專(zhuān)題13勾股定理之螞蟻行程模型綜合應(yīng)用（3大類(lèi)型）解題思路解題思路幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短確定最短路線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【典例分析】【典例1】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）【變式1-1】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【變式1-2】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【典例2】（2021春?望城區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B距離C點(diǎn)5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離是cm．【變式2-1】正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【變式2-2】有一長(zhǎng)、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm【典例3】如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)長(zhǎng)、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．【變式3】如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線(xiàn)長(zhǎng)度是寸．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B在棱上與點(diǎn)C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．2．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草，則他們僅僅少走了步路．（假設(shè)2步為1米）如圖，一座橋橫跨一河，橋長(zhǎng)40m，一艘小船自橋北頭出發(fā)，向正南方駛?cè)?，因水流原因到達(dá)南岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9m，則小船實(shí)際行駛的距離為m．4．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是cm．5．如圖一只螞蟻從長(zhǎng)為5cm、寬為3cm，高是4cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是cm．6．如圖是棱長(zhǎng)為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點(diǎn)，若在B點(diǎn)處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．7．如圖所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用秒鐘．8．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)長(zhǎng)、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．9．如圖，有一個(gè)圓柱形倉(cāng)庫(kù)，它的高為10m，底面半徑為4m，在圓柱形倉(cāng)庫(kù)下底面的A處有一只螞蟻，它想吃相對(duì)一側(cè)中點(diǎn)B處的食物，螞蟻爬行的速度是50cm/min，那么螞蟻吃到食物最少需要min．（π取3）10．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線(xiàn)從圓柱高AA1的端點(diǎn)A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．11．一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，它的長(zhǎng)是12dm，寬是4dm，高是3dm，（1）請(qǐng)問(wèn)：長(zhǎng)為12.5dm的鐵棒能放進(jìn)去嗎？（1）如果有﹣只螞蟻要想從D處爬到C處，求爬行的最短路程．專(zhuān)題13勾股定理之螞蟻行程模型綜合應(yīng)用（3大類(lèi)型）解題思路解題思路幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短確定最短路線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【典例分析】【典例1】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）【解答】解：將此圓柱展成平面圖得：∵有一圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm（π≈3），∴AC＝16cm，BC＝BB′＝×8π＝12（cm），∴AB＝＝10（cm）．∴AB＝＝20cm．答：需要爬行的最短路程是20cm．【變式1-1】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【答案】B【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為10cm，則AD＝10×＝5（cm）．又因?yàn)镃D＝AB＝12cm，所以AC＝（cm）．故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是13cm．故選：B．【變式1-2】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【答案】C【解答】解：將圓柱體展開(kāi)，連接DC，圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則DE＝12cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，CD＝＝13（cm）．而走D﹣B﹣C的距離更短，∵BD＝5，BC＝，∴BD+BC≈13．故選：C．【典例2】（2021春?望城區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B距離C點(diǎn)5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離是cm．【答案】25【解答】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故答案為：25【變式2-1】正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【答案】A【解答】解：展開(kāi)正方體的點(diǎn)M所在的面，∵BC的中點(diǎn)為M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故選：A．【變式2-2】有一長(zhǎng)、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm【答案】B【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線(xiàn)中確定最短的路線(xiàn)．（1）展開(kāi)前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展開(kāi)前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展開(kāi)左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；所以最短路徑長(zhǎng)為cm．故選：B．【典例3】如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)長(zhǎng)、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．【變式3】如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線(xiàn)長(zhǎng)度是寸．【答案】25【解答】解：將臺(tái)階展開(kāi)矩形，線(xiàn)段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長(zhǎng)分別為24寸，7寸，由勾股定理得AB＝＝25寸．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B在棱上與點(diǎn)C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．【答案】C【解答】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝25；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；∵25＜5＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故選：C．2．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草，則他們僅僅少走了步路．（假設(shè)2步為1米）【答案】4【解答】解：由勾股定理，得路長(zhǎng)＝＝5（m），少走（3+4﹣5）×2＝4步，故答案為：4．如圖，一座橋橫跨一河，橋長(zhǎng)40m，一艘小船自橋北頭出發(fā)，向正南方駛?cè)?，因水流原因到達(dá)南岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9m，則小船實(shí)際行駛的距離為m．【答案】41【解答】解：根據(jù)題意知，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝9m，在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，所以實(shí)際行駛的路程為AC＝＝41（m）．故答案為：41．4．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是cm．【答案】15【解答】解：由題意可得，當(dāng)展開(kāi)前面和右面時(shí)，最短路線(xiàn)長(zhǎng)是：＝＝15（cm）；當(dāng)展開(kāi)前面和上面時(shí)，最短路線(xiàn)長(zhǎng)是：＝＝7（cm）；當(dāng)展開(kāi)左面和上面時(shí)，最短路線(xiàn)長(zhǎng)是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是15cm，故答案為：15．5．如圖一只螞蟻從長(zhǎng)為5cm、寬為3cm，高是4cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是cm．【答案】【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線(xiàn)中確定最短的路線(xiàn)．（1）展開(kāi)前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；（2）展開(kāi)前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；（3）展開(kāi)左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．所以最短路徑的長(zhǎng)為AB＝（cm）．故答案為：．6．如圖是棱長(zhǎng)為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點(diǎn)，若在B點(diǎn)處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．【答案】【解答】解：將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的面展開(kāi)為矩形，AB為矩形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，∵矩形的長(zhǎng)和寬分別為8cm和4cm，∴AB＝＝cm．故螞蟻沿正方體的最短路程是cm．7．如圖所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用秒鐘．【答案】2.5【解答】解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線(xiàn)中確定最短的路線(xiàn)．（1）展開(kāi)前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展開(kāi)底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路徑長(zhǎng)為5cm，用時(shí)最少：5÷2＝2.5秒．8．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)長(zhǎng)、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2