第1課時(shí)集合的概念第一章§1.1

集合的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例了解集合與元素的含義，利用集合中元素的三個(gè)特征解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能判斷元素與集合的關(guān)系.(重點(diǎn))2.識(shí)記常見(jiàn)數(shù)集的表示符號(hào).問(wèn)題1

下面的幾個(gè)例子，觀察并討論它們有什么共同特點(diǎn)？(1)1～10之間的所有偶數(shù)；(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；(3)所有的正方形；(4)到直線(xiàn)l的距離等于定長(zhǎng)d的所有點(diǎn)；(5)方程x2－3x＋2＝0的所有實(shí)數(shù)根；(6)地球上的四大洋.提示以上例子中指的都是“所有的”，即某種研究對(duì)象的全體，研究對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實(shí)生活中各種各樣的事物或人等.元素與集合的概念問(wèn)題2

問(wèn)題1中的幾個(gè)例子都能構(gòu)成集合嗎？它們的元素分別是什么？1.元素：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為

.

通常用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，…表示；2.集合：把一些元素組成的總體叫做

(簡(jiǎn)稱(chēng)為

).

通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，…表示.元素集合集知識(shí)點(diǎn)1：元素與集合的概念[微思考](1)本班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合？(2)一個(gè)集合中可以有相同的元素嗎？(3)1，2構(gòu)成的集合和2，1構(gòu)成的集合一樣嗎？提示：(1)某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤皫浉纭睕](méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)．(2)根據(jù)集合元素的互異性可知，集合中不能有相同的元素．(3)根據(jù)集合元素的無(wú)序性知，{1，2}與{2，1}表示同一集合。1.集合中元素的特征：

，

，

.注意點(diǎn)：集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，任何兩個(gè)元素不能相同，且與順序無(wú)關(guān).確定的互不相同的無(wú)序的元素的內(nèi)在特征例1

(1)(多選)以下元素的全體能構(gòu)成集合的是A.中國(guó)古代四大發(fā)明B.周長(zhǎng)為10cm的三角形C.方程x2＋2x－3＝0的實(shí)數(shù)根D.地球上的小河流√√√2.集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是

，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的.一樣的類(lèi)比實(shí)數(shù)相等,你認(rèn)為集合有沒(méi)有相等的概念，能否給出它的定義？[牛刀小試](2)集合P中含有兩個(gè)元素1和4，集合Q中含有兩個(gè)元素1和a2，若集合P與Q相等，則a＝_______.由題意得a2＝4，a＝±2.±2延伸探究

若將例1(2)改為“若集合Q中含有兩個(gè)元素1和a2”，求a的取值范圍.由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1.(1)判斷是否能夠構(gòu)成集合，關(guān)注能否滿(mǎn)足確定性、互異性、無(wú)序性；(2)若兩個(gè)集合相等，則這兩個(gè)集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.反思感悟跟蹤訓(xùn)練1

(1)下列說(shuō)法中正確的是A.與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B.由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則

△ABC不可能是等腰三角形D.高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合√(2)若由a，

，1組成的集合A與由a2，a＋b,0組成的集合B相等，則a2023＋b2023的值為_(kāi)_____.－1由已知可得a≠0，因?yàn)閮杉舷嗟?，?≠0，所以a2＝1，即a＝±1，又當(dāng)a＝1時(shí)，集合A不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去，所以a＝－1.所以a2023＋b2023＝－1.問(wèn)題3

如果體育老師說(shuō)“男同學(xué)打籃球，女同學(xué)跳繩”，你去打籃球嗎？為什么？提示是男生就去，不是男生就不去.要先確定是否屬于男同學(xué)構(gòu)成的集合．元素和集合之間的關(guān)系1.元素和集合之間的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素______a屬于集合A不屬于如果a不是集合A的元素______a不屬于集合Aa∈Aa?A元素與集合的關(guān)系2.常用數(shù)集及其記法名稱(chēng)非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法_____或N＋______RN*ZQN注意點(diǎn)：(1)元素與集合之間是屬于或不屬于的關(guān)系，注意符號(hào)的書(shū)寫(xiě).(2)“0”屬于自然數(shù)集.例2

