專題02數(shù)軸中的九類動態(tài)模型數(shù)軸中的動態(tài)問題屬于七年級上冊必考壓軸題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動點(diǎn)的出發(fā)位置，移動方向和速度，用含t的式子表示動點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗解是否符合動點(diǎn)的運(yùn)動時間范圍）?！局R儲備】①求A、B兩點(diǎn)間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無法確定左右位置：；②求A、B的中點(diǎn)：；③數(shù)軸動點(diǎn)問題主要步驟：1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動情況：運(yùn)動方向和速度；2）寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動用“+”表示，向左運(yùn)動用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動點(diǎn)是否會來回往返運(yùn)動。模型1.左右跳躍模型（動態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·湖北鄂州·七年級期末）已知點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，其中a滿足，b滿足，點(diǎn)P位于該數(shù)軸上．(1)求出a，b的值，并求出A，B兩點(diǎn)之間的距離AB；(2)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離為24個單位長度，且，若PB＝2PC，求點(diǎn)P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)p；(3)設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度……以此類推，問點(diǎn)P能移動到與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合的位置嗎？若能，請?zhí)骄啃枰苿佣嗌俅尾拍苤睾?？若不能，請說明理由．【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22(2)點(diǎn)P對應(yīng)數(shù)為-18或者(3)第8次移動時，即向右移動15個單位與點(diǎn)A重合，不能移動到與點(diǎn)B重合理由見解析【分析】（1）根據(jù)平方的非負(fù)性和解一元一次方程即可求出a、b從而求出AB；（2）先求出C點(diǎn)表示的數(shù)，然后根據(jù)PB=2PC，得到，，由此求解即可；（3）根據(jù)題意可知，每兩次運(yùn)動點(diǎn)P向右移動2個單位長度，點(diǎn)P第（k為正整數(shù)）次移動后，P在原點(diǎn)左邊距離原點(diǎn)的位置，由此求解即可．(1)解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴；(2)解：∵，∴，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離為24個單位長度，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為-16，∵PB=2PC，∴，，∴，∴或，解得或；(3)解：由題意可知，每兩次運(yùn)動點(diǎn)P向右移動2個單位長度，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，∴點(diǎn)P在第8次移動時，即向右移動15個單位與點(diǎn)A重合；根據(jù)題意可知點(diǎn)P第（k為正整數(shù)）次移動后，P在原點(diǎn)左邊距離原點(diǎn)的位置，∴，解得不符合題意，∴點(diǎn)P不能運(yùn)動到B點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，解一元一次方程，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①②④【分析】“前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個數(shù)，即x5m=m．然后再根據(jù)“前進(jìn)3步后退2步”的運(yùn)動規(guī)律來求取對應(yīng)的數(shù)值．【詳解】根據(jù)題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，即第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點(diǎn)的移動規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來．前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n÷5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)中對應(yīng)的第幾個數(shù)．變式1．（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對A做如下移動：第一次向右移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動6個單位長度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動9個單位長度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動12個單位長度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（

）次移動到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19【答案】C【分析】次數(shù)的序號為奇數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的右邊，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次增加3，序號為偶數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的左側(cè)，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次減少3，用n的代數(shù)式表示出一般規(guī)律，即可解答．【詳解】解：第1次點(diǎn)A向右移動3個單位長度至點(diǎn)B，則B表示的數(shù)，1+3=4；第2次從點(diǎn)B向左移動6個單位長度至點(diǎn)C，則C表示的數(shù)為46=2；第3次從點(diǎn)C向右移動9個單位長度至點(diǎn)D，則D表示的數(shù)為2+9=7；第4次從點(diǎn)D向左移動12個單位長度至點(diǎn)E，則E表示的數(shù)為712=5；第5次移動后表示的數(shù)為5+15=10；第6次移動后表示的數(shù)為1018=8；…；當(dāng)移動次數(shù)為奇數(shù)時，對應(yīng)的數(shù)是4，7，10，…，第n次移動后表示的數(shù)是，當(dāng)時，解得，n=（不符合題意，舍去）．當(dāng)移動次數(shù)為偶數(shù)時，對應(yīng)的數(shù)是2，5，8，…，第n次移動后表示的數(shù)是，當(dāng)時，解得，n=14．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給點(diǎn)的運(yùn)動關(guān)系，探索出對應(yīng)點(diǎn)所表示數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇·泰州七年級階段練習(xí)）在如圖的數(shù)軸上，一動點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒鐘4個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度…（1）求出2.5秒鐘后動點(diǎn)Q所處的位置；（2）求出7秒鐘后動點(diǎn)Q所處的位置；（3）如果在數(shù)軸上有一個定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距48個單位長度，問：動點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長時間？若不能，請說明理由．【答案】（1）-2；（2）4；（3）1140秒或1164秒．【分析】（1）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出2.5秒鐘走過的路程，然后根據(jù)左減右加列式計算即可得解；（2）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出7秒鐘走過的路程，然后根據(jù)左減右加列式計算即可得解；（3）分點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊與右邊兩種情況分別求出動點(diǎn)走過的路程，然后根據(jù)時間=路程÷速度計算即可得解．【詳解】解：（1）∵4×2.5=10，∴點(diǎn)Q走過的路程是1+2+3+4=10，Q處于：1-2+3-4=4-6=-2；（2）∵4×7=28，∴點(diǎn)Q走過的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q處于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；（3）①當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)右邊時，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則，解得n=95，∴動點(diǎn)Q走過的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，∴時間=4560÷4=1140(秒)；②當(dāng)點(diǎn)A原點(diǎn)左邊時，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則=48，解得n=96，∴動點(diǎn)Q走過的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，∴時間=4656÷4=1164(秒)

．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的知識，弄清題中的移動規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．（3）題注意要分情況討論求解，弄清楚跳到點(diǎn)A處的次數(shù)的計算方法是關(guān)鍵，可以動手操作一下便不難得解．模型2.點(diǎn)的常規(guī)運(yùn)動模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C移動，同時，動點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點(diǎn)C移動，設(shè)點(diǎn)P的移動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動到C點(diǎn)后停止運(yùn)動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動點(diǎn)向正方向移動用加法以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析計算；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P的移動時間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時，當(dāng)8＜t≤12時，當(dāng)12＜t≤20時三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點(diǎn)間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，熟練掌握列代數(shù)式表示動點(diǎn)以及兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維和分類討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段MN的長度不變A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，由題意求出AP的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是x，∵點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是-4，故①正確；由題意得：12÷2=6（秒），∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，t=6，故②正確；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2時，t=5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2時，t=7，綜上所述，BP=2時，t=5或7，故③錯誤；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段MN的長度不變，故④正確；所以，上列結(jié)論中正確的有3個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·江西贛州·七年級期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是的美好點(diǎn)．