高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省五市2024屆高三第二次聯(lián)合調(diào)研檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，則．故選：A．2.是的內(nèi)角的對邊，若，則（）A. B. C.3 D.6〖答案〗B〖解析〗由以及余弦定理，得，解得（負值舍去）．故選：B．3.等比數(shù)列滿足：，，則等于（）A.128 B.256 C.512 D.1024〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列an的公比為，則且，即，解得，則.故選：C.4.若向量滿足，則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗因為向量，滿足，，，所以，即，所以，則．故選：A．5.將甲，乙等5人全部安排到四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（）A72種 B.108種 C.126種 D.144種〖答案〗C〖解析〗由題意可知，分兩種情況討論，①工廠安排1人，有種，②工廠安排2人，有種，所以不同的安排方法有種．故選：C．6.已知集合，若集合有15個真子集，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若集合有15個真子集，則中含有4個元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個整數(shù)，①當時，,的區(qū)間長度，此時,中不可能含有4個整數(shù)；②當時，,,，其中含有4、5、6、7共4個整數(shù)，符合題意；③當時，,的區(qū)間長度大于3，若,的區(qū)間長度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時,,，其中含有5、6、7、8共4個整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個整數(shù)，則必須且，解得；若時，,，其中含有5、6、7、8、9共5個整數(shù)，不符合題意；當時，,的區(qū)間長度，此時,中只能含有6、7、8、9這4個整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．7.雙曲線的左?右焦點分別為，過作圓：的切線，切點為，該切線交雙曲線的一條漸近線于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，連接，則，，，為的中點，，，，設(shè),，，，，點在漸近線上，，離心率．故選：B．8.已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)一點，且五點在同一個球面上，若，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為，，，依題意，可知，，則，，，解得，，由于，即異面直線和的距離為，由于長方體的左右側(cè)面為正方形，所以，取中點，連接，則左側(cè)面，在左側(cè)面，所以，又平面，故平面，四面體的外接球半徑為，球心為，由，知點的軌跡為一個圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，圓心為，過作球的一個軸截面，所以，且，，且，解得，所以的軌跡長度為．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，，為兩兩不重合的平面，，，為兩兩不重合的直線，下列四個命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則〖答案〗CD〖解析〗A.若，，則或相交，所以該選項錯誤；B.若，，，，則或相交，所以該選項錯誤；C.若，，則由面面平行的性質(zhì)定理得，所以該選項正確；D.若，，，，則，所以，所以該選項正確.故選：CD.10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A.是周期函數(shù)B.C.的圖象關(guān)于直線對稱D.〖答案〗ABC〖解析〗由可得，所以，所以的周期為4，故A正確；由，令，則，所以，又，故B正確；由，可知函數(shù)關(guān)于對稱，又的周期為4，則，所以，即函數(shù)關(guān)于對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；由，且關(guān)于對稱，則，所以，又，且，則，又，所以，，故D錯誤故選：ABC.11.把一個三階魔方看成是棱長為1的正方體，若頂層旋轉(zhuǎn)（為銳角），記表面積增加量為，則下列說法正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最大值為 D.的最大值為〖答案〗BC〖解析〗設(shè)三角形的斜邊長為，則①，所以，對于A，當時，由①式得，，所以，故A錯誤；對于B，的對稱軸為，，當時，，即的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確；對于CD，，因為，當且僅當時，等號成立，又由①可得，，所以，因為為銳角，所以，所以,，所以,，所以,，所以,，所以，即，故C正確，D錯誤．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中x的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗在的的展開式中，通項公式為，令，解得；展開式中的系數(shù)為：．故〖答案〗為：．13.函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗顯然不是函數(shù)的零點，故，，令，則，由題意可得，與的圖象有一個交點，當時，，在1,+∞單調(diào)遞增，當且時，，在單調(diào)遞減，且，的大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，時，符合題意．14.