專題08相似三角形重要模型-一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期中）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線I，CE上直線l，垂足分別為D、E．求證：＝k．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2，將（1）中的條件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，在ABC中，沿ABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．①求證：I是EG的中點(diǎn)．②直接寫出線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）見解析（2）結(jié)論還成立，證明見解析（3）①見解析②BC=AI【分析】（1）由條件可證明△ABD∽△CAE，可得=＝k；（2）由條件可知∠BAD＋∠CAE＝180°?α，且∠DBA＋∠BAD＝180°?α，可得∠DBA＝∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD∽△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）①過點(diǎn)G作GMAE交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EM，證明△ABC∽△GMA，再得到四邊形AGME是平行四邊形，故可求解；②由①得到BC=AM，再根據(jù)四邊形AGME是平行四邊形得到BC=AI，故可求解．【詳解】（1）如圖1，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，∴△ADB∽△CEA，∴=＝k；（2）成立，證明如下：如圖2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°?α，∴∠DBA＝∠CAE，∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA∴△ADB∽△CEA，∴=＝k；（3）①過點(diǎn)G作GMAE交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EM∵四邊形AGFC是矩形，∴∠GAC=90°又AH⊥BC∴∠AHC=90°∴∠5+∠CAH=∠4+∠CAH=90°∴∠5=∠4∵∠BDE=∠AHB=90°∴∠2+∠BAH=∠1+∠BAH=90°∴∠2=∠1又GMAE∴∠3=∠2∴∠3=∠1∴△ABC∽△GMA∴又∵∴∴GM=AE又∵GMAE∴四邊形AGME是平行四邊形∴EI=IG故I為EG的中點(diǎn)；②由①知∴BC=AM∵四邊形AGME是平行四邊形∴AI=IM∴AI=AM∴BC=AI∴線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系為BC=AI故答案為：BC=AI．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判斷與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相似三角形，列出比例式求解．例4．（2022·四川·一模）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：（1）如圖1，已知：在△ABC中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）老師鼓勵(lì)學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情形．于是，學(xué)習(xí)小組又研究以下問題：如圖2，△ABC中，．將一把三角尺中30°角頂點(diǎn)P放在BC邊上，當(dāng)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，三角尺中30°角的一條邊始終過點(diǎn)A，另一條邊交AC邊于點(diǎn)Q，P、Q不與三角形頂點(diǎn)重合．設(shè)．當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，取何值總有△ABP∽△PCQ？當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，取何值總有△ABP∽△QCP？（3）試探索有無可能使△ABP、△QPC、△ABC兩兩相似？若可能，寫出所有、的值（不寫過程）；若不可能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；證明見解析；（2）；；（3）可能；，或，．【分析】（1）證明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD，AD=CE，則可得出結(jié)論；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①當(dāng)α=30°，β=30°時(shí)，則∠2=∠B=α=30°，即可求解；②當(dāng)β=75°，α=52.5°時(shí)，同理可解．【詳解】解：（1）如圖1，∵，∴，∴，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴，，∴；（2）在△ABP中，，∴，同理可得：；由或，即，解得，則△ABP∽△PCQ；∴當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，時(shí)，總有△ABP∽△PCQ；由或，同理可得：．∴當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，總有△ABP∽△QCP；（3）可能．①當(dāng)，時(shí)，則，則△ABP∽△PCQ∽△BCA；②當(dāng)，時(shí)，同理可得：，，∴△ABP∽△CQP∽△BCA．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請(qǐng)你說明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請(qǐng)你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫出的長(zhǎng)．

【答案】（1）理由見解析；（2）；（3）長(zhǎng)為3或．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；（2）過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出，，從而確定N點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴又∵∴∴∵．∴（2）如圖，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過、作軸，軸由（1）得

∴∵坐標(biāo)

