第頁第02講反比例的實際應(yīng)用能靈活利用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題利用反比例函數(shù)求出問題中的值滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學生用函數(shù)觀點解決問題的能力知識點1行程與工程應(yīng)用知識點2物理學中的應(yīng)用知識點3經(jīng)濟學的應(yīng)用知識點4生活中其他的應(yīng)用知識點5反比例函數(shù)的綜合【題型1行程與工程應(yīng)用】【典例1】（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)二模）被稱為“世紀工程”的廣西平陸運河正在建設(shè)中，運河的某標段工程需要運送的土石方總量為300000立方米，某運輸公司承擔了該項工程運送土石方的任務(wù)．?（1）設(shè)該運輸公司平均的運送速度為y（單位：立方米/天），完成運選任務(wù)所需的時間為x（單位：天）．①請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；②若該運輸公司每天可運送土石方6000立方米，則該公司完成全部運輸任務(wù)需要多長時間？（2）由于工程進度的需要，該公司實際平均每天運送土石方比原計劃多2500立方米，結(jié)果工期比原計劃減少了10天，該公司原計劃每天運送土石方多少立方米．【變式1-1】（2022秋?順平縣期末）一輛汽車行駛在從甲地到乙地的高速公路上，行駛?cè)趟璧臅r間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）請寫出這個反比例函數(shù)的解析式．（2）甲乙兩地間的距離是km．（3）根據(jù)高速公路管理規(guī)定，車速最高不能超過120km/h，若汽車行駛?cè)滩贿M入服務(wù)區(qū)休息，且要求在4.5h以內(nèi)從甲地到達乙地，求汽車行駛速度應(yīng)控制在什么范圍之內(nèi)．【變式1-2】（2023?松原模擬）在伊通河治理工程實驗過程中，某工程隊接受一項開挖水架的工程，所需天數(shù)y（單位：天）與每天完成的工程量x（單位：m/天）之間的函數(shù)關(guān)系圖象是如圖所示的雙曲線的一部分．（1）請根據(jù)題意，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若該工程隊有2臺挖掘機，每臺挖掘機每天能夠開挖水渠15m，則該工程隊需用多少天才能完成此項任務(wù)？【變式1-3】（2022?濱江區(qū)一模）市政府計劃建設(shè)一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為106立方米，某運輸公司承擔了運送土石方的任務(wù)．（1）設(shè)該公司平均每天運送土石方總量為y立方米，完成運送任務(wù)所需時間為t天．①求y關(guān)于t的函數(shù)表達式．②當0＜t≤80時，求y的取值范圍．（2）若1輛卡車每天可運送土石方102立方米，工期要求在80天內(nèi)完成，公司至少要安排多少輛相同型號卡車運輸？【題型2物理學中的應(yīng)用】【典例2】（2023春?宛城區(qū)期中）根據(jù)物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）P關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式為．（2）求當S＝0.25m2時，物體所受的壓強是Pa．（3）當1000＜P＜4000時，求受力面積S的變化范圍．【變式2-1】（2023?南海區(qū)校級模擬）小明利用如圖1所示的電路探究電流與電阻的關(guān)系，已知電源電壓為3V且保持不變，更換了5個阻值不同的定值電阻Rx，依據(jù)五次實驗的數(shù)據(jù)描點繪制了如圖2所示的圖象，已知I與Rx成反比例函數(shù)關(guān)系．以下說法不正確的是（）A．本實驗中電壓表的讀數(shù)為2.5V B．當定值電阻Rx＝10Ω時，電流表的示數(shù)為0.25A C．當電流表的示數(shù)為0.1A時，定值電阻Rx＝20Ω D．電流I與電阻Rx之間的函數(shù)關(guān)系式為【變式2-2】（2023?平城區(qū)模擬）由于王亮在實驗室做實驗時，沒有找到天平稱取實驗所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質(zhì)量（杠桿原理：動力×動力臂＝阻力×阻力臂）．如圖1，當天平左盤放置質(zhì)量為60克的物品時，右盤中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱量藥品放在右盤后，左盤放置12克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品質(zhì)量是（）A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克【變式2-3】（2023?大連模擬）根據(jù)物理學相關(guān)知識，在簡單電路中，閉合開關(guān)，當導體兩端電壓U（單位：V）一定時，通過導體的電流I（單位：A）與導體的電阻R（單位：Ω）滿足關(guān)系式，其中I與R滿足反比例函數(shù)關(guān)系，它們的圖象如圖所示．當I＝1A時，R＝3Ω．（1）求電流I關(guān)于電阻R的函數(shù)關(guān)系式；（2）若1.5A≤I≤7.5A，求電阻R的變化范圍．【題型3經(jīng)濟學的應(yīng)用】【典例3】（2023?前郭縣二模）某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其日銷售量y與上市的天數(shù)x之間成正比例函數(shù)，當廣告停止后，日銷售量y與上市的天數(shù)x之間成反比例函數(shù)（如圖所示），現(xiàn)已知上市20天時，當日銷售量為100件．