更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識題型全歸納專題05導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題：單變量的恒成立與存在問題例：1．已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)是增函數(shù)，且恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，，若至少存在一個，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．變式：1．設(shè)，其中，若僅存在一個整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)（，），對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A． B． C． D．5.1雙變量有關(guān)的恒成立與存在性問題例：1．若對于任意的，都有，則的最大值為（）A．1 B． C． D．2．已知函數(shù)，，若對任意的，存在唯一的[，2]，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]變式：1．設(shè)函數(shù)，，若對任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，若，t>0，則的最大值為（）A． B． C． D．更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識題型全歸納專題05導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題：單變量的恒成立與存在問題例：1．已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為，又時，，問題轉(zhuǎn)化為在上遞減，所以當(dāng)時，恒成立，最后參變分離得到參數(shù)的最大值.【詳解】∵在時恒成立，而時，，∴在上遞減，∴當(dāng)時，恒成立，即時，恒成立，故，∴實數(shù)的最大值為3，故選B.【點睛】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2．已知函數(shù)是增函數(shù)，且恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意設(shè)，求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，同時要分類討論，并使最小值滿足題意，再解不等式即可.【詳解】依題意，恒成立，即恒成立，令，則，又因為是增函數(shù)，所以，即.當(dāng)時，時，，時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，解得，又，因此滿足題意.當(dāng)時，時，單調(diào)遞增，而時，，所以不滿足題意.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是對函數(shù)單調(diào)性的討論，二是“邊界”值的分析.3．已知函數(shù)，，若至少存在一個，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】至少存在一個，使得成立，即在上有解，滿足即可，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷出單調(diào)性，代入最值可得實數(shù)的范圍．【詳解】由題意知至少存在一個，使得成立，即在上有解，滿足即可，設(shè)，，∵，∴，∴在上恒為增函數(shù)，∴，∴，故選：B.變式：1．設(shè)，其中，若僅存在一個整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，判斷出滿足條件的整數(shù)為1，即可得出求解.【詳解】令，，由僅存在一個整數(shù)，使得，可得僅存在一個整數(shù)，使得，，令，可得；令，可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以滿足條件的整數(shù)為1，由可得為減函數(shù)，所以，即，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得出.2．已知函數(shù)（，），對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在，上的單調(diào)性，把不等式恒成立化為，再解含有的不等式，從而求出的取值范圍．【詳解】解：結(jié)合題意，顯然，，由，，，得，，，故，在，遞增，故（1），，對任意，，，不等式恒成立，即，，即，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，也考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．3．設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值，轉(zhuǎn)化為，再令，得到，求其最大值即可.【詳解】因為不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，則在上恒成立，令，所以，若，則，在遞增，當(dāng)時，，不等式不成立，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是故選：D【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和運算求解的能力，屬于難題.5.1雙變量有關(guān)的恒成立與存在性問題例：1．若對于任意的，都有，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，易得在定義域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，進而可求出的最大值．【詳解】解：，，，，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是將原式變形為，從而構(gòu)造函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞增.2．已知函數(shù)，，若對任意的，存在唯一的[，2]，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]【答案】B【分析】求得在（，2]的值域A,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,求在的值域B,由題意可得B包含于A,可得的不等式,解不等式可得所求范圍．【詳解】解：在[，2]的值域為，但在（,2]遞減,此時∈[﹣4，）．的導(dǎo)數(shù)為，可得在遞減，遞增，則在的最小值為，最大值為，即值域為[0，e]．對任意的，存在唯一的[，2]，使得可得，可得，解得．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.變式：1．設(shè)函數(shù)，，若對任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為，求出在上的最小值與在上的最大值代入可解得結(jié)果.【詳解】因為在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，因為，所以，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，因為對任意，不等式恒成立，所以，因為，所以，解得.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2．已知函數(shù)，，若，t>0，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由，，再結(jié)合函數(shù)函數(shù)的圖象可知，，這樣轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，+∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x∈(-∞，0)時，f(x)<0，x∈(0，+∞)時，f(x)>0，作函數(shù)的