例如；如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距高是2，那么點(diǎn)D就不是的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是的美好點(diǎn)．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2．（1）點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，6.5，11，其中是美好點(diǎn)的是________；寫出美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是___________．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，點(diǎn)P恰好為M和N的美好點(diǎn)？【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，在點(diǎn)的移動過程中注意到兩個點(diǎn)的距離的變化．（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，分情況分別確定P點(diǎn)的位置，進(jìn)而可確定t的值．【詳解】解：（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件，故答案是：G．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，點(diǎn)N的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)M和N之間靠近點(diǎn)M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點(diǎn)，進(jìn)而可以確定-4符合條件．點(diǎn)M的左側(cè)距離點(diǎn)M的距離等于點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離的點(diǎn)符合條件，進(jìn)而可得符合條件的點(diǎn)是-16．故答案是：-4或-16．（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，P，M和N中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)分6種情況，第一情況：當(dāng)P為【M，N】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖1，當(dāng)MP=2PN時，PN=3，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2-3=-1，因此t=1.5秒；第二種情況，當(dāng)P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖2，當(dāng)2PM=PN時，NP=6，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2-6=-4，因此t=3秒；第三種情況，P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖3，當(dāng)PN=2MN時，NP=18，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2-18=-16，因此t=9秒；綜上所述，t的值為：1.5或3或9．【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸、美好點(diǎn)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．模型3.中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型【模型解讀】例1．（2022·山東·七年級專題練習(xí)）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3，則C點(diǎn)叫做A的“幸福點(diǎn)”，若C到A、B的距離之和為6，則C叫做A、B的“幸福中心”．（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，則A的幸福點(diǎn)C所表示的數(shù)應(yīng)該是______；（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為4，點(diǎn)N所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)C就是M、N的幸福中心，則C所表示的數(shù)可以是______（填一個即可）；（3）如圖3，A、B、P為數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4，點(diǎn)P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動，秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由．【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的數(shù)可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）當(dāng)經(jīng)過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心．【分析】（1）根據(jù)幸福點(diǎn)的定義即可求解；（2）根據(jù)幸福中心的定義即可求解；（3）根據(jù)幸福中心的定義即可求解．【詳解】解：（1）A的幸福點(diǎn)C所表示的數(shù)應(yīng)該是-1-3=-4或-1+3=2；故答案為：-4或2；（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之間的所有數(shù)都是M，N的幸福中心．故C所表示的數(shù)可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）經(jīng)過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6，故當(dāng)經(jīng)過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、動點(diǎn)問題，熟練掌握動點(diǎn)中三個量的數(shù)量關(guān)系式：路程=時間×速度，認(rèn)真理解新定義．例2．（2022·四川綿陽·七年級?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時向左運(yùn)動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)①2秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)；②或【分析】(1)分計算即可．（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，根據(jù)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，得到，化簡計算即可．②分兩種情況計算求解即可．【詳解】（1）因為數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x，P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10，當(dāng)時，則，解得，符合題意；當(dāng)時，則，解得，符合題意；當(dāng)時，則，不符號題意，故或．（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，因為點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，所以，解得．②因為數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，所以，當(dāng)時，則，解得．當(dāng)時，則，解得．當(dāng)或時，點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)即線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條相等，線段的三等分點(diǎn)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），點(diǎn)C是數(shù)軸上不與A，B兩點(diǎn)重合的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，求線段MN的長度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（

）甲說：若點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，線段MN的長度為；乙說：若點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時，線段MN的長度為；丙說：若點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，線段MN的長度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確【答案】A【分析】分別求得點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時和點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，線段的長度，判定即可．【詳解】解：點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，如下圖：甲說法正確；當(dāng)點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時，如下圖：乙說法不正確；當(dāng)點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，如下圖：丙說法不正確故選A【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸上的動點(diǎn)以及兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是對點(diǎn)C的位置進(jìn)行分類討論分別求解．變式2．（2023·吉林·七年級期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖所示，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿數(shù)軸向右以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)B停止運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿數(shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，到點(diǎn)A停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，P、Q兩點(diǎn)的距離為d（d≥0）個單位長度．