(1)用符號(hào)“∈”或“?”填空：0____N*；－3____N；0.5____Z；

____Z；

____Q；π____R.????∈∈(2)已知集合A中元素x滿(mǎn)足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.a>－4判斷元素和集合關(guān)系的方法直接法：判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.推理法：判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2

(1)下列結(jié)論中，不正確的是A.若a∈N，則－a?NB.若a∈Z，則a2∈ZC.若a∈Q，則|a|∈QD.若a∈R，則a3∈R√A中，當(dāng)a＝0時(shí)，顯然不成立.?∈問(wèn)題4

用A表示“本班所有的課代表”組成的集合，這是利用的哪種方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列舉出來(lái)嗎？提示①這是用自然語(yǔ)言法表示的集合；②我們可以把所有課代表的名字寫(xiě)出來(lái)，或者把所有課代表的學(xué)號(hào)一一寫(xiě)出.集合的表示方法列舉法

把集合的所有元素

出來(lái)，并用花括號(hào)“{

}”括起來(lái)表示集合的方法叫做

.

（元素間用“，”隔開(kāi)，與元素的次序無(wú)關(guān)）注意點(diǎn)：(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，把元素一一列舉出來(lái)并用“{

}”括起來(lái)即可.(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，有明顯規(guī)律，可用列舉法，但必須把元素間的規(guī)律顯示清楚，然后加省略號(hào)，比如正整數(shù)集可表示為{1,2,3,4,5，…}.一一列舉列舉法集合的表示方法例3

用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有正整數(shù)組成的集合；設(shè)小于10的所有正整數(shù)組成的集合為A，那么A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)方程x2＋x＝0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；設(shè)方程x2＋x＝0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，那么B＝{－1,0}.(3)直線(xiàn)y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合.將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}.用列舉法表示集合的3個(gè)步驟(1)求出集合的元素；(2)一一列舉元素，且相同元素只能列舉一次；(3)用花括號(hào)括起來(lái).問(wèn)題4

你能用列舉法表示不等式x－7<3的解集嗎？提示

不等式x－7<3的解集是x<10，

問(wèn)題5

仿照上面的例子以及閱讀課本，你能表示偶數(shù)集嗎？提示{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.描述法一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為其中x表示元素，P(x)為滿(mǎn)足條件。注意點(diǎn)：(1)寫(xiě)清該集合中元素的代表符號(hào)，如{x|x>1}不能寫(xiě)成{x>1}.(2)語(yǔ)言簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被說(shuō)明，故此集合中的元素是不確定的.{x∈A|P(x)}集合的表示方法

思考

思考例4

用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－3<1的解集組成的集合A；不等式2x－3<1的解集組成的集合為A，則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x，則x滿(mǎn)足2x－3<1，則A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.(2)C＝{2,4,6,8,10}；設(shè)偶數(shù)為x，則x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6，8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}.(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合D.平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0，y>0，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為D＝{(x，y)|x<0，y>0}.思考

思考如何用描述法表示有理數(shù)集Q?（有理數(shù)的定義是什么？有理數(shù)具有的共同特征是什么？）在實(shí)數(shù)集R中，有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都具有的形式

用描述法表示集合的3個(gè)步驟(1)寫(xiě)出代表元素：弄清楚集合的元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他的元素，一般地，數(shù)用一個(gè)字母表示，點(diǎn)用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示.(2)明確元素的特征：語(yǔ)言力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，對(duì)代表元素以外的字母要指出其含義或其取值范圍.(3)用花括號(hào)括起來(lái)：一般格式為{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)為元素x所具有的性質(zhì)或限制條件.反思感悟例5

已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一個(gè)元素，求a的值.當(dāng)a＝0時(shí)，原方程變?yōu)?x＋1＝0，此時(shí)x＝

，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，當(dāng)Δ＝4－4a＝0，即a＝1時(shí)，原方程的解為x＝－1，符合題意.故當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，a的值為0或1.延伸探究1.在本例條件下，若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或沒(méi)有元素.當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，由例題可知，a＝0或a＝1.當(dāng)A中沒(méi)有元素時(shí)，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.故當(dāng)A中至多有一個(gè)元素時(shí)，a的取值范圍為{a|a＝0或a≥1}