更多精品資料請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：超級(jí)高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識(shí)全歸納專題09導(dǎo)數(shù)壓軸題之拉格朗日中值定理（詳述版）知識(shí)考點(diǎn)趨勢(shì)簡(jiǎn)述：由于目前導(dǎo)數(shù)考試內(nèi)容的綜合化，以及導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)的多樣化，特別是考試的靈活性上是目前學(xué)校教學(xué)經(jīng)常訓(xùn)練的點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生拿捏不好導(dǎo)數(shù)章節(jié)內(nèi)容到底該學(xué)到多深入，老師講解這些試題時(shí)也總是存在意猶未盡的感覺(jué)，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)不夠充分，方法技巧性不足，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)壓軸題學(xué)習(xí)還不夠成熟，在這種情況下，作者設(shè)計(jì)次教案幫助老師和同學(xué)研究透徹該類試題和知識(shí)的應(yīng)用。拉格朗日中值定理知識(shí)點(diǎn)：（1）若函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：1.在上可導(dǎo)；2.在上連續(xù):則必有一存在,3.使得（2）幾何意義：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上y=f(x)至少存在一個(gè)點(diǎn)P（ε,f(ε)）,該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線AB（如圖）（3）拉格朗日日中值定理推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的導(dǎo)數(shù)f?(x)恒為零，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b導(dǎo)數(shù)壓軸題運(yùn)用拉格朗日中值定理典型例題：例：1.已知函數(shù)(aR)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．例：2.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明:若,則對(duì)任意,,有.變式：1.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.變式：2.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中.（1）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明：.變式：3.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè),如果對(duì)任意,,求的取值范圍.變式：4.已知函數(shù)f（x）x+alnx．（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程（用含a的式子表示）（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：．更多精品資料請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：超級(jí)高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識(shí)全歸納專題09導(dǎo)數(shù)壓軸題之拉格朗日中值定理（詳述版）知識(shí)考點(diǎn)趨勢(shì)簡(jiǎn)述：由于目前導(dǎo)數(shù)考試內(nèi)容的綜合化，以及導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)的多樣化，特別是考試的靈活性上是目前學(xué)校教學(xué)經(jīng)常訓(xùn)練的點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生拿捏不好導(dǎo)數(shù)章節(jié)內(nèi)容到底該學(xué)到多深入，老師講解這些試題時(shí)也總是存在意猶未盡的感覺(jué)，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)不夠充分，方法技巧性不足，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)壓軸題學(xué)習(xí)還不夠成熟，在這種情況下，作者設(shè)計(jì)次教案幫助老師和同學(xué)研究透徹該類試題和知識(shí)的應(yīng)用。拉格朗日中值定理知識(shí)點(diǎn)：（1）若函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：1.在上可導(dǎo)；2.在上連續(xù):則必有一存在,3.使得（2）幾何意義：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上y=f(x)至少存在一個(gè)點(diǎn)P（ε,f(ε)）,該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線AB（如圖）（3）拉格朗日日中值定理推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的導(dǎo)數(shù)f?(x)恒為零，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b導(dǎo)數(shù)壓軸題運(yùn)用拉格朗日中值定理典型例題：例：1.已知函數(shù)(aR)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．解：【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的解的情況分類討論得單調(diào)性；（2）由（1）知，化簡(jiǎn)，不等式化為，再由不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化為只要證這個(gè)不等式可利用（1）中的結(jié)論證明（也可利用拉格朗日中值定理進(jìn)行求解）即：存在x°使得f,(x°)=f(x1)?f(x2)x1?x2【詳解】（1），令當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)即或時(shí)，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，不妨設(shè)，要證即證，即，設(shè)由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減，.原式得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式．含有參數(shù)的函數(shù)在求單調(diào)區(qū)間時(shí)一般需要分類討論，可根據(jù)的根的情況分類討論．對(duì)于雙變量的不等式的證明需要進(jìn)行變形，利用雙變量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)變量的不等式，從而可引入新函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．解題過(guò)程中換元法是一種重要的方法．例：2.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明:若,則對(duì)任意,,有.【解析】：（1）,,取決于分子,開口向上的拋物線,兩根為:1,;討論兩根的大小.=1\*romani.若,兩根相等:,單調(diào)遞增;=2\*romanii.若,,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;=3\*romaniii.若,,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;法一:設(shè),只需證:,即,構(gòu)造函數(shù),只需證明在上單調(diào)遞增，,,,即在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即,,同理當(dāng)時(shí),.法二:由拉格朗日中值中定值可知存在,使,,,設(shè),,則,即.例：3.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若對(duì)任意，恒有，求a的取值范圍.解：【分析】（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系分類求解；（2）借助題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)推證.