（1）當(dāng)t＝1時，d＝；（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時，求d的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，直接寫出d的值；（4）當(dāng)d＝5時，直接寫出t的值．【答案】（1）d＝3；（2）d的值為3或；（3）所求d的值為0或4；（4）所求t的值為或5．【分析】（1）當(dāng)t＝1時，求出AP＝1，BQ＝2，根據(jù)PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)；②Q點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，分①AP＝AB；②AP＝AB兩種情況進(jìn)行討論；（4）當(dāng)d＝5時，分①P與Q相遇之前；②P與Q相遇之后兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】（1）當(dāng)t＝1時，AP＝1，BQ＝2，∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案為3；（2）線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是：＝1．①如果P點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，BQ＝2×3＝6，即Q運(yùn)動到A點(diǎn)，此時d＝PQ＝PA＝3；②如果Q點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝，則d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值為3或；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，分兩種情況：①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此時BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原點(diǎn)，則d＝PQ＝0；②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，∵動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿數(shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，到點(diǎn)A停止運(yùn)動，∴此時BQ＝6，即Q運(yùn)動到A點(diǎn)，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值為0或4；（4）當(dāng)d＝5時，分兩種情況：①P與Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；②P與Q相遇之后，∵P點(diǎn)運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時，t＝3，此時Q運(yùn)動到A點(diǎn)，停止運(yùn)動，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值為或5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，理解題意，分清動點(diǎn)P與動點(diǎn)Q的運(yùn)動方向、運(yùn)動速度與運(yùn)動時間，從而正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．模型4.動態(tài)定值（無參型）模型【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運(yùn)動時間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)計算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。例1．（2022·四川阿壩·七年級期末）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處。；；；若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)___表示的點(diǎn)重合；點(diǎn)開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，則__，__，___；（用含的代數(shù)式表示）請問:的值是否隨著時間的變化而改變﹖若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不會隨著時間t的變化而改變，該值是21．【分析】（1）根據(jù)b為最大的負(fù)整數(shù)可得出b的值，再根據(jù)在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處即可得出a、c的值；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合a、b、c的值，即可找出與點(diǎn)B重合的數(shù)；（3）根據(jù)運(yùn)動的方向和速度結(jié)合a、b、c的值，即可找出t秒后點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求出AB、AC、BC的值；（4））將（3）的結(jié)論代入中，可得出的值不會隨著時間的變化而變化，即為定值，此題得解．【詳解】（1）b是最大的負(fù)整數(shù)，在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處，（2）將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合（3）點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運(yùn)動t秒鐘過后，根據(jù)得：，，又，，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為，，，；（4）由（3）可知：，的值為定值21．故答案為：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不會隨著時間t的變化而改變，該值是21．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動的方向和速度找出點(diǎn)A、B、C運(yùn)動后代表的數(shù)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運(yùn)動．請問：2BC－AC的值是否隨著運(yùn)動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點(diǎn)C以每秒3個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動．求隨著運(yùn)動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）3，5，8；（2）不會，理由見解析；（3）當(dāng)t<1時，AB+BC=AC；當(dāng)t大于或等于1，且t小于或等于2時，BC+AC=AB；當(dāng)t>2時，AB+AC=BC【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置，寫出AB、BC、AC的長度；（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC?AC的值，判斷即可；（3）分別表示出AB、BC、AC的長度，然后分情況討論得出之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）由圖可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案為：3，5，8；（2）2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則2BC?AC＝2[6＋5t?（1＋2t）]?[6＋5t?（?2?t）]＝12＋10t?2?4t?8?6t＝2，故2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變；（3）由題意得，AB＝t＋3，BC＝5?5t（t＜1時）或BC＝5t?5（t≥1時），AC＝8?4t（t≤2時）或AC＝4t?8（t＞2時），當(dāng)t＜1時，AB＋BC＝（t＋3）＋（5?5t）＝8?4t＝AC；當(dāng)1≤t≤2時，BC＋AC＝（5t?5）＋（8?4t）＝t＋3＝AB；當(dāng)t＞2時，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t?8）＝5t?5＝BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是能求出兩點(diǎn)間的距離．變式1．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求線段AB的長；（2）如圖①，點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由；（3）如圖②，若N點(diǎn)是B點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，NA的中點(diǎn)為Q，P為NB的三等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，當(dāng)N在B的右側(cè)運(yùn)動時，請直接判斷的值是不變的還是變的，如果不變請直接寫出其值，如果是變的請說明理由．【答案】（1）線段AB的長為5；（2）存在，當(dāng)點(diǎn)M表示的數(shù)為﹣5或4時，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不變，為.【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出AB的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，由MA+MB＝BC+AB確定出M位置，即可做出判斷；（3）設(shè)N點(diǎn)所表示的數(shù)為n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根據(jù)條件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．【詳解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：線段AB的長為5；（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．設(shè)點(diǎn)M在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，∵M(jìn)A+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．①當(dāng)m≤﹣3時，﹣m﹣3+2﹣m=9，

