第05講一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形【應(yīng)對方法與策略】一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)900，或者問題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問題得到解決?！局R總結(jié)】過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。過等腰直角三角形的另外兩個頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會有兩個三角形全等（AAS）常見的兩種圖形：圖1圖2【多題一解】1．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求證：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的長．2．（2022?東港區(qū)校級一模）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點(diǎn)A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上的三個頂點(diǎn)含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．（2）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點(diǎn)C到AB邊的距離．（3）如圖4，在?ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．3．（2022?齊齊哈爾三模）綜合與實踐數(shù)學(xué)實踐課堂上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們從一道題入手，開始研究，并對此題做適當(dāng)變式，嘗試舉一反三，開闊學(xué)生思維．（1）原型題：如圖1，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，AP＝PC，AP⊥PC，則△ABP≌△，請你說明理由．（2）利用結(jié)論，直接應(yīng)用：如圖2，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長分別為a、b、c，A、B、N、E、F五點(diǎn)在同一條直線上，則△CBN≌△，c＝（用含a、b的式子表示）．如圖3，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2，CD＝4，以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，且∠AOD＝90°，則圓心O到弦AD的距離為．（3）弱化條件，變化引申：如圖4，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G，連接FG，則△AMF與△BGM的關(guān)系為：，若，AF＝3，則FG＝．4．（2022?湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B、C分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點(diǎn)H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．5．（2022?沈河區(qū)校級開學(xué)）在△ABC中，AB＝AC．（1）在圖（a）中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，∠ADE＝∠B＝60°．求證：BD?CD＝AB?CE．（2）在圖（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于點(diǎn)F，若CD＝2BD，求的值．（3）在圖（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于點(diǎn)E，若AD＝2，CE＝，請直接寫出BE的長度．6．（2022?信陽模擬）在直線m上依次取互不重合的三個點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．7．（2021?平房區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，OA＝2，△AOB的面積為2．（1）如圖1，求直線AB的解析式．（2）如圖2，線段OA上有一點(diǎn)C，直線BC為y＝kx﹣2k（k＜0），AD⊥y軸，將BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，交AD于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（用含k的式子表示）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OD，交直線BC于點(diǎn)E，若3∠ABC﹣∠BDO＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【一題多解】1．（2022?泰州）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．點(diǎn)B以1個單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動，矩形ABCD隨之運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒．（1）如圖②，當(dāng)t＝2.5時，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度；（2）在點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交時，設(shè)這兩個交點(diǎn)為G、H．連接OG、OH，若∠GOH為直角，求此時t的值．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝，D為拋物線頂點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)E在線段BD上方拋物線上運(yùn)動（不含端點(diǎn)B、D），求S△EDB的最大值及此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線水平向右平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，M為平移后的拋物線的對稱軸直線l上一動點(diǎn)，將線段AC沿直線BC平移，平移后的線段記為A′C′（線段A'C′始終在直線l左側(cè)），是否存在以A′、C′、M為頂點(diǎn)的等腰直角△A'C′M？若存在，請寫出滿足要求的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出其中一種結(jié)果的求解過程，若不存在，請說明理由．3．（2022?撫順縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長線于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2021?金華二模）如圖，平