∴，∵

∴解得：，

∴設(shè)直線表達(dá)式為，代入，得，解得，∴直線表達(dá)式為（3）解：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2，∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH?CH，∴（x-2）2=x（3-x），∴x=或（舍棄），∴BE=，綜上所述，當(dāng)△PDC是直角三角形時(shí)，BE的值為3或．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例6．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)相似，證明見解析(3)存在，【分析】(1)由題意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，據(jù)此證得結(jié)論；(2)根據(jù)題意可證得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，據(jù)此即可證得△AEF與△ECF相似；(3)假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根據(jù)題意可知此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．【詳解】（1）證明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF與△BFC相似．理由：假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即，解得，．∴存在使得△AEF與△BFC相似．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．例7．（2023·江蘇南京·校考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】(1)如圖，在正方形中，，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，若，則的值為___________；(2)如圖，在矩形中，，，是上的一點(diǎn)，連接，，若，則的值為___________；【類比探究】(3)如圖，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，過作的垂線交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，求證：；【拓展延伸】(4)如圖4，在中，，，將沿翻折，落在處，得到，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交于，垂足為，連接．若，則的最小值為___________．【答案】(1)(2)(3)見解析．(4)【分析】（1）可證明，即可得到答案．（2）可證明，即可得到答案．（3）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，可得到，然后證明，可得，問題即可得證．（4）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，取以的中點(diǎn)，連接．可先證，得到的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得，，的長(zhǎng)度．根據(jù)題意可知，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度為半徑的圓上，可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即可求得答案．【詳解】（1）解：四邊形為正方形，，．．，．．在和中，．．．故答案為：．（2）解：四邊形為長(zhǎng)方形，．，．．又，．．故答案為：．（3）解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)．

由題意知四邊形為矩形，，．．，．．又，．又，．．．．（4）解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，取以的中點(diǎn)為，連接，連接．

由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知，.，，．又，．又，．．．．．．．根據(jù)題意可知，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度為半徑的圓上，且．,即，當(dāng)時(shí)，取得最小值．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)等，牢記全等三角形的判定定理及性質(zhì)、相似三角形的判定定理及性質(zhì)、勾股定理及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯(cuò)誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯(cuò)誤，

如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長(zhǎng)為．【答案】1或2【分析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】設(shè)BP=x，則PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的長(zhǎng)為1或2，故答案為：1或2【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=，△CEF面積的最小值是．【答案】215【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，因?yàn)镚N為△ABE的中位線，故G的運(yùn)動(dòng)路徑為線段MN；過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則△FEH∽△EBA，設(shè)AE=x，可得出△CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．【詳解】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，∵E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)，G是BE的中點(diǎn)∴當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí)，BE與AB重合，G與AB的中點(diǎn)N重合，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BE與BD重合，G與BD的中點(diǎn)M重合，∴E在從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，MN為△ABE的中位線，∴．故G的運(yùn)動(dòng)路徑=2，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴為的中點(diǎn)，∴設(shè)AE=x，∵AB∴HF