m=﹣5；②當(dāng)﹣3＜m≤2時，m+3+2﹣m=9（舍去）；③當(dāng)m＞2時，m+3+m﹣2=9，m=4．∴當(dāng)點(diǎn)M表示的數(shù)為﹣5或4時，MA+MB＝BC+AB；（3）設(shè)N點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．∵NA的中點(diǎn)為Q，∴NQ＝NA＝，P為NB的三等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴BP＝NB＝（n﹣2），∴×-×(n-2)=，故的值是不變的．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的運(yùn)用，數(shù)軸的運(yùn)用，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)用，去絕對值的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求解是關(guān)鍵．變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；(1)a＝，b＝.(2)若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）(3)若點(diǎn)D以2個單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動，同時點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣.【答案】（1）-3、9；（2）點(diǎn)C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個數(shù)都是0，建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據(jù)點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，可表示，，再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動速度和方向，分別用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D、P、Q、M、N對應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長，然后求出的值為常量，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；（2）設(shè)3秒后點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為x，則，，∵CA=CB，∴，當(dāng)，無解；當(dāng)，解得x=3，此時點(diǎn)C的速度為3÷3=1個單位每秒，∴點(diǎn)C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)為2t；點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為9+6t；點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為-1.5-0.5t；點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，為定值，即的值沒有發(fā)生變化.【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.模型5.折線數(shù)軸（雙動點(diǎn)）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點(diǎn)C后繼續(xù)以原來的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．(1)當(dāng)秒時，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上時，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當(dāng)__________時，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）當(dāng)秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，即的M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上，即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，而M、N兩點(diǎn)相遇時，M、N表示的數(shù)相同，即得，可解得答案；（3）根據(jù)M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，得，可解得或，由時，M運(yùn)動到O，同時N運(yùn)動到C，可知時，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，有，可解得或，當(dāng)時，M在從C運(yùn)動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，即可得答案．【詳解】（1）當(dāng)秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為，故答案為：12；（2）由（1）知，2秒時M運(yùn)動到O，N運(yùn)動到C，∴當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上，即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴O、M兩點(diǎn)間的和諧距離，C、N兩點(diǎn)間的和諧距離，∵M(jìn)、N兩點(diǎn)相遇時，M、N表示的數(shù)相同，∴，解得，故答案為：，，；（3）∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，∴，即，∴或，解得或，由（1）知，時，M運(yùn)動到O，同時N運(yùn)動到C，∴時，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，，即，∴或，解得或，當(dāng)時，M在從C運(yùn)動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故答案為：或；8或．【點(diǎn)睛】本題考查一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)運(yùn)動后表示的數(shù)及分類討論．變式1．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個長度單位，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運(yùn)動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，問：(1)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B需要的時間為______秒；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至D點(diǎn)需要的時間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等時，求出動點(diǎn)P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)2.5(2)15(3)【分析】（1）求出BC長度，“下坡路段”速度是4個單位/秒，即得動點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的時間；（2）先求出AB，BC，CD的長度，再根據(jù)“水平路線”速度是2個單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，即得動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至D點(diǎn)需要的時間；（3）設(shè)運(yùn)動時間為秒，分四種情況：①當(dāng)0≤t≤2，②當(dāng)2＜t≤3，③當(dāng)3<t<4.5，④當(dāng)4.5＜t≤7.5，列方程求出t．【詳解】（1）∵點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，∴BC=1-(-9)=10(個單位)，∵“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍，“水平路線”速度是2個單位/秒，∴“下坡路段”速度是4個單位/秒，∴動點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B需要的時間為10÷4=2.5(秒)；（2）根據(jù)題意知：AB=|-7-(-1)|=6(個單位)，BC=1-(-9)=10(個單位)，CD=13-9=4(個單位)，∴“水平路線”速度是2個單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，∴動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至D點(diǎn)需要的時間為6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；（3）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，①當(dāng)0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，顯然P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度不會相等；②當(dāng)2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上時，P表示的數(shù)是-7+2t，Q表示的數(shù)是9-4(t-2)，∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此時P已不在AB上，不符合題意，這種情況不存在；③當(dāng)3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上時，P表示的數(shù)是-1+(t-3)=t-4，Q表示的數(shù)是9-4(t-2)=17-4t，∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的數(shù)是或；④當(dāng)4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上時，P表示的數(shù)是t-4，Q表示的數(shù)是-1-2(t-4.5)=8-2t，∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合題意，舍去)，綜上所述，當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等時，動點(diǎn)P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)是或．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示動點(diǎn)表示的數(shù)，據(jù)運(yùn)動過程分類討論．變式2．（2022·重慶·七年級期中）數(shù)軸上點(diǎn)A表示－12，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示24，如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離，那么我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在折線數(shù)軸上的和諧距離為36個單位長度．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，過點(diǎn)B后繼續(xù)以原來的速度向正方向運(yùn)動；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點(diǎn)O后繼續(xù)以原來的速度向負(fù)方向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．（1）當(dāng)秒時，求M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離；（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度時，求運(yùn)動時間t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)C時，立即以原速返回，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄划?dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)M、N立即停止運(yùn)動，是否存在某一時刻t使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等？