，則k可以是．（寫出一個(gè)k的值即可）變式2.（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在反比例函數(shù)的圖像在某象限內(nèi)，隨著的增大而減小，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例5：（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）關(guān)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．圖像位于第二、四象限B．圖像與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)C．圖像所在的每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小D．圖像經(jīng)過點(diǎn)，則變式1.（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大C．當(dāng)時(shí)，若x越大，則對(duì)應(yīng)的y值也越大D．若、是其圖象上兩點(diǎn)，則不一定有變式2．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)，則下列描述正確的是（）A．圖象位于第一、三象限B．y隨x的增大而增大C．圖象不可能與坐標(biāo)軸相交D．圖象必經(jīng)過點(diǎn)例6：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．變式1．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式2．（2023年湖北省中考數(shù)學(xué)真題）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例7：（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）畫出反比例函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象回答：(1)當(dāng)時(shí)，y的值；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍；(3)當(dāng)且時(shí)，x的取值范圍．變式1.（2022·陜西·中考真題）已知點(diǎn)A(?2，m)在一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．若點(diǎn)A′在正比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為_______．核心考點(diǎn)3.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義例8：（2023年湖南中考模擬）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點(diǎn)C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4變式1．（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作軸于點(diǎn)M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（

）

A．2 B． C．1 D．變式2．（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)數(shù)的值為（）

A． B． C． D．3例9：（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，則的面積為；若的面積為，則．

變式1.（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有等點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則．

變式2.（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)A，以原點(diǎn)為位似中心得到第四象限的點(diǎn)B，位似比為，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，連接，則的面積為（

）

A．6 B．8 C． D．核心考點(diǎn)4.反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合例10：（2023年內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)真題）如圖，直線與雙曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或變式1．（2023年湖南省懷化市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點(diǎn)的直線相交于、兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)．如果，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C．或 D．或變式2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是．變式3．（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，例11：（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，菱形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)M，連接、．(1)求k、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上取點(diǎn)P，求出使取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式1．（2023·廣東廣州·校考一模）已知：一次函數(shù)（）的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)和．

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)將直線沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位，平移后的直線與反比例函數(shù)圖像恰好只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值．變式2．（2023·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為正方形．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)A．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)寫出的解集；(3)點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若的面積恰好等于正方形的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

核心考點(diǎn)5.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例12：（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，建設(shè)生態(tài)文明，德州市某工廠自年月開始限產(chǎn)并進(jìn)行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖像的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖像的部分，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．月份的利潤為萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個(gè)月增加萬元C．月份該廠利潤達(dá)到萬元D．治污改造完成前后共有個(gè)月的利潤低于萬元變式1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）某種玻璃原材料需在環(huán)境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會(huì)逐漸降低至室溫（），加熱和降溫過程中可以對(duì)玻璃進(jìn)行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于．玻璃溫度與時(shí)間的函數(shù)圖象如下，降溫階段y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象信息，以下判斷正確的是（

）A．玻璃加熱速度為 B．玻璃溫度下降時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為C．能夠?qū)ΣＡнM(jìn)行加工時(shí)長為 D．玻璃從降至室溫需要的時(shí)間為變式2．（2023·河南信陽·?？既＃穸仁侵缚諝獾母蓾癯潭?，或含有的水蒸氣的多少，天氣預(yù)報(bào)中最常用的是相對(duì)濕度，相對(duì)濕度是空氣中實(shí)際水蒸氣含量與同溫度下的最大可容納水蒸氣含量的百分比值，符號(hào)為%RH．人體感覺舒適的濕度一般為40%RH~70%RH．如圖1所示為某實(shí)驗(yàn)室的自動(dòng)除濕機(jī)簡化后的電路圖，R為裝在除濕機(jī)內(nèi)的濕敏電阻，其阻值隨相對(duì)濕度變化的圖象如圖2所示，當(dāng)濕敏電阻R的阻值發(fā)生變化時(shí)，控制電路中線圈的電流I隨之發(fā)生變化，控制電路中總電阻（調(diào)控電阻和濕敏電阻R的阻值之和，其他忽略不計(jì)）與電流I的關(guān)系圖象如圖3所示，當(dāng)電流大于或等于20mA時(shí)，L的兩個(gè)磁性彈片相互吸合，工作電路的壓縮機(jī)開始帶動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行除濕．下列說法不正確的是（

）

A．相對(duì)濕度越高，濕敏電阻R的阻值越小B．當(dāng)相對(duì)濕度為35%RH時(shí)，濕敏電阻R的阻值為150ΩC．當(dāng)濕敏電阻R的阻值為50Ω時(shí)，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的相對(duì)濕度在人體感覺舒適的濕度范圍內(nèi)D．當(dāng)相對(duì)濕度為45%RH時(shí)，若要壓縮機(jī)開始工作，則調(diào)控電阻的阻值不能低于500Ω變式3．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如：每個(gè)“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個(gè)視力值n，測