∴當(dāng)時(shí)，△CEF面積的最小值故答案為：2，15．【點(diǎn)睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立△CEF面積與AE長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊上，，同時(shí)平分和，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，同時(shí)平分和，，，在與中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，將沿對(duì)折，點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，與對(duì)角線交于點(diǎn)，連結(jié)．若，．則．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠BCM=∠BFM，BC=BF，再由FM∥CD，可得∠BFM=∠ABF，從而得△ABF∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)求得AB，進(jìn)而由勾股定理可求解．【詳解】解：四邊形是矩形，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥CD，，F(xiàn)M∥AB，∠BFM=∠ABF，由折疊的性質(zhì)可得：∠BCM=∠BFM，BC=BF=4，∠ABF=∠ACB，△ABF∽△BCA，，，即，，；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角形的相似，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cos∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①②④【分析】①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．【詳解】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，故①正確；②作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝ABcosB，∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC，在△ABD與△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；③當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，∴cosB＝＝，∴BD＝，故③錯(cuò)誤；④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，設(shè)BD＝y(tǒng)，CE＝x，∴，∴，整理得：y2?16y＋64＝64?10x，即（y?8）2＝64?10x，∴0＜x≤6.4，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)，從而可得BP的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已證：，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023·四川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)．（2）求證：．【答案】（1）5；（2）證明見解析；【分析】（1）先證明出∽，得出，假設(shè)BD為x，則DC=15-x，代入分式方程求出BD的長(zhǎng)；（2）由（1）可知，推出≌，得出結(jié)果；【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∽，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵，設(shè)，則，即：，解得：，，∵，∴．（2）由（1）可知，∵，∴，在和中，，∴≌∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用．9．（2022春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；（2）由，先求解，設(shè)，再利用相似三角形的性質(zhì)可得：，列方程，解方程即可得到答案．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，設(shè)，則，∴經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以三角形的邊長(zhǎng)為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．38．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時(shí)，求△PEF的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根據(jù)相似三角形的判定即可求證△BEP∽△CPF；（2）由題意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∴∠BEP＝∠FPC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEP∽△CPF；（2）∵∠PAB＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠BPE＝30°，在Rt△ABP中，∠PAB＝30°，AB＝，∴BP＝1，在Rt△BPE中，∠BPE＝30°，BP＝1，∴EP＝，∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，∴PF＝2CP＝2﹣2，∴△PEF的面積為：PE?PF＝2﹣．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．10．（2023·重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）CF＝．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BDE＝∠CEF，從而證得結(jié)論；（2）首先求出線段CE的長(zhǎng)，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出結(jié)果．【詳解】(1)證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE.(2)∵D為AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AD＝6，∴BC＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝4.由(1)知△BED∽△CFE，∴=，∴＝，∴CF＝.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)和判定．11．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）【操作與探究】已知矩形，給出如下操作過程：如圖①所示．將四邊形沿過點(diǎn)B的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處，折痕為，將沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)A，點(diǎn)D分別落在邊，上，折痕為，得到一個(gè)新的矩形．【問題探究】（1）若圖①中的四邊形是正方形，則矩形的長(zhǎng)寬比為__________，__________．（2）如圖②，將如圖①中的矩形按照“操作與探究”中的方法再次操作，得到的新矩形，則矩形的長(zhǎng)寬比為__________，__________．【問題解決】若將長(zhǎng)寬比（n為正整數(shù)）矩形沿用上述方式操作m次后，得到一個(gè)矩形，則__________，________．【答案】（1），（2），，問題解決，，；【分析】（1）設(shè)，則，解直角三角形，得，于是，得長(zhǎng)寬比，可證，于是，從而．（2）如圖②，設(shè)，則，，由可證，于是，可求得，，從而，，進(jìn)而求得長(zhǎng)寬比=；由（2）知，若將長(zhǎng)寬比（n為正整數(shù)）矩形沿用上述方式操作m次后，得到一個(gè)矩形，則，．【詳解】（1）設(shè)，則，中，∴∴長(zhǎng)寬比由折疊知，，∴而∴∴∴∴．（2）如圖②，設(shè)，則，，由題意知，∴∴∴而，∴∴∴∴∴長(zhǎng)寬比=同（1）∴∴由（2）知，若將長(zhǎng)寬比（n為正整數(shù)）矩形沿用上述方式操作m次后，得到一個(gè)矩形，則，【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，由折疊及相似轉(zhuǎn)化為線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2022·山東濟(jì)寧·二模）情境觀察:將含45°角的三角板的直角頂點(diǎn)R放在直線上，分別過兩銳角的頂點(diǎn)M，N作的垂線，垂足分別為P，Q，（1）如圖1.觀察圖1可知：與NQ相等的線段是______________，與相等的角是_____(2)問題探究直角中，，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L.試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)拓展延伸：直角中，，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點(diǎn)T，如圖3.