若存在，請直接寫出t的取值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或或【分析】（1）當(dāng)秒時，求出點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度單位，點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度單位，據(jù)此求出、和諧距離即可；（2）分兩種情況：當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，且沒有相遇時，當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，且相遇后又離開時，分別列出方程，然后求解即可；（3）分六種情況：①當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動時，②當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動時，③當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動時，④當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動時，⑤當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動，且點(diǎn)沒有返回時，⑥當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動，且點(diǎn)返回時，分別列出方程，然后求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)秒時，點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距個長度單位，即點(diǎn)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距個長度單位，即點(diǎn)在點(diǎn)的位置上，在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是12，則、和諧距離是：個單位長度；（2）如圖示：點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)位置時，用的時間是：秒，當(dāng)點(diǎn)在折線數(shù)軸上運(yùn)動4秒時，則在上的運(yùn)動時間是秒，在上的運(yùn)動時間是秒，則，∴，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在在上的運(yùn)動時間是，當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，且沒有相遇時，依題意得：，解得：，∴總用時是：秒；當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，且相遇后又離開時，依題意得：，解得：，∴總用時是：秒；綜上所述，當(dāng)運(yùn)動秒或秒時，M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；（3）存在，理由如下：根據(jù)題意可知，點(diǎn)在上的運(yùn)動，并沒返回時，使用的時間是秒，點(diǎn)在上的運(yùn)動，使用的時間是秒，可得，點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時，繼續(xù)返回運(yùn)動了2秒，①當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動時，依題意得：解得：，不合題意，舍去；∵點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時，使用的時間是秒，先于點(diǎn)在上運(yùn)動，②當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動時，依題意得：解得：；③當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動時，依題意得：解得：；④∵點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時，使用的時間是秒，先于點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動時，無法找到任一點(diǎn)，使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故不存在這樣的時間；⑤當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動，且點(diǎn)沒有返回時，依題意得：解得：，不合題意，舍去；⑥當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動，且點(diǎn)返回時，依題意得：解得：；綜上所述，使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等的時間是：或或；【點(diǎn)睛】本題綜合考查了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，一元一次方程在數(shù)軸上的應(yīng)用，路程、速度、時間三者的關(guān)系等相關(guān)知識點(diǎn)，利用分類討論思想，對題目進(jìn)行分析解答是解題的關(guān)鍵．模型6.動點(diǎn)往返運(yùn)動模型【模型解讀】例1．（2022秋·重慶·七年級專題練習(xí)）如圖，A、O、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣20、0、40，C點(diǎn)在A、B之間，在A、B兩點(diǎn)處各放一個擋板，M、N兩個小球同時從C處出發(fā)，M以2個單位/秒的速度向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，N以4個單位/秒的速度向數(shù)軸正方向運(yùn)動，碰到擋板后則反方向運(yùn)動，速度大小不變．設(shè)兩個小球運(yùn)動的時間為t秒鐘（0＜t＜40），當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0；②當(dāng)10＜t＜25時，N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)可以表示為80﹣4t；③當(dāng)25＜t＜40時，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結(jié)論正確的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④【答案】D【分析】設(shè)C點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，根據(jù)題意可得，求得；根據(jù)題意分時間段討論兩小球的位置，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)C點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，則，當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板，則解得，即C點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0，①正確；當(dāng)時，N小球運(yùn)動的距離為，剛好到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)時，N小球運(yùn)動的距離為，剛好到達(dá)點(diǎn)，M小球運(yùn)動的距離為當(dāng)10＜t＜25時，N小球從點(diǎn)向點(diǎn)開始運(yùn)動，此時，點(diǎn)表示數(shù)的為，②正確；當(dāng)時，N小球運(yùn)動的距離為，M小球運(yùn)動的距離為當(dāng)25＜t＜40時，N小球從點(diǎn)向點(diǎn)開始運(yùn)動，M小球向點(diǎn)運(yùn)動則，，，③錯誤；當(dāng)時，，，由題意得，，解得，不符題意；當(dāng)時，，，由題意得，，解得，不符題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，，由題意得，，解得，此時三點(diǎn)重合，成立；當(dāng)時，，由題意得，，解得，不符題意；當(dāng)時，，由題意得，，解得，不符題意；④正確故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，涉及了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離以及數(shù)軸上的動點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握題中的等量關(guān)系，分時間段進(jìn)行討論求解即可．例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎獢?shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)速度為每秒2個單位長度，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為點(diǎn)M的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒1個單位長度．（1）求A、B兩點(diǎn)的距離為個單位長度．（2）若點(diǎn)M向右運(yùn)動，同時點(diǎn)N向左運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位長度？（3）若點(diǎn)M、N、P同時都向右運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)M、P繼續(xù)以原來的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)N改變運(yùn)動方向，以原來的速度向左運(yùn)動，求從開始運(yùn)動后，經(jīng)過多長時間點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等？【答案】（1）14；（2）5秒；（3）秒或3.5秒或秒.【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A、B兩點(diǎn)的距離；（2）設(shè)經(jīng)過x秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位，由點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)速度為每秒2個單位，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為M點(diǎn)的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；（3）首先求出點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇的時間為14÷（6﹣2）＝3.5秒，此時N點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是﹣8+6×3.5＝13，再設(shè)從開始運(yùn)動后，相遇前經(jīng)過t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等，或相遇后經(jīng)過t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等，根據(jù)PM＝PN列出方程，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，∴A、B兩點(diǎn)的距離為6﹣（﹣8）＝14．故答案為14；（2）設(shè)經(jīng)過x秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位．依題意可列方程為：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．答：經(jīng)過5秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位；（3）點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇的時間為14÷（6﹣2）＝3.5秒，此時N點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是﹣8+6×3.5＝13．設(shè)從開始運(yùn)動后，相遇前經(jīng)過t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等．依題意可列方程為：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝，設(shè)從開始運(yùn)動后，相遇后經(jīng)過t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等．依題意可列方程為：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝．答：從開始運(yùn)動后，經(jīng)過秒或3.5秒或秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用行程問題的基本數(shù)量關(guān)系，以及數(shù)軸直觀解決問題即可．