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，由已知得，所以，令得，即時(shí)，；時(shí)，；故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），由得，所以在單調(diào)遞減，設(shè)從而對(duì)任意，恒有，即，令，則等價(jià)于在單調(diào)遞減，即恒成立，從而恒成立，故設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，時(shí)，，為增函數(shù).∴,∴a的取值范圍為.【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問(wèn)題的重要而有效的工具．本題就是以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．本題的第一問(wèn)求解時(shí)借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想分類求出其單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性；第二問(wèn)的求解中則先構(gòu)造函數(shù)，然后再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)捷巧妙獲證變式：1.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.解：【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的與的關(guān)系來(lái)分類討論函數(shù)的單調(diào)性，并注意一元二次方程根的正負(fù)與定義域的關(guān)系；（2）由是兩個(gè)極值點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理形式，然后利用條件將轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于函數(shù)，再運(yùn)用的關(guān)系將不等式轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，得出最值，不等式可得證.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，令，得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）知且，所以.又由.又因?yàn)?所以要證，只需證.因?yàn)?，所以只需證，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對(duì).所以.所以若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較難題.導(dǎo)數(shù)中通過(guò)雙極值點(diǎn)求解最值或證明不等式時(shí)，可通過(guò)雙極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等式將待求的式子或待證明的式子轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于同一變量（注意變量的范圍）的式子，然后通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，分析新函數(shù)的單調(diào)性后從而達(dá)到求解最值或證明不等式的目的.變式：2.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中.（1）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明：.解：【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，得兩根，從而得出的單調(diào)區(qū)間.由用作差法比較與的大小，結(jié)合，可知，則在區(qū)間單調(diào)遞減，則其取得最小值；

（2）由的韋達(dá)定理，得，則可消去a，得，.通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)，得和，將其代入需證不等式.再得，采用換元法，反證法，將所求不等式轉(zhuǎn)化為.再用換元法，令構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最值，則可證明不等式.【詳解】.解：（1）由條件可函數(shù)在上有意義，，令，得，，因?yàn)?，所以?所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)上，所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).由可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又函?shù)在上是減函數(shù)，且，所以函數(shù)在區(qū)間上的有最小值，其最小值為.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且是方程的兩根，所以，且，，，所以，，所以，又，由（1）可知，設(shè)，，則，故要證成立，只要證成立，下面證明不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，即成立，令，即得不等式，從而成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，證明不等式，其中換元法、反證法的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于綜合性較強(qiáng)的難題.變式：3.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè),如果對(duì)任意,,求的取值范圍.【解析】：（1）,,=1\*romani.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增;=2\*romanii.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;=3\*romaniii.當(dāng)時(shí),由得,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）法一:不妨設(shè),而當(dāng)時(shí),由（1）可知在單調(diào)遞減,從而,等價(jià)于,.構(gòu)造函數(shù),只需在單調(diào)遞減,即在恒成立,分離變量法:,只需.法二:由拉格朗日定理知,,等價(jià)于,在存在,使得成立,只需恒成立,只需,得或(舍去).變式：4.已知函數(shù)f（x）x+alnx．（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程（用含a的式子表示）（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：．解：【分析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出切線斜率，即可得到切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)g（x）＝﹣x2+ax﹣1，進(jìn)行分類討論即可得到原函數(shù)單調(diào)性；（3）結(jié)合（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明1，根據(jù)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為考慮h（x）＝2lnx﹣x的單調(diào)性比較大小即可得證.【詳解】（1）∵f（x）x+alnx（x＞0）∴f′（x）（x＞0）∴當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝0，f′（1）＝﹣2+a，設(shè)切線方程為y＝（﹣2+a）x+b，代入（1，0），得b＝2﹣a，∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），設(shè)g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1，①當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；②當(dāng)a＞0時(shí)，判別式△＝a2﹣4，（i）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；（ii）當(dāng)a＞2時(shí)，令f′（x）＞0，得：x；令f′（x）＜0，得：0＜x或x；∴當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增，在（0，），（，+∞）單調(diào)遞減；綜上所述，綜上當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞2時(shí)，在（0，），（，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（，）上是增函數(shù)．（3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，則f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2]＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣ln