【贏在中考·黃金八卷】備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷（廣東專用）第五模擬（本卷滿分120分，考試時間為90分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、單選題（共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中只有一個選項是最符合題意的）1．﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C．- D．2．2019年4月10日，人類首張黑洞圖片問世，該黑洞位于室女座一個巨橢圓星系的中心，距離地球萬光年.將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．3．下列立體圖形中，主視圖是三角形的是（

）.A． B． C． D．4．如圖，直線∥，等腰直角的兩個頂點、分別落在直線、上，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．下列計算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x6÷x3＝x3 C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝6x36．如圖，數(shù)軸上的點A、B分別對應(yīng)實數(shù)a、b，下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)>b B．|a|>|b| C．-a<b D．a(chǎn)+b>07．若點P（1﹣2t，t﹣3）位于第三象限，則t的取值范圍是（）A．t＜3 B． C． D．t8．關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣3m＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．根的情況由m的值確定9．如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上剪出一個圓心角為90°的扇形ABC，使點A，B，C在圓周上．將剪下的扇形作為一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑是（

）A．2cm B．12cm C．6cm D．3cm10．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A．B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題（共7小題，每小題4分，共28分）11．分解因式：______．12．如圖，直線，相交于點O，，，則的度數(shù)為__________．13．在一個不透明的盒子里裝有若干個紅球和20個白球，這些球除顏色外其余全部相同，每次從袋子中摸出一球記下顏色后放回，通過多次重復(fù)實驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則袋中紅球大約有________個．14．如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型若扇形的半徑為4，圓心角為，則圓的半徑為______．15．在中，，若，則=______.16．如圖，矩形中，、交于點，、分別為、的中點．若，則的長為__．17．如圖，在中，，點是邊的中點，點在邊上運動，若平分的周長時，則的長是_______．三、解答題（共3小題，每小題6分，共18分）18．計算：+2sin60°﹣|1﹣|．19．先化簡，再求值:（2x＋3）（2x－3）－（x＋2）2＋4（x＋3），其中x＝－1．20．已知，如圖，，，，，求證：．四、解答題（共3小題，每小題8分，共24分）21．為了解某校九年級學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，隨機抽取了該校九年級學(xué)生的10%進(jìn)行測試，將這些學(xué)生的測試成績（x）分為四個等級：優(yōu)秀；良好；及格；不及格，并繪制成以下兩幅統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）在抽取的學(xué)生中不及格人數(shù)所占的百分比是______；（2）計算所抽取學(xué)生測試成績的平均分；（3）若不及格學(xué)生的人數(shù)為2人，請估算出該校九年級學(xué)生中優(yōu)秀等級的人數(shù)．22．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于第二、四象限A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD=4，sin∠AOD=，且點B的坐標(biāo)為(n,-2)．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的E點坐標(biāo)．23．如圖，內(nèi)接于，為直徑，作交于點，延長，交于點，過點作的切線，交于點（1）求證：；（2）如果，，求弦的長．五、解答題（共2小題，每小題10分，共20分）24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于、B兩點，交y軸于點C，其對稱軸為，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接，過點C作交x軸于點Q，連接，求面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點Q，得到新拋物線，點E在新拋物線的對稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點F，使得以A、P、E、F為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是_____；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點，其他條件不變，若、，請?zhí)骄烤€段與線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？（用含、的代數(shù)式表示）【贏在中考·黃金八卷】備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷（廣東專用）第五模擬（本卷滿分120分，考試時間為90分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、單選題（共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中只有一個選項是最符合題意的）1．﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C．- D．【答案】B【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得出答案．【詳解】根據(jù)絕對值的性質(zhì)得：|-3|=3．故選B．【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，需要掌握非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．2．2019年4月10日，人類首張黑洞圖片問世，該黑洞位于室女座一個巨橢圓星系的中心，距離地球萬光年.將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法即可求解.