變式1.（2022·陜西·西安七年級期中）如圖：在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝，b＝；（2）點(diǎn)P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x，則當(dāng)x時，代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)A處以1個單位/秒的速度向左運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B處以2個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后，以原來的速度向相反的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（t≤8）秒，求第幾秒時，點(diǎn)P、Q之間的距離是點(diǎn)B、Q之問距離的2倍？【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，則代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數(shù)式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分類討論，分別求出相應(yīng)的代數(shù)式的值或范圍，再確定代數(shù)式的最大值；（3）先由點(diǎn)C表示的數(shù)是1，點(diǎn)B表示的數(shù)是9，計算出B、C兩點(diǎn)之間的距離，確定t的取值范圍，再按t的不同取值范圍分別求出相應(yīng)的t的值即可．【詳解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案為：﹣3，9．（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數(shù)式|x+3|﹣|x﹣9|，當(dāng)x＜﹣3時，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；當(dāng)﹣3≤x＜9時，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；當(dāng)x≥9時，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，綜上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值為12，故答案為：≥9，12．（3）∵點(diǎn)C表示的數(shù)是1，點(diǎn)B表示的數(shù)是9，∴B、C兩點(diǎn)之間的距離是9﹣1＝8，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，則2t＝8，解得t＝4，當(dāng)0＜t≤4時，如圖1，點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣3﹣t，點(diǎn)Q表示的數(shù)是9﹣2t，根據(jù)題意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；當(dāng)4＜t≤8時，如圖2，點(diǎn)P表示的數(shù)仍是﹣3﹣t，∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)是2t﹣7，根據(jù)題意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，綜上所述，第秒或第秒，點(diǎn)P、Q之間的距離是點(diǎn)B、Q之間距離的2倍．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用、絕對值的幾何意義等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇無錫·七年級期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示20，動點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)．(1)如圖1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它們的速度之比是2：3（速度單位：1個單位長度/秒），則點(diǎn)P的速度為個單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度為個單位長度/秒；(2)如圖2，若在原點(diǎn)O處放一塊擋板．P、Q均以（1）中的速度同時向左運(yùn)動，點(diǎn)Q在碰到擋板后（忽略球的大小）改變速度并向相反方向運(yùn)動，設(shè)它們的運(yùn)動時間為t（秒），試探究：①若點(diǎn)Q兩次經(jīng)過數(shù)軸上表示12的點(diǎn)的間隔是5秒，求點(diǎn)Q碰到擋板后的運(yùn)動速度；②若點(diǎn)Q碰到擋板后速度變?yōu)樵俣鹊?倍，求運(yùn)動過程中P、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等的時間t．【答案】(1)2，3(2)①12個單位長度/秒；②2秒或秒【分析】（1）設(shè)P、Q的速度分別為2x，3x，由兩點(diǎn)路程之和=兩點(diǎn)之間的距離，列方程即可求解；（2）解：①點(diǎn)Q第一次經(jīng)過表示12的點(diǎn)開始到達(dá)原點(diǎn)用時4秒，再次到達(dá)表示12的點(diǎn)用時1秒，即可求解；②分兩種情況：當(dāng)P、Q都向左運(yùn)動時和當(dāng)Q返回向右運(yùn)動時即可求解.(1)解：設(shè)P、Q的速度分別為2x，3x，由題意，得：6（2x+3x）=20-（-10），解得：x=1，故2x=2，3x=3，故答案為：2，3；(2)解：①，．答：點(diǎn)Q碰到擋板后的運(yùn)動速度為12個單位長度/秒．②當(dāng)P、Q都向左運(yùn)動時，解得：．當(dāng)Q返回向右運(yùn)動時，解得：．答：P、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等時經(jīng)歷的時間為2秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、數(shù)軸上點(diǎn)的表示、一元一次方程的應(yīng)用，比較復(fù)雜，要認(rèn)真理清題意，并注意數(shù)軸上的點(diǎn)，原點(diǎn)左邊表示負(fù)數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離等于任意兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值．模型7.線段和差且含參模型【模型解讀】例1．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，且．我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示兩點(diǎn)的大寫字母一起標(biāo)記．比如：點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作AB．（1）求BC的值；（2）在數(shù)軸上有一動點(diǎn)M滿足MB＋MC＝51，直接寫出點(diǎn)M表示的數(shù)；（3）動點(diǎn)A從數(shù)3對應(yīng)的點(diǎn)開始向右運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，同時點(diǎn)B，C在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)B，C的速度分別為每秒3個單位長度、每秒5個單位長度，運(yùn)動時間為t秒．①若點(diǎn)B向右運(yùn)動，點(diǎn)C向左運(yùn)動，BA＝ＢC，求t的值；②若點(diǎn)B向右運(yùn)動，點(diǎn)C向右運(yùn)動，（不考慮點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），是否存在一個常數(shù)使得的值在一定時間范圍內(nèi)不隨t的變化而變化？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）①或；②存在，n=3或-3【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性可求出答案；（2）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B，C之間時；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的右側(cè)時；進(jìn)行討論可求M點(diǎn)表示的數(shù)；（3）①用t的代數(shù)式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代數(shù)式表示AB，AC，代入代數(shù)式可求解．【詳解】（1）∵，∴b=-15，c=30，∴BC=30-（-15）=45；（2）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)，∵M(jìn)B＋MC＝51，∴MB＋MB+BC＝51，∴MB=3，∴點(diǎn)M點(diǎn)表示的數(shù)為-15-3=-18；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B，C之間時，∵M(jìn)B＋MC＝BC=45≠51，∴不存在點(diǎn)M，使MB＋MC＝51；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的右側(cè)時,∵M(jìn)B＋MC＝51，∴BC+MC+MC=51，∴MC=3，∴點(diǎn)M點(diǎn)表示的數(shù)為30+3=33；綜上所述，M點(diǎn)表示的數(shù)為-18或33；（3）①∵AB=BC，∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|∴或．②∵=-，原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且的值不隨時間t的變化而改變，∴3+n=0，3-n=0，∴存在，n=3或者-3．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸以及絕對值的知識點(diǎn)，數(shù)軸上的中點(diǎn)公式，動點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動，在已知運(yùn)動的方向和速度之后，就可以利用原來所在的數(shù)如果向右移動就加上向右移動的距離，如果向左移動，就減去向左移動的距離為解題關(guān)鍵，利用方程思想列式求解即可．例2．（2022春·湖南衡陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，滿足，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒，動點(diǎn)表示的數(shù)是．(1)直接寫______，______，______用含的代數(shù)式表示；(2)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)、同時出發(fā)，①問點(diǎn)運(yùn)動多少秒時追上點(diǎn)？②問點(diǎn)運(yùn)動多少秒時與點(diǎn)相距個單位長度？并求出此時點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)、以（2）中的速度同時分別從點(diǎn)、向右運(yùn)動，同時點(diǎn)從原點(diǎn)以每秒個單位的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)，使得的值為定值，若存在請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；；(2)①點(diǎn)運(yùn)動秒時追上點(diǎn)；②點(diǎn)運(yùn)動秒或秒時與點(diǎn)相距個單位長度，此時點(diǎn)表示的數(shù)為或(3)存在常數(shù)，使得的值為定值，該定值為【分析】（1）利用絕對值及偶次方的非負(fù)性，即可求出，的值，由點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)、運(yùn)動方向及運(yùn)動速度，即可用含的代數(shù)式表示出值；（2）當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，點(diǎn)表示的數(shù)為．