高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.1兩角差的余弦函數(shù)教案北師大版必修4學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：兩角差的余弦函數(shù)

2.教學(xué)年級和班級：高中一年級數(shù)學(xué)班

3.授課時間：第4學(xué)時

4.教學(xué)時數(shù)：45分鐘

課程設(shè)計：

【導(dǎo)入】（5分鐘）

1.復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容：兩角和的余弦公式。

2.提問：余弦公式在三角形中的應(yīng)用。

【新課導(dǎo)入】（10分鐘）

1.講解兩角差的余弦公式。

2.通過動態(tài)幾何軟件演示兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程。

【公式推導(dǎo)與例題】（15分鐘）

1.分步驟引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩角差的余弦公式。

2.推導(dǎo)過程中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號的準(zhǔn)確運(yùn)用。

3.選取典型例題，應(yīng)用兩角差的余弦公式求解。

【課堂練習(xí)】（10分鐘）

1.布置練習(xí)題，要求學(xué)生在限定時間內(nèi)完成。

2.老師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問。

【總結(jié)與拓展】（5分鐘）

1.總結(jié)兩角差的余弦公式的應(yīng)用。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考：如何將兩角差的余弦公式與其他三角函數(shù)公式相結(jié)合解決更復(fù)雜的問題？

【課后作業(yè)】（5分鐘）

1.布置課后作業(yè)，鞏固兩角差的余弦公式。

2.要求學(xué)生獨(dú)立完成，并做好筆記。

【板書設(shè)計】

1.兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程。

2.典型例題及解答步驟。

3.課后作業(yè)及注意事項(xiàng)。

【教學(xué)反思】

本節(jié)課結(jié)束后，教師應(yīng)進(jìn)行教學(xué)反思，針對學(xué)生的掌握情況，調(diào)整教學(xué)方法和節(jié)奏，以提高教學(xué)效果。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下學(xué)科核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算。通過兩角差的余弦公式推導(dǎo)和應(yīng)用，提高學(xué)生邏輯推理能力，使學(xué)生能夠理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行推理和證明；在解決實(shí)際問題時，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用三角函數(shù)知識進(jìn)行求解；加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練掌握兩角差的余弦公式，并能夠準(zhǔn)確快速地解決相關(guān)問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠在實(shí)際問題中運(yùn)用三角函數(shù)知識，培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題的能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中一年級數(shù)學(xué)班的學(xué)生，他們在知識、能力和素質(zhì)方面具備以下特點(diǎn)：

1.知識層面：

-學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，包括正弦、余弦和正切函數(shù)的定義和圖像。

-學(xué)生掌握了特殊角的三角函數(shù)值，并能夠運(yùn)用這些知識解決一些簡單問題。

-學(xué)生在上一節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個角和的余弦公式，為本節(jié)課學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式奠定了基礎(chǔ)。

2.能力層面：

-學(xué)生具備一定的邏輯思維能力，但推理和證明能力尚需加強(qiáng)。

-學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面有一定的經(jīng)驗(yàn)，但將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力有待提高。

-學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力參差不齊，部分學(xué)生對復(fù)雜公式的運(yùn)用和計算尚有困難。

3.素質(zhì)層面：

-學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和動機(jī)存在差異，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)持積極態(tài)度，而另一部分學(xué)生可能感到壓力或挫敗。

-學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力有待培養(yǎng)，他們需要更多的實(shí)踐機(jī)會和指導(dǎo)來提高這些能力。

-學(xué)生在解決問題的過程中，需要培養(yǎng)耐心、細(xì)心和堅持的品質(zhì)。

4.行為習(xí)慣：

-學(xué)生在課堂上的注意力可能不集中，部分學(xué)生容易分心，需要教師通過豐富的教學(xué)手段和方法來吸引他們的注意力。

-學(xué)生在完成練習(xí)和作業(yè)時可能存在拖延現(xiàn)象，需要教師通過合理的任務(wù)分配和激勵機(jī)制來改善。

-學(xué)生在小組討論和合作學(xué)習(xí)時，可能存在依賴他人或不愿意分享的問題，需要教師引導(dǎo)和培養(yǎng)良好的團(tuán)隊(duì)協(xié)作習(xí)慣。

對課程學(xué)習(xí)的影響：

-學(xué)生的知識基礎(chǔ)和能力水平?jīng)Q定了本節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn)和進(jìn)度，教師需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。