（1）寫出該商品上市以后日銷售量y件與上市的天數(shù)x天之間的表達式；（2）廣告合同約定，當日銷售量不低于80件，并且持續(xù)天數(shù)不少于10天時，廣告設(shè)計師就可以拿到“特殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設(shè)計師能否拿到“特殊貢獻獎”，并說明理由？【變式3-1】（2022秋?順德區(qū)期末）某空調(diào)生產(chǎn)廠的裝配車間計劃在一段時期內(nèi)組裝一批空調(diào)，計劃是每天組裝的數(shù)量y（臺/天）與組裝的時間x（天）之間的關(guān)系如下表：組裝的時間x（天）304560每天組裝的數(shù)量y（臺/天）300200150（1）求y關(guān)于x的關(guān)系式；（2）某商場以進貨價為每臺2500元購進這批空調(diào)．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；當銷售價每降低100元時，平均每天就能多售出4臺．商場要想這批空調(diào)的銷售利潤平均每天達到3500元，且讓顧客得到最大優(yōu)惠，每臺空調(diào)的定價為多少元？【變式3-2】（2022春?邗江區(qū)期末）某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷售量與上市的天數(shù)之間成正比，當廣告停止后，銷售量與上市的天數(shù)之間成反比（如圖），現(xiàn)已知上市30天時，當日銷售量為120萬件．（1）寫出該商品上市以后銷售量y（萬件）與時間x（天數(shù)）之間的表達式；（2）求上市至第100天（含第100天），日銷售量在36萬件以下（不含36萬件）的天數(shù)；（3）廣告合同約定，當銷售量不低于100萬件，并且持續(xù)天數(shù)不少于12天時，廣告設(shè)計師就可以拿到“特殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設(shè)計師能否拿到“特殊貢獻獎”？（說明：天數(shù)可以為小數(shù)，如3.14天等）【變式3-3】（2022?撫順模擬）某汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動，交付首付款后，余額要在30個月內(nèi)結(jié)清，不計算利息，王先生在活動期間購買了價格為12萬元的汽車，交了首付款后平均每月付款y萬元，x個月結(jié)清．y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）確定y與x的函數(shù)解析式，并求出首付款的數(shù)目；（2）王先生若用20個月結(jié)清，平均每月應(yīng)付多少萬元？（3）如果打算每月付款不超過4000元，王先生至少要幾個月才能結(jié)清余額？【題型4生活中其他的應(yīng)用】【典例4】（2023春?原陽縣期中）根據(jù)傳染病防控制度的要求，學校必須對教室定期用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例；藥物燃燒完畢后，y（毫克）與時間x（分鐘）成反比例，如圖所示．請根據(jù)圖中所提供的信息，解答下列問題：（1）求當藥物燃燒時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；求藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進入教室，則從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學生才能回到教室？【變式4-1】（2022秋?渭南期末）某校根據(jù)《學校衛(wèi)生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y（mg）與燃燒時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象所示信息，解答下列問題：（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式；（2）據(jù)測定，當室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量低于3mg時，對人體無毒害作用．從消毒開始，至少在多少分鐘內(nèi)，師生不能待在教室？【變式4-2】（2022?冷水灘區(qū)校級開學）教師辦公室有一種可以自動加熱的飲水機，該飲水機的工作程序是：放滿水后，接通電源，則自動開始加熱，每分鐘水溫上升10℃，待加熱到100℃，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降，水溫y（℃）與和通電時間x（min）成反比例關(guān)系．直至水溫降至室溫，飲水機再次自動加熱，重復上述過程，設(shè)某天水溫和室溫均為20℃，接通電源后，水溫y（℃）和通電時間x（min）的關(guān)系如圖所示，回答下列問題：（1）分別求出當0≤x≤8和8≤x≤a時，y與x之間的函數(shù)表達式；（2）求出圖中a的值；（3）李老師這天早上7：30將飲水機電源打開，若他想在8：10上課前喝到不低于40℃的開水，則他要在什么時間段內(nèi)接水？【變式4-3】（2023春?靖江市期末）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般情況下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）成正比例；1.5小時后（包括1.5小時）y與x成反比例．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出一般情況下，成人喝0.25kg低度白酒后，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．【題型5反比例函數(shù)綜合】【典例5】（2023春?井研縣期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（﹣2，1），B（1，n）兩點．