【詳解】5500萬=5.5×107，故選C【點睛】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵是熟知科學(xué)記數(shù)法的表示方法.3．下列立體圖形中，主視圖是三角形的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得圖形的主視圖．【詳解】A、C、D主視圖是矩形，故A、C、D不符合題意；B、主視圖是三角形，故B正確；故選B．【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，圓錐的主視圖是三角形．4．如圖，直線∥，等腰直角的兩個頂點、分別落在直線、上，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，即，再代入即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，．為等腰直角三角形，，．又，．故選：B．【點睛】本題考查了等腰直角三角形以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)找出是解題的關(guān)鍵．5．下列計算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x6÷x3＝x3 C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝6x3【答案】B【分析】A選項：底數(shù)不變，指數(shù)相加；B選項：底數(shù)不變，指數(shù)相減；C選項：根據(jù)“同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變”進(jìn)行計算；D選項：根據(jù)積的乘方（把積中的每一個乘數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘）進(jìn)行計算．【詳解】A選項：x2?x3＝x2+3=x5，計算錯誤，不符合題意；B選項：x6÷x3＝x3，計算正確，符合題意；C選項：x3+x3＝2x6，計算錯誤，不符合題意；D選項：（﹣2x）3＝－8x3，計算錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】考查了同底數(shù)冪乘除法、積的乘方和合并同類項，解題關(guān)鍵是熟記其計算法則．6．如圖，數(shù)軸上的點A、B分別對應(yīng)實數(shù)a、b，下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)>b B．|a|>|b| C．-a<b D．a(chǎn)+b>0【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸確定出a、b的正負(fù)情況以及絕對值的大小，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸，a＜0，b＞0，且|a||b|，A、應(yīng)為a＜b，故本選項錯誤；B、應(yīng)為|a||b|，故本選項正確；C、∵a＜0，b＞0，且|a||b|，∴a+b0，∴-ab，故本選項錯誤；D、應(yīng)該是a+b0，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，有理數(shù)的加法，根據(jù)數(shù)軸確定出a、b的正負(fù)情況以及絕對值的大小，有理數(shù)的加法中和的符號的確定是解題的關(guān)鍵．7．若點P（1﹣2t，t﹣3）位于第三象限，則t的取值范圍是（）A．t＜3 B． C． D．t【答案】C【分析】根據(jù)第三象限的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)列出不等式組，然后求解即可．【詳解】解：∵點P（1-2t，t-3）在第三象限，∴，解不等式①得，t＞，解不等式②得，t＜3，所以，不等式組的解集是＜t＜3．故選：C．【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征以及解不等式，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．8．關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣3m＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．根的情況由m的值確定【答案】C【分析】找出方程二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，以及常數(shù)項，計算出根的判別式的值，判斷即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣3m＝0，∵△＝（m﹣6）2﹣4×1×（﹣3m）＝m2﹣12m+36+12m＝m2+36＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點睛】此題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式表示的意義是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上剪出一個圓心角為90°的扇形ABC，使點A，B，C在圓周上．將剪下的扇形作為一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑是（

）A．2cm B．12cm C．6cm D．3cm【答案】D【分析】由圓的直徑為，，求出AB的長度，用弧長公式可求得的長度，圓錐的底面圓的周長是的長度列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：的長度故選：【點睛】本題考查的是扇形的弧長的計算，圓錐的底面圓的周長與扇形弧長的關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖像開口向下和對稱軸可知，由拋物線交y的正半軸，可知，由當(dāng)時，，可知，然后利用排除法即可得出正確答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，∴，∵，∴，∵拋物線與y軸相交于正半軸，∴，∴直線經(jīng)過一、二、四象限，由圖像可知，當(dāng)x=1時，，∴，∴反比例函數(shù)的圖像必在二、四象限，故A、B、D錯誤，C正確；故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題（共7小題，每小題4分，共28分）11．分解因式：______．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．12．如圖，直線，相交于點O，，，則的度數(shù)為__________．【答案】110【分析】先根據(jù)對頂角相等求出∠DOB，進(jìn)而結(jié)合即可求出∠EOB．【詳解】解：∵∠1＝35°，∴∠DOB＝∠1＝35°，又∵∠2＝75°，∴∠EOB＝∠2+∠DOB＝110°．故答案為：110．【點睛】本題考查了角的計算以及對頂角相等的性質(zhì)，比較簡單．13．在一個不透明的盒子里裝有若干個紅球和20個白球，這些球除顏色外其余全部相同，每次從袋子中摸出一球記下顏色后放回，通過多次重復(fù)實驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則袋中紅球大約有________個．