-學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和興趣將直接影響他們對本節(jié)課內(nèi)容的接受程度，教師需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動力。

-學(xué)生的行為習(xí)慣會影響課堂氛圍和學(xué)習(xí)效果，教師需要通過有效的課堂管理和教學(xué)設(shè)計來優(yōu)化學(xué)習(xí)環(huán)境。

-學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力對深化理解和應(yīng)用知識至關(guān)重要，教師需要提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和支持，幫助學(xué)生提高這些能力。教學(xué)資源1.硬件資源：

-投影儀

-電子白板

-電腦

-動態(tài)幾何軟件

-學(xué)生平板或筆記本

2.軟件資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)軟件

-動畫演示軟件

-電子教案

-課堂練習(xí)題庫

-課后作業(yè)管理系統(tǒng)

3.課程平臺：

-學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)

-班級學(xué)習(xí)交流群

4.信息化資源：

-電子教材

-在線教育資源（不含網(wǎng)址）

-電子版教案和學(xué)案

-三角函數(shù)公式庫

5.教學(xué)手段：

-探究式教學(xué)

-情境教學(xué)

-互動教學(xué)

-分組討論

-課后線上輔導(dǎo)

6.輔助教具：

-三角板

-直尺

-圓規(guī)

-彩色粉筆

7.教學(xué)評價工具：

-課堂提問

-課堂練習(xí)

-課后作業(yè)

-小測驗(yàn)

-學(xué)生學(xué)習(xí)反饋表教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：復(fù)習(xí)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識，激發(fā)學(xué)生對新知識的興趣。

過程：通過提問方式復(fù)習(xí)上節(jié)課的兩角和的余弦公式，引導(dǎo)學(xué)生思考余弦函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用。隨后，提出本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的兩角差的余弦公式，并展示一些實(shí)際生活中的例子，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性和趣味性。

2.公式推導(dǎo)與講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生理解并掌握兩角差的余弦公式。

過程：分步驟引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩角差的余弦公式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號的準(zhǔn)確運(yùn)用。通過動態(tài)幾何軟件演示推導(dǎo)過程，使學(xué)生更直觀地理解公式。在此過程中，教師進(jìn)行詳細(xì)講解，確保學(xué)生能夠跟上教學(xué)進(jìn)度。

3.例題講解與練習(xí)（20分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式解決實(shí)際問題的能力。

過程：選取具有代表性的例題，逐步講解解題步驟，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點(diǎn)和易錯點(diǎn)。然后，布置課堂練習(xí)，讓學(xué)生在限定時間內(nèi)獨(dú)立完成。在此過程中，教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)能力和邏輯思維能力。

過程：將學(xué)生分成小組，針對課堂練習(xí)中的難題進(jìn)行討論。鼓勵學(xué)生分享解題思路，互相學(xué)習(xí)，共同解決問題。教師觀察各小組討論情況，適時給予提示和指導(dǎo)。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生的表達(dá)能力和自信心。

過程：邀請各小組代表展示解題過程和答案，其他學(xué)生認(rèn)真傾聽。教師對展示結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評，指出優(yōu)點(diǎn)和不足，對共性問題和易錯點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納能力。

過程：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。同時，提醒學(xué)生注意課后復(fù)習(xí)，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。在此環(huán)節(jié)，鼓勵學(xué)生提出疑問，教師給予解答。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-推薦閱讀：《數(shù)學(xué)史上的那些事兒：三角函數(shù)的故事》，了解三角函數(shù)的起源和發(fā)展。

-相關(guān)視頻：尋找與三角函數(shù)相關(guān)的教育視頻，如“三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用”、“動態(tài)幾何軟件演示三角函數(shù)”等，幫助學(xué)生更直觀地理解三角函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。

-學(xué)術(shù)文章：挑選一些關(guān)于三角函數(shù)在教育領(lǐng)域的研究文章，如“三角函數(shù)教學(xué)策略研究”、“基于問題解決的高中三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計”等，為教師提供教學(xué)參考。

-在線教育資源：在不提供網(wǎng)址的前提下，建議學(xué)生利用學(xué)?；蚣彝タ稍L問的在線教育資源，查找更多三角函數(shù)的學(xué)習(xí)資料和練習(xí)題。