（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接OB，在x軸上取點C，使BC＝BO，求△OBC的面積；（3）P是y軸上一點，且△OBP是等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有P點坐標．?【變式5-1】（2023春?民樂縣校級月考）如圖，反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象相交于A（1，a）、B兩點，點C在第四象限，BC∥x軸．（1）求k的值；（2）以AB、BC為邊作菱形ABCD，求D點坐標及菱形的面積．【變式5-2】（2023?眉山）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx+b與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，2），與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點C（6，a）．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）當時，直接寫出x的取值范圍；（3）在雙曲線上是否存在點P，使△ABP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式5-3】（2023春?通許縣校級月考）已知，矩形OCBA在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，已知點B坐標為（3，6），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過AB的中點D，且與BC交于點E，順次連接O，D，E．（1）求m的值及點E的坐標；（2）點M為y軸正半軸上一點，若△MBO的面積等于△ODE的面積，求點M的坐標；（3）平面直角坐標系中是否存在一點N，使得O，D，E，N四點順次連接構(gòu)成平行四邊形？若存在，請直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由．1．（2023?大連）某種蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系．當R＝5時，I＝8，則當R＝10時，I的值是（）A．4 B．5 C．10 D．02．（2023?荊州）已知蓄電池的電壓U為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系（I＝）．下列反映電流I與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．3．（2023?隨州）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當電阻為6Ω時，電流為（）A．3A B．4A C．6A D．8A4．（2023?麗水）如果100N的壓力F作用于物體上，產(chǎn)生的壓強p要大于1000Pa，則下列關(guān)于物體受力面積S（m2）的說法正確的是（）A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m25．（2023?常州）若矩形的面積是10，相鄰兩邊的長分別為x、y，則y與x的函數(shù)表達式為．6．（2023?廣東）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達式為．當R＝12Ω時，I的值為A．7．（2023?溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了mL．8．（2023?南充）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節(jié)省N的力．（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂）9．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)y＝kx+（k為常數(shù)，k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m為常數(shù)，m≠0）的圖象在第一象限交于點A（1，n），與x軸交于點B（﹣3，0）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）點P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．10．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點，C點在x軸負半軸上，∠ACO＝45°．（1）m＝，k＝，點C的坐標為；（2）點P在x軸上，若以B、O、P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．11．（2023?盤錦）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（0，3），反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象經(jīng)過點C，BC＝AC，∠ACB＝90°，過點C作直線CE∥x軸，交y軸于點E．（1）求反比例函數(shù)的解析式．（2）若點D是x軸上一點（不與點A重合），∠DAC的平分線交直線EC于點F，請直接寫出點F的坐標．12．（2023?臺州）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度ρ（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為1g/cm3的水中時，h＝20cm．（1）求h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式；（2）當密度計懸浮在另一種液體中時，h＝25cm，求該液體的密度ρ．13．（2023?