拋物線的焦點為為上一點，為軸正半軸上一點，若是等邊三角形，則直線的斜率為__________，__________.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點為,，準線方程為，設(shè)，則，，當位于第一象限時，,．是等邊三角形，，設(shè),，則，，化簡得，解得，當時，，當時，，此時,而為軸正半軸上一點，無法使得為等邊三角形，故舍去，當位于第四象限時，,．是等邊三角形，，設(shè),，則，，化簡得，解得，當時，，此時,而為軸正半軸上一點，無法使得為等邊三角形，故舍去，，當時，，，，綜上可得，直線的斜率為，或．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：，并求數(shù)列的前項和.（1）解：當時，；當時，，，當時，適合上式，故.（2）證明：，成立，，，，，累加得，即，.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，側(cè)面為等邊三角形，為的中點，且.（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：取中點為中點為，連接，因為為的中點，所以，且，因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，故，因為，所以，所以，因為為等邊三角形，為的中點，所以因為平面平面所以平面，平面，所以，所以為等腰三角形，又，所以為等邊三角形，所以.（2）解：設(shè)，因為，所以，因為和均為等邊三角形，為的中點，所以，所以，所以，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)平面，平面的法向量分別為，則，令，則，由，令，則，所以，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值為.17.某班欲從6人中選派3人參加學校投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲?乙兩隊進行選拔比賽.經(jīng)分析甲隊每名隊員投籃命中的概率均為，乙隊三名隊員投籃命中的概率分別為，.現(xiàn)要求所有隊員各投籃一次（隊員投籃是否投中互不影響）.（1）若，求甲?乙兩隊共投中5次的概率；（2）以甲?乙兩隊投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若乙隊獲勝，求的取值范圍.解：（1）記“甲，乙兩隊共投中5次”為事件，則可以是甲隊投中3次，乙隊投中2次或者甲隊投中2次，乙隊投中3次，則，甲?乙兩隊共投中5次的概率為；（2）記甲?乙兩隊投中次數(shù)分別為，則，所以，的取值為，則，，，，所以，的分布列為0123那么乙隊投中次數(shù)的期望為若乙隊勝，則，解得，所以的取值范圍為.18.已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：，由題知在0,+∞有兩個不等實根（設(shè)，所以，解得.故實數(shù)的取值范圍是0,1.（2）證明：由（1）知，，令，記則故在0,1上單調(diào)遞增，又，所以，使，即，當時，故在上單調(diào)遞減；當時，故在上單調(diào)遞增；故，綜上，成立.19.如圖，為圓上一動點，過點分別作軸?軸的垂線，垂足分別為，點滿足，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的兩條直線分別交曲線于兩點，且，求證：直線過定點；（3）若曲線交軸正半軸于點，直線與曲線交于不同的兩點，直線分別交軸于兩點，試探究：軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.（1）解：設(shè)，則，由知，，，在上，，即，故曲線的方程為：.（2）證明：由題知直線與坐標軸不平行，不妨設(shè)，聯(lián)立，得，解得或（舍去），，此時，同理，當時，，，直線的方程為，易知直線過定點，當時，直線斜率不存在，此時方程為，綜上，直線過定點.（3）解：假設(shè)存在使得，設(shè)，因為，所以，即，即，關(guān)于軸對稱，設(shè)，易知，故方程為：，令，得，同理，，又，解得，故存在點符合題意.河南省五市2024屆高三第二次聯(lián)合調(diào)研檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，則．故選：A．2.是的內(nèi)角的對邊，若，則（）A. B. C.3 D.6〖答案〗B〖解析〗由以及余弦定理，得，解得（負值舍去）．故選：B．3.等比數(shù)列滿足：，，則等于（）A.128 B.256 C.512 D.1024〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列an的公比為，則且，即，解得，則.故選：C.4.若向量滿足，則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗因為向量，滿足，，，所以，即，所以，則．故選：A．5.將甲，乙等5人全部安排到四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（）A72種 B.108種 C.126種 D.144種〖答案〗C〖解析〗由題意可知，分兩種情況討論，①工廠安排1人，有種，②工廠安排2人，有種，所以不同的安排方法有種．故選：C．6.已知集合，若集合有15個真子集，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若集合有15個真子集，則中含有4個元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個整數(shù)，①當時，,的區(qū)間長度，此時,中不可能含有4個整數(shù)；②當時，,,，其中含有4、5、6、7共4個整數(shù)，符合題意；③當時，,的區(qū)間長度大于3，若,的區(qū)間長度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時,,，其中含有5、6、7、8共4個整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個整數(shù)，則必須且，解得；若時，,，其中含有5、6、7、8、9共5個整數(shù)，不符合題意；當時，,的區(qū)間長度，此時,中只能含有6、7、8、9這4個整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．