2.拓展建議：

-鼓勵學(xué)生在課后通過查閱書籍、觀看視頻、閱讀文章等方式，深入了解三角函數(shù)的歷史背景、實(shí)際應(yīng)用和學(xué)術(shù)研究。

-建議學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、Desmos等）進(jìn)行三角函數(shù)的圖形探索，通過動態(tài)變化參數(shù)來觀察函數(shù)圖像的變化，增強(qiáng)對三角函數(shù)圖形的理解。

-鼓勵學(xué)生嘗試解決一些綜合性的問題，例如將三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識（如解析幾何、概率統(tǒng)計等）相結(jié)合的問題，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

-推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽或研究小組，通過解決更具挑戰(zhàn)性的問題，提升自己的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。

-教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，選擇與三角函數(shù)相關(guān)的課題，如“三角函數(shù)在音樂中的應(yīng)用”、“三角函數(shù)與地震預(yù)測”等，通過合作研究，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和團(tuán)隊(duì)合作能力。

-建議學(xué)生參與社區(qū)或?qū)W校的數(shù)學(xué)活動，如數(shù)學(xué)講座、數(shù)學(xué)沙龍等，與同學(xué)和老師交流三角函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和心得，拓寬視野。

-教師可以向?qū)W生推薦一些數(shù)學(xué)網(wǎng)站或論壇，以便學(xué)生能夠在線提問、討論和分享三角函數(shù)相關(guān)的學(xué)習(xí)資源，促進(jìn)學(xué)生之間的互動交流。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置：

（1）基礎(chǔ)鞏固題：

-根據(jù)兩角差的余弦公式，計算以下三角函數(shù)的值：

sin(π/3-π/6),cos(π/4-π/12),tan(5π/6-π/4)。

-利用兩角差的余弦公式，證明以下恒等式：

cos(π/2-A)=sinA,cos(π-A)=-cosA。

-在直角三角形中，已知一角和一邊的長度，求另外兩個角的余弦值。

（2）綜合應(yīng)用題：

-在一個等腰三角形中，底角為30°，求頂角的余弦值。

-一個建筑物的影子長度為10米，當(dāng)太陽高度角為45°時，求建筑物的高度。

-已知一個三角形的兩個角分別為45°和60°，且斜邊長度為10，求第三邊的長度。

（3）拓展提高題：

-在一個圓中，已知半徑和圓心角，求扇形的面積。

-證明：在任意三角形中，cosA+cosB+cosC=1-(a^2+b^2+c^2)/(2ab+2bc+2ca)，其中a、b、c分別為三角形的邊長，A、B、C分別為對應(yīng)的角度。

-探究：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,y2)的坐標(biāo)已知，求線段AB的斜率和長度。

2.作業(yè)反饋：

（1）批改作業(yè)：

-教師在收到學(xué)生作業(yè)后，應(yīng)及時進(jìn)行批改，并給出分?jǐn)?shù)或評價。

-針對每個學(xué)生的作業(yè)，指出其錯誤類型和原因，如計算錯誤、公式使用錯誤、解題思路錯誤等。

（2）反饋建議：

-對于基礎(chǔ)鞏固題，針對學(xué)生的錯誤，建議學(xué)生加強(qiáng)對基本公式和概念的復(fù)習(xí)，提高計算準(zhǔn)確性。

-對于綜合應(yīng)用題，教師應(yīng)指出學(xué)生在解題過程中的不足，如分析問題、建立數(shù)學(xué)模型等方面的不足，并給出改進(jìn)建議。

-對于拓展提高題，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生積極參與，針對學(xué)生的解答，給出提高思維能力和解題技巧的建議。

（3）個性化指導(dǎo)：

-對于作業(yè)完成情況較好的學(xué)生，教師可適當(dāng)提高作業(yè)難度，鼓勵他們挑戰(zhàn)更高層次的問題。

-對于作業(yè)完成情況較差的學(xué)生，教師應(yīng)給予更多關(guān)注，了解他們在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，并提供針對性的指導(dǎo)。