寧夏）給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（KPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）當氣球內(nèi)的氣壓超過150KPa時，氣球會爆炸，若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式V＝πr3，π取3）；（2）請你利用p與V的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．1．（2022秋?新化縣期末）某長方體的體積為100cm3，長方體的高h（單位：cm）與底面積S的函數(shù)關(guān)系式為（）A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝1002．（2022秋?歷下區(qū)期末）隨著私家車的增加，交通也越來越擁擠，通常情況下，某段公路上車輛的行駛速度y（千米/時）與路上每百米擁有車的數(shù)量x（輛）的關(guān)系如圖所示，當x≥8時，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，當車速度低于20千米/時時，交通就會擁堵，為避免出現(xiàn)交通擁堵，公路上每百米擁有車的數(shù)量x應(yīng)該滿足的范圍是（）A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥323．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）菱形的面積為2，其對角線分別為x、y，則y與x的圖象大致為（）A． B． C． D．4．（臺州）已知電流I（安培）、電壓U（伏特）、電阻R（歐姆）之間的關(guān)系為I＝，當電壓為定值時，I關(guān)于R的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．5．（2022秋?昌樂縣期末）某變阻器兩端的電壓為220伏，則通過變阻器的電流I（A）與它的電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A．B． C．D．6．（臺州）在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也隨之改變．密度ρ（單位：kg/m3）與體積V（單位：m3）滿足函數(shù)關(guān)系式ρ＝（k為常數(shù)，k≠0），其圖象如圖所示，則k的值為（）A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣47．（2023?保定一模）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當容器的體積v（單位：m3）變化時，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化．已知密度ρ與體積v是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．則正確的是（）A．函數(shù)解析式為 B．容器內(nèi)氣體的質(zhì)量是5v C．當ρ≤8kg/m3時，v≥1.25m3 D．當ρ＝4kg/m3時，v＝3m38．（2023?恩施市模擬）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時，氣球?qū)⒈ǎ疄榱税踩鹨?，氣球的體積應(yīng)（）A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于9．（2023春?榮縣校級月考）古希臘著名的科學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．小明同學用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別是1200N和0.5m，則動力F（單位：N）關(guān)于動力臂l（單位：m）的函數(shù)表達式正確的是（）A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝10．（2023?南通）某型號汽車行駛時功率一定，行駛速度v（單位：m/s）與所受阻力F（單位：N）是反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．若該型號汽車在某段公路上行駛時速度為30m/s，則所受阻力F為N．11．（2023春?市南區(qū)校級月考）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體實驗．測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（當4≤x≤10時，y與x成反比）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為小時12．（陽谷縣校級模擬）為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍為；藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過分鐘后，員工才能回到辦公室；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？13．（富順縣一模）心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2）一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？14．（2023秋?肇源縣月考）如圖正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)交于點A，從A向x軸、y軸分別作垂線，所構(gòu)成的正方形的面積為4．①分別求出正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；②求出正、反比例函數(shù)圖象的另外一個交點坐標；③求△ODC的面積．15．（云南）將油箱注滿k升油后，轎車可行駛的總路程S（單位：千米）與平均耗油量a（單位：升/千米）之間是反比例函數(shù)關(guān)系S＝（k是常數(shù)，k≠0）．已知某轎車油箱注滿油后