【答案】30【分析】設(shè)袋中紅球有x個，根據(jù)題意用紅球數(shù)除以白球和紅球的總數(shù)等于紅球的頻率列出方程即可求出紅球數(shù)．【詳解】解：設(shè)袋中紅球有x個，根據(jù)題意，得：，解并檢驗得：x=30．所以袋中紅球有30個．故答案為：30．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關(guān)鍵是用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值14．如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型若扇形的半徑為4，圓心角為，則圓的半徑為______．【答案】1【分析】利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，根據(jù)弧長公式計算．【詳解】解：扇形的弧長是：，設(shè)圓的半徑為r，則底面圓的周長是，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長則得到：，則，故答案為1【點睛】本題考查了有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．15．在中，，若，則=______.【答案】【分析】根據(jù)同角的正切，可得正弦與余弦的關(guān)系，根據(jù)同角的正弦的平方加它的余弦的平方等于1，可得的值，再根據(jù)一個角余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：，．又，．、互為余角，，故答案為：．【點睛】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，利用了同角三角函數(shù)的關(guān)系，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：一個角余弦等于它余角的正弦．16．如圖，矩形中，、交于點，、分別為、的中點．若，則的長為__．【答案】16.【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出長度，再依據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行求解問題．【詳解】、分別為、的中點，，四邊形是矩形，，故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，解題的關(guān)鍵是找到線段間的倍分關(guān)系．17．如圖，在中，，點是邊的中點，點在邊上運動，若平分的周長時，則的長是_______．【答案】【分析】延長CA至M，使AM=AB，連接BM，作AN⊥BM于N，由DE平分△ABC的周長，又CD=DB，得到ME=EC，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得DE=BM，再求出BM的長即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長CA至M，使AM=AB，連接BM，作AN⊥BM于N，∵DE平分△ABC的周長，CD=DB，∴ME=EC，∴DE=BM，∵∠BAC=60°，∴∠BAM=120°，∵AM=AB，AN⊥BM，∴∠BAN=60°，BN=MN，∴∠ABN=30°，∴AN=AB=1，∴BN=，∴BM=2，∴DE=，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，作出輔助線綜合運用基本性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共3小題，每小題6分，共18分）18．計算：+2sin60°﹣|1﹣|．【答案】2【分析】直接利用特殊的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡的出答案．【詳解】解：+2sin60°﹣|1﹣|＝1+2×－（﹣1）＝1+－+1＝2【點睛】此題考查了化簡絕對值，零指數(shù)冪的運算和特殊的三角函數(shù)值，正確化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵．19．先化簡，再求值:（2x＋3）（2x－3）－（x＋2）2＋4（x＋3），其中x＝－1．【答案】3x2-1，2【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、單項式乘多項式法則展開，再去括號、合并同類項即可化簡原式，繼而將x的值代入計算可得答案．【詳解】解：原式=4x2-9-（x2+4x+4）+4x+12=4x2-9-x2-4x-4+4x+12=3x2-1，把x=-1代入，原式=3×1-1=2．【點睛】本題主要考查整式的混合運算-化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式、完全平方公式、單項式乘多項式法則、去括號法則、合并同類項法則．20．已知，如圖，，，，，求證：．【答案】見解析【分析】由∠ECB=70°得∠ACB=110°，再由AB∥DE，證得∠CAB=∠E，再結(jié)合已知條件AB=AE，可利用AAS證得△ABC≌△EAD，即可解答．【詳解】證明：∵∠ECB＝70°，∴∠ACB＝110°，又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D，∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，在△ABC和△EAD中，

∴△ABC≌△EAD，∴AC=ED.【點睛】此題考查全等三角形判定與性質(zhì)，在掌握判定定理是解題關(guān)鍵．四、解答題（共3小題，每小題8分，共24分）21．為了解某校九年級學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，隨機抽取了該校九年級學(xué)生的10%進(jìn)行測試，將這些學(xué)生的測試成績（x）分為四個等級：優(yōu)秀；良好；及格；不及格，并繪制成以下兩幅統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）在抽取的學(xué)生中不及格人數(shù)所占的百分比是______；（2）計算所抽取學(xué)生測試成績的平均分；（3）若不及格學(xué)生的人數(shù)為2人，請估算出該校九年級學(xué)生中優(yōu)秀等級的人數(shù)．【答案】（1）5%；（2）所抽取學(xué)生測試成績的平均分79.8（分）；（3）估算出該校九年級學(xué)生中優(yōu)秀等級的人數(shù)為200人．【分析】（1）用100%減去優(yōu)秀，良好，和及格部分對應(yīng)的百分比；（2）利用加權(quán)平均數(shù)的方法計算即可；（3）先算出抽取的總?cè)藬?shù)，再算出抽取人數(shù)中優(yōu)秀的人數(shù)，再除以10%可得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可得：100%-50%-20%-25%=5%，∴在抽取的學(xué)生中不及格人數(shù)所占的百分比是5%；（2）由題意可得：90×50%+78×25%+66×20%+42×5%=79.8（分），∴所抽取學(xué)生測試成績的平均分為79.8分；（3）∵不及格學(xué)生的人數(shù)為2人，∴2÷5%×50%÷10%=200（人），∴該校九年級學(xué)生中優(yōu)秀等級的人數(shù)為200人.