（4）持續(xù)跟蹤：

-教師應(yīng)持續(xù)關(guān)注學(xué)生的作業(yè)完成情況，了解他們在知識掌握和能力提升方面的進(jìn)步。

-定期組織作業(yè)講評，讓學(xué)生了解自己的作業(yè)情況，互相學(xué)習(xí)，共同提高。板書設(shè)計1.重點(diǎn)知識：

①兩角差的余弦公式

②三角函數(shù)的應(yīng)用

③數(shù)學(xué)符號的準(zhǔn)確運(yùn)用

④數(shù)學(xué)推理與證明

2.重點(diǎn)詞句：

①兩角差的余弦公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

②三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

③數(shù)學(xué)符號的準(zhǔn)確運(yùn)用：sin、cos、tan、π、θ

④數(shù)學(xué)推理與證明：公式推導(dǎo)、邏輯推理、證明方法

3.板書設(shè)計：

①板書標(biāo)題：兩角差的余弦函數(shù)

②知識框架：兩角差的余弦公式、三角函數(shù)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)符號的準(zhǔn)確運(yùn)用、數(shù)學(xué)推理與證明

③重點(diǎn)公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

④典型例題：求解具體角度的余弦值，求解實(shí)際問題的余弦值

⑤解題步驟：分析問題、建立模型、應(yīng)用公式、求解答案

⑥數(shù)學(xué)符號：sin、cos、tan、π、θ

⑦推理與證明：公式推導(dǎo)過程、邏輯推理方法、證明步驟

板書設(shè)計應(yīng)注重條理性和重點(diǎn)突出，通過清晰的框架和關(guān)鍵詞句，幫助學(xué)生抓住課程的核心內(nèi)容。同時，結(jié)合具體例題和解題步驟，使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用兩角差的余弦公式。此外，板書設(shè)計還應(yīng)注重藝術(shù)性和趣味性，通過適當(dāng)?shù)膱D表、顏色和布局，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。教學(xué)反思與改進(jìn)在本次教學(xué)結(jié)束后，我計劃設(shè)計一個反思活動來評估教學(xué)效果并識別需要改進(jìn)的地方。這個反思活動將包括以下幾個方面：

首先，我會在課后收集學(xué)生的反饋，了解他們對兩角差的余弦公式的理解和應(yīng)用程度。我將通過課堂提問、課后作業(yè)和個別交流的方式，了解學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的掌握情況，特別是他們在應(yīng)用兩角差的余弦公式解決實(shí)際問題時的困難和困惑。

其次，我會觀察學(xué)生在課堂上的參與度和學(xué)習(xí)態(tài)度。我會關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、合作精神以及他們在小組討論和課堂展示中的表現(xiàn)。通過觀察學(xué)生的參與度，我可以評估他們在學(xué)習(xí)過程中的積極性和主動性，以及他們對三角函數(shù)知識的興趣和動機(jī)。

此外，我還會評估自己在教學(xué)過程中的表現(xiàn)。我會反思自己的教學(xué)方法和教學(xué)手段的有效性，以及我在引導(dǎo)學(xué)生思考和解決問題方面的效果。我會思考自己是否能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是否能夠提供充分的指導(dǎo)和幫助，以及是否能夠有效地組織課堂活動和促進(jìn)學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)。

根據(jù)反思的結(jié)果，我將制定相應(yīng)的改進(jìn)措施。如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生對兩角差的余弦公式的理解和應(yīng)用存在困難，我會考慮采取更多的實(shí)例和練習(xí)來加強(qiáng)學(xué)生的理解和實(shí)踐能力。如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在課堂參與度和學(xué)習(xí)態(tài)度方面存在問題，我會考慮采取更多的激勵措施和合作學(xué)習(xí)活動來提高學(xué)生的積極性和主動性。

如果發(fā)現(xiàn)自己在教學(xué)方法和手段方面需要改進(jìn)，我會考慮尋求更多的教學(xué)資源和方法，以提高教學(xué)效果。我會嘗試更多的互動教學(xué)和探究式教學(xué)，以及利用信息技術(shù)和多媒體資源來豐富教學(xué)手段。重點(diǎn)題型整理（1）題型1：求兩角差的余弦值

題目：已知角A為60°，角B為45°，求cos(π/3-π/4)的值。

解答：cos(π/3-π/4)=cosπ/3cosπ/4+sinπ/3sinπ/4

=(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(1/2)

=√6/4+1/4

=(√6+1)/4

（2）題型2：求直角三角形的余弦值

題目：在直角三角形中，∠A為30°，求cos∠B的值。

解答：