7.雙曲線的左?右焦點分別為，過作圓：的切線，切點為，該切線交雙曲線的一條漸近線于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，連接，則，，，為的中點，，，，設(shè),，，，，點在漸近線上，，離心率．故選：B．8.已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)一點，且五點在同一個球面上，若，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為，，，依題意，可知，，則，，，解得，，由于，即異面直線和的距離為，由于長方體的左右側(cè)面為正方形，所以，取中點，連接，則左側(cè)面，在左側(cè)面，所以，又平面，故平面，四面體的外接球半徑為，球心為，由，知點的軌跡為一個圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，圓心為，過作球的一個軸截面，所以，且，，且，解得，所以的軌跡長度為．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，，為兩兩不重合的平面，，，為兩兩不重合的直線，下列四個命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則〖答案〗CD〖解析〗A.若，，則或相交，所以該選項錯誤；B.若，，，，則或相交，所以該選項錯誤；C.若，，則由面面平行的性質(zhì)定理得，所以該選項正確；D.若，，，，則，所以，所以該選項正確.故選：CD.10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A.是周期函數(shù)B.C.的圖象關(guān)于直線對稱D.〖答案〗ABC〖解析〗由可得，所以，所以的周期為4，故A正確；由，令，則，所以，又，故B正確；由，可知函數(shù)關(guān)于對稱，又的周期為4，則，所以，即函數(shù)關(guān)于對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；由，且關(guān)于對稱，則，所以，又，且，則，又，所以，，故D錯誤故選：ABC.11.把一個三階魔方看成是棱長為1的正方體，若頂層旋轉(zhuǎn)（為銳角），記表面積增加量為，則下列說法正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最大值為 D.的最大值為〖答案〗BC〖解析〗設(shè)三角形的斜邊長為，則①，所以，對于A，當時，由①式得，，所以，故A錯誤；對于B，的對稱軸為，，當時，，即的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確；對于CD，，因為，當且僅當時，等號成立，又由①可得，，所以，因為為銳角，所以，所以,，所以,，所以,，所以,，所以，即，故C正確，D錯誤．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中x的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗在的的展開式中，通項公式為，令，解得；展開式中的系數(shù)為：．故〖答案〗為：．13.函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗顯然不是函數(shù)的零點，故，，令，則，由題意可得，與的圖象有一個交點，當時，，在1,+∞單調(diào)遞增，當且時，，在單調(diào)遞減，且，的大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，時，符合題意．14.拋物線的焦點為為上一點，為軸正半軸上一點，若是等邊三角形，則直線的斜率為__________，__________.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點為,，準線方程為，設(shè)，則，，當位于第一象限時，,．是等邊三角形，，設(shè),，則，，化簡得，解得，當時，，當時，，此時,而為軸正半軸上一點，無法使得為等邊三角形，故舍去，當位于第四象限時，,．是等邊三角形，，設(shè),，則，，化簡得，解得，當時，，此時,而為軸正半軸上一點，無法使得為等邊三角形，故舍去，，當時，，，，綜上可得，直線的斜率為，或．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：，并求數(shù)列的前項和.（1）解：當時，；當時，，，當時，適合上式，故.（2）證明：，成立，，，，，累加得，即，.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，側(cè)面為等邊三角形，為的中點，且.（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：取中點為中點為，連接，因為為的中點，所以，且，因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，故，因為，所以，所以，因為為等邊三角形，為的中點，所以因為平面平面所以平面，平面，所以，所以為等腰三角形，又，所以為等邊三角形，所以.（2）解：設(shè)，因為，所以，因為和均為等邊三角形，為的中點，所以，所以，所以，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)平面，平面的法向量分別為，則，令，則，由，令，則，所以，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值為.17.某班欲從6人中選派3人參加學校投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲?乙兩隊進行選拔比賽.經(jīng)分析甲隊每名隊員投籃命中的概率均為，乙隊三名隊員投籃命中的概