【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，加權(quán)平均數(shù)，樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是從圖表中獲取信息，正確進(jìn)行計算.22．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于第二、四象限A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD=4，sin∠AOD=，且點B的坐標(biāo)為(n,-2)．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的E點坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）當(dāng)點E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)時，△AOE是等腰三角形．【分析】（1）由垂直的定義及銳角三角函數(shù)定義求出AO的長，利用勾股定理求出OD的長，確定出A坐標(biāo)，進(jìn)而求出m的值確定出反比例解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例解析式求出n的值，確定出B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）分類討論：當(dāng)AO為等腰三角形腰與底時，求出點E坐標(biāo)即可．【詳解】（1）一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于與，且軸，，在中，，，，即，根據(jù)勾股定理得：，，代入反比例解析式得：，即，把坐標(biāo)代入得：，即，代入一次函數(shù)解析式得：，解得：，即；（2）當(dāng)，即，；當(dāng)時，得到，即；當(dāng)時，由，，得到直線解析式為，中點坐標(biāo)為，垂直平分線方程為，令，得到，即，綜上，當(dāng)點或或或時，是等腰三角形．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．如圖，內(nèi)接于，為直徑，作交于點，延長，交于點，過點作的切線，交于點（1）求證：；（2）如果，，求弦的長．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)可證得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE，則結(jié)論得證；（2）先根據(jù)勾股定理求出OE，OD，AD的長，證明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例線段即可求出AC的長．【詳解】（1）證明：連接，∵與相切，是的半徑，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴.∴，∴.（2）∵為直徑，∴.在中，，又，∴，又∵，∴，∴.∵，∴.在中，，，∴.∴.在中，.在和中，∵，∴，∴，即，∴.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．五、解答題（共2小題，每小題10分，共20分）24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于、B兩點，交y軸于點C，其對稱軸為，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接，過點C作交x軸于點Q，連接，求面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點Q，得到新拋物線，點E在新拋物線的對稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點F，使得以A、P、E、F為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)面積的最大值為4，此時P的坐標(biāo)為(3)存在，點F的坐標(biāo)為，【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入得到，再根據(jù)拋物線的對稱軸，得出a和b的關(guān)系式，即可求解；（2）連接，過P點作平行于y軸的直線交于H點，根據(jù)可得，從而求面積的最大值即可，通過設(shè)P的坐標(biāo)，得到H的坐標(biāo)，從而建立關(guān)于面積的二次函數(shù)表達(dá)式，最終結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）通過（2）的結(jié)論首先確定出平移后拋物線的解析式，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，運用勾股定理進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）將，代入得：，∵拋物線對稱軸為對稱軸為，∴，即，把代入得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖所示，連接PC，PB，BC，過P點作平行于y軸的直線交BC于H點，∵，∴，即求面積的最大值即可，把代入得，∴C坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的解析式為：，將，代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為：，設(shè)，則，∴，∴，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時，取得最大值為4，將代入，得到此時P的坐標(biāo)為，∴面積的最大值為4，此時P的坐標(biāo)為；（3）存在，理由如下：由（2）可知，當(dāng)面積的最大值為4時，P的坐標(biāo)為，∵，∴，則，∵原拋物線解析式為：，∴設(shè)向右平移后的解析式為：，將代入求得：（舍負(fù)值），∴平移后拋物線的解析式為：，其對稱軸為直線，∴設(shè)，，則結(jié)合A、P的坐標(biāo)可得：，，，①當(dāng)時，如圖所示，此時根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，即：，此時根據(jù)A、P、E、F四點的相對位置關(guān)系可得：，解得：，∴；②當(dāng)時，如圖所示，此時根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，即：，此時根據(jù)A、P、E、F四點的相對位置關(guān)系可得：，解得：，∴；③當(dāng)AE⊥PE時，根據(jù)勾股定理得：，即：，整理得：，∵，∴上述方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，即不存在的情況，綜上所述，所有可能的點F的坐標(biāo)為，．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合運用，以及矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得拋物線的解析式，并靈活根據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．25．如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是_____；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點，其他條件不變，