2025屆上海市第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線型自然通風(fēng)塔外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.2．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績，在高考后對我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本，這項調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機(jī)抽樣法3．已知直線過點，，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點,則的值為A. B.C. D.5．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.6．與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.7．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動作用，促進(jìn)教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開展送教下鄉(xiāng)活動，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.1008．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A B.C. D.9．“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點，在線段上，則與平面的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點的位置而定12．已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________14．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______15．已知點F是拋物線的焦點，點，點P為拋物線上的任意一點，則的最小值為_________.16．已知矩形的長為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，是實數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點D為圓心且與直線l相切的圓的方程19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論20．（12分）已知拋物線C：焦點F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.21．（12分）如圖，在長方體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長為2，且動點P在線段AC上運動（1）若Q為的中點，求點Q到平面的距離；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以的中點О為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，，代入雙曲線的方程，求得，得到，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】以的中點О為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)雙曲線的方程為，則，可設(shè)，，又由，在雙曲線上，所以，解得，，即，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.第II卷2、B【解析】考生分為幾個不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即故選：C4、C【解析】根據(jù)題意可知，結(jié)合的條件，可知，故選C考點：橢圓和雙曲線性質(zhì)5、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).6、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C7、D【解析】對甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個人去一個學(xué)校時，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個老師時，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個老師時，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點睛】方法點睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數(shù)問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解【詳解】由已知，故選：D9、B【解析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】因但11、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因為在直三棱柱中，M，N分別是，AB的中點，所以∥.因為平面內(nèi)，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因為，平面，平面，所以平面∥平面.又因為P點在線段上，所以∥平面.故選：B.12、A【解析】由終邊上的點可得，由同角三角函數(shù)的平方、商數(shù)關(guān)系有，再應(yīng)用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設(shè)，，，則，又，，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)投影向量的知識求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.15、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，故的最小值為3，故答案為：3.16、或##或【解析】分兩種情況進(jìn)行解答，①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)．進(jìn)行解答即可【詳解】解：①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個底面積側(cè)面積，即：，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個底面積側(cè)面積，即：，故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先將代入化簡，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）先對化簡，再由題意可得從而可求得結(jié)果【小問1詳解】因為，所以，因為是實數(shù)，所以，解得.故.【小問2詳解】因為，所以.因為復(fù)數(shù)所表示的點在第二象限，所以解得，即實數(shù)m的取值范圍是.18、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦點弦公式計算可得；（2）由（1）可得，再利用點到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.19、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達(dá)定理；由中點公式求出點，進(jìn)而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理可化簡，進(jìn)而得證.【小問1詳解】設(shè)，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進(jìn)行證明：設(shè)直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標(biāo)為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.20、（1）；（2）原點在以線段AB為直徑的圓上，詳見解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線的焦點，即求；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問2詳解】由題可設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點在以線段AB為直徑的圓上.21、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量，結(jié)合點到平面的距離的向量求法計算即可；(2)設(shè)點，，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可列出線面角正弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，于是，，，，，設(shè)平面法向量