根據(jù)點(diǎn)，表示的數(shù)相同，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；根據(jù)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離為，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值，再將其代入中即可求出點(diǎn)表示的數(shù)；（3）當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，可找出，，的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合的值為定值，即可求出的值，進(jìn)而可得出該定值為．（1）解；，，，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒，，故答案為：，，；（2）解：當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，點(diǎn)表示的數(shù)為．依題意得：，解得：，故點(diǎn)運(yùn)動秒時追上點(diǎn)．依題意得：，即或，解得：或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上：點(diǎn)運(yùn)動秒或秒時與點(diǎn)相距個單位長度，此時點(diǎn)表示的數(shù)為或；（3）解：當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，．的值為定值，，，存在常數(shù)，使得的值為定值，該定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、列代數(shù)式、一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是：（1）利用絕對值及偶次方的非負(fù)性，求出，；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出，，的長度．變式1．（2022秋·福建廈門·七年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，且滿足，．(1)分別求a，b，c的值；(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時，請求出x的值；(3)若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒2個單位長度和每秒1個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，是否存在一個常數(shù)k，使得的值在一定時間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動時間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在符合條件的k，k=6．【分析】（1）絕對值和平方具有非負(fù)性，由非負(fù)數(shù)的和等于0，每個非負(fù)數(shù)都為零，求出a，b，c；（2）由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式表示出和，建立方程求解x；（3）假設(shè)存在符合條件的k，表示，再利用整式的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，又∵，∴．∴；（2）解：由題意得：，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上：或；（3）解：假設(shè)存在符合條件的k，經(jīng)過t秒，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，且A，B都在點(diǎn)C右側(cè)，∴，，∴，∵的值在一定時間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動時間t的改變而改變，∴，∴，∴存在符合條件的k，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸、絕對值以及偶次方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是：（1）利用絕對值及偶次方的非負(fù)性，求出a，b的值；（2）①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；②用含t的代數(shù)式表示出的值．變式2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考期中）已知：如圖數(shù)軸上有三點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B間距20個單位長度且點(diǎn)A、B表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，，數(shù)軸上有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個單位秒的速度向右沿數(shù)軸運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)點(diǎn)A表示的有理數(shù)是______，點(diǎn)C表示的有理數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是______用含的式子表示．(2)當(dāng)___秒時，兩點(diǎn)之間相距8個單位長度？(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C與點(diǎn)P同時在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)A以個單位秒的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以3個單位秒和4個單位秒的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)，使得為一個定值，若存在，請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)或(3)，這個定值為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為，則點(diǎn)A表示的數(shù)為，由數(shù)軸可知，求出，根據(jù)算出點(diǎn)C表示的數(shù)，再由點(diǎn)P的運(yùn)動速度和時間求出點(diǎn)P表示的數(shù)即可；（2）分點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊和點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊兩種情況進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)題意先將點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C表示的數(shù)用t表示出來，再算出、、并代入中，合并同類項即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為，則點(diǎn)A表示的數(shù)為，∵點(diǎn)A和點(diǎn)B間距個單位長度，∴，解得：，∴點(diǎn)A表示的有理數(shù)是，∵，∴點(diǎn)C表示的有理數(shù)是，∵動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個單位長度秒的速度向右沿數(shù)軸運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是，故答案為：，，；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時，，∵兩點(diǎn)之間相距8個單位長度，∴，解得：，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時，，∵兩點(diǎn)之間相距8個單位長度，∴，解得：，∴當(dāng)或秒時，兩點(diǎn)之間相距8個單位長度，故答案為：或；（3）解：存在常數(shù)，使得為一個定值，理由如下：由題意可知，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為，則，，，，∵要使得為一個定值，∴，解得：，∴，∴，這個定值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸的知識，整式的加減，一元一次方程的應(yīng)用，掌握相反數(shù)的概念、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型【模型解讀】例1．（2022秋·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與________表示的點(diǎn)重合．(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①5表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)為________，點(diǎn)B表示的數(shù)為________；(3)操作三：點(diǎn)E以每秒3個單位長度的速度從數(shù)5對應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，點(diǎn)F以每秒1個單位長度的速度從數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，且兩個點(diǎn)同時出發(fā)，請直接寫出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時，點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合．【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒【分析】（1）設(shè)表示的點(diǎn)與x表示的點(diǎn)重合，根據(jù)1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，得到折痕過原點(diǎn)，根據(jù)對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等得到，解得；（2）①根據(jù)表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，得到折痕經(jīng)過數(shù)表示的點(diǎn)，設(shè)5表示的點(diǎn)與數(shù)x表示的點(diǎn)重合，得到，解得；②設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則，解得，點(diǎn)B表示的數(shù)為；（3）設(shè)t秒，得到點(diǎn)E表示的數(shù)為，點(diǎn)F表示的數(shù)為，當(dāng)1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時，得到折痕過原點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合，得到，解得．【詳解】（1）設(shè)表示的點(diǎn)與x表示的點(diǎn)重合∵1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，∴折痕經(jīng)過數(shù)表示的點(diǎn)，即原點(diǎn)，∴，∴∴表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合；故答案為：3（2）①∵表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，∴折痕經(jīng)過數(shù)表示的點(diǎn)，設(shè)5表示的點(diǎn)與數(shù)x表示的點(diǎn)重合，則，∴；故答案為：；②設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則點(diǎn)B表示的數(shù)為，，∴，，故答案為：，6；（3）設(shè)t秒，則點(diǎn)E表示的數(shù)為，點(diǎn)F表示的數(shù)為，∵1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時，折痕經(jīng)過原點(diǎn)，∴點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合時，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等，中點(diǎn)坐標(biāo)公式．變式1．（2023·浙江·七年級期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖）折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；（2）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①13表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【答案】（1）5；（2）①-17；②A點(diǎn)表示的數(shù)為-1013，B點(diǎn)表示的數(shù)為1009【分析】（1）由表示1的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)重合，即可找出與表示-5的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)；（2）①由表示1的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)重合，即可找出與表示13的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)；②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則B點(diǎn)表示的數(shù)為x+2022，根據(jù)重合兩點(diǎn)表示的數(shù)之和相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵表示1的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)重合，∴與表示-5的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)為1+（-1）-（-5）=5．故答案為：5．（2）①∵表示1的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)重合，∴與表示13的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)為1-5-13=-17．故答案為：-17．②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則B點(diǎn)表示的數(shù)為x+2022，根據(jù)題意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．答：A點(diǎn)表示的數(shù)為-1013，B點(diǎn)表示的數(shù)為1009．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、折疊的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)折疊的性質(zhì)找出重合兩點(diǎn)表示的數(shù)之和相等是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·山東·七年級月考）在數(shù)軸上，已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則4表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；（2）若-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，-3表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；（3）若數(shù)p表示的點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是______；（3）若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為m個單位長度，點(diǎn)A表示的有理數(shù)是a，并且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，請寫出此時折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是______．【答案】（1）-4；（2）5；（3）或．【分析】（1）根據(jù)對稱，若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則對稱中心是原點(diǎn)，從而找到4的對稱點(diǎn)；（2）若數(shù)﹣1表示的點(diǎn)與數(shù)3表示的點(diǎn)重合，則對稱中心是1表示的點(diǎn)，從而找到-3的對稱點(diǎn)；根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱中心平分，先找到對稱中心，再找到點(diǎn)表示的數(shù)；從而求解；（3）先得到A點(diǎn)與對稱中心的距離，再進(jìn)一步得到折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)【詳解】（1）若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則4表示的點(diǎn)與-4表示的點(diǎn)重合，故答案為：-4（2）若﹣1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，-3表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，故答案為：5（3）若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為m個單位長度，點(diǎn)A表示的有理數(shù)是a，并且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，此時若A在交點(diǎn)左邊，折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是，若A在交點(diǎn)右邊，折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是．故答案為：或【點(diǎn)睛】此題綜合考查了數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，注意：數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，即左減右加模型9.數(shù)軸上的線段移動模型【模型解讀】例1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）如圖，有兩條線段，（單位長度），（單位長度）在數(shù)軸上，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長=______；（2）若線段以1個單位長度秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度秒的速度向左勻速運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)與重合時，點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段以1個單位長度秒的速度向左勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒，當(dāng)為何值時，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為1個單位長度？【答案】-10，14，24；(2)-2；(3)t=23或25【分析】(1)根據(jù)AB、CD的長度結(jié)合點(diǎn)A、D在數(shù)軸上表示的數(shù)，即可求出點(diǎn)B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段BC的長度；(2)設(shè)相遇時間為a,分別用a表示出相遇時B、C兩點(diǎn)所表示的數(shù),讓其相等即可求出;(3)分線段AB與線段CD在相遇之前與相遇之后兩種情況，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合BC=1，得出關(guān)于t的的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）∵AB=2，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，∴點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12+2=-10；∵CD=1，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，∴點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是15-1=14．∴BC=14-（-10）=24．故答案為：-10，14，24；（2）設(shè)運(yùn)動時間為a秒時B、C相遇，此時點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-10+a，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為14-2a∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8此時點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10+a=-10+8=-2；故答案為：-2(3)當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-10-t，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為14-2t∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2=綜上所述：當(dāng)BC=1時，t=23或25；【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸等知識，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系求出點(diǎn)B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)．變式1．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小亮同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的長度；(2)小亮把木棒m、n同時沿x軸正方向移動，m、n的速度分別為4個單位/s和3個單位/s，設(shè)平移時間為t（s）①若在平移過程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，則t＝（s）；②在平移過程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長為2個單位長度時，求t的值．【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；（2）①根據(jù)中點(diǎn)的定義及距離可得答案；②分兩種情況：m在n后面時，m在n前面時，分別得到答案即可．(1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0，∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4又因為c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的長度分別為4和5；(2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：；②m在n后面時，BC＝3﹣（﹣1）＝4，設(shè)t秒重疊2個單位長度，可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面時，AD＝8﹣（﹣5）＝13，可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，綜上t＝6s或11s．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的相關(guān)概念，掌握非負(fù)數(shù)性質(zhì)和表示線段距離是解決此題關(guān)鍵．變式2．（2022·遼寧撫順·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上有