如果，，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)，，(2)，證明見解析；(3)，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)余角性質(zhì)得到，再證明，即可得到，；（2）證明，得到，再證明，得到，可得到；（3）證明，得到，證明，得到，得到，證明即可得到．（1）解：∵是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，，故答案為：，；（2）解：∵四邊形ACEF是正方形，∴，，∵∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∵四邊形CDGH是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，，（3）解：過E作與M，過H作與N，∵四邊形ACEF是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，同理：，∴，∴，∴，在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，（3）證明，是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請(qǐng)你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．【分析】（1）先由矩形的性質(zhì)得，再由三角形面積公式求解即可；（2）由折疊的性質(zhì)得：，再證，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解；（3）①先證得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)面積公式列式求解；②根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴．∵，∴．∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴故答案為：；（2）存在，理由如下：∵四邊形是矩形，∴．∵Q是的中點(diǎn)，∴．由折疊的性質(zhì)得：，當(dāng)點(diǎn)P、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，∴．∵，∴．∵∵，∴，∴，即，解得：或；（3）①根據(jù)題意做出輔助線，如圖所示．由題意得：．∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．由，則．∵，∴，∴，∴；②由①知，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為，∴最低造價(jià)為（元），∴四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用約為963.3元．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、梯形面積公式、三角形面積公式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．14．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請(qǐng)問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）【答案】（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元【分析】（1）先由矩形的性質(zhì)得CD∥AB，BC＝AD＝6，再由三角形面積公式求解即可；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，再證△ADP∽△PCQ，得，解得DP＝6或DP＝3；（3）如圖，過點(diǎn)C作MN∥AB，過點(diǎn)D作MN的垂線，交MN于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，連接BD，先證△DEC∽△CFB，得，設(shè)DE＝x，則DH＝5﹣x，求出CE＝，CF＝，然后由梯形面積公式和三角形面積公式求出S四邊形ABCD＝x2﹣2x++10＝（x﹣）2+10+，即可解決問題．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，BC＝AD＝6，∵EG∥AB，∴CD∥EG∥AB，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，故答案為：21；（2）存在，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，∵Q是BC的中點(diǎn)，∴CQ＝3，由折疊的性質(zhì)得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，當(dāng)點(diǎn)P、D′、C′三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，∴∠DPA+∠CPQ＝90°，∵∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPQ，∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，∴△ADP∽△PCQ，∴，即，解得：DP＝6或DP＝3；（3）如圖，過點(diǎn)C作MN∥AB，過點(diǎn)D作MN的垂線，交MN于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，連接BD，如圖③所示：則BF＝EH＝5cm，∵DC⊥BC，∴∠ECD+∠BCF＝90°，∵BF⊥MN，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠CBF，又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，∴△DEC∽△CFB，∴，設(shè)DE＝x，則DH＝5﹣x，∵BF＝5，BC＝CD，∴，∴，，∴S四邊形ABCD＝S四邊形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB當(dāng)x＝cm時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最小值（10+）cm2，∴最低造價(jià)為（10+）×50≈802.75（元），∴四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低約為802.75元．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、相似的判定與性質(zhì)、割補(bǔ)法求三角形的面積等內(nèi)容，該題對(duì)學(xué)生的觀察、分析推理和計(jì)算能力的要求都非常高，因此學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意歸納和總結(jié)，勤于思考，養(yǎng)成良好的幾何思維方式，同時(shí)對(duì)基礎(chǔ)概念和公式應(yīng)牢牢掌握，養(yǎng)成作輔助線構(gòu)造直角三角形幫助解題的習(xí)慣，方能探尋到本題的解題思路．15．（2023春·四川廣安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時(shí)，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析（2），，（3），，（4），，【分析】（1）利用三垂直模型或K字型相似.（2）首先由勾股定理求得線段的長(zhǎng)，然后利用求得線段、的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分時(shí)和時(shí)，利用，根據(jù)相似比表示出點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用面積為6求得值即可；（4）分、、、，根據(jù)和兩種情況得到比例式即可求得值．【詳解】解：（1）證明：由題意得：∠MAB=90°∴∠CAO+∠BAE=90°又∵∠CAO+∠ACO=90°∴∠BAE=∠ACO又∵∠COA=∠AEB=90°∴△AOC∽△BEA（2）的坐標(biāo)為，或，由勾股定理得：，且相似比為，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，故答案為：，，；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖（1）且相似比為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解得

或4，②當(dāng)時(shí)，如圖（2），解得

或（舍去），，，（4）①當(dāng)時(shí)，如圖（1）若即：無解，若，同理，解得或（不合題意舍去），②當(dāng)時(shí)，如圖（2）若，即：，解得，取，若，同理，解得無解，③當(dāng)時(shí)，如圖（3），若，即：，解得（不合題意舍去）或，若，同理，解得無解，④當(dāng)時(shí)，如圖（4）若，，即：，則無解，若，同理，解得（不合題意舍去）或（不合題意舍去）；則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形的綜合題，比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)利用比例式列出方程解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．16．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形是邊上一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），連結(jié)是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的角平分線于點(diǎn)，若．（1）求證