高等數(shù)學(xué)公式篇Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

?平方關(guān)系：cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

sinA2(a)+cosA2(a)=1tant=B/A

tanA2(a)+1=secA2(a)Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

cotA2(a)+1=cscA2(a)?倍角公式：

,積的關(guān)系：sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)

sina=tana*cosacos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

cosa=cota*sinatan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

tana=sina*seca

cota=cosa*csca?三倍角公式：

seca=tana*cscasin(3a)=3sina-4sinA3(a)

csca=seca*cotacos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

?倒數(shù)關(guān)系：?半角公式：

tanacota=1sin(a/2)=±>/((1-cosa)/2)

sinacsca=1cos(a/2)=±^((1+cosa)/2)

cosaseca=1tan(a/2)=±A/((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

直角三角形ABC中，?降塞公式

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

余弦等于角A的鄰邊比斜邊cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

正切等于對邊比鄰邊，tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

?萬能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

?三角函數(shù)恒等變形公式cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

?兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp?積化和差公式：

cos(a-p)=cosacosp+sina-sinpsinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

sin(a±p)=sinacosp±cosasinpcosa-sinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)cosacosp=(1/2Xcos(a+p)+cos(a-p)]

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

?三角和的三角函數(shù)：?和差化積公式：

sin(a+p+Y)=sinacospcosY+cosasinpcosY+cosacospsinY-sinasinpsina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

?sinysina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-|3)/2]

cos(a+p+Y)=cosacospcosY-cosasinpsinY-sinacospsinv-sinasinp-cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosycosa-cosP=-2sin[(a+P)/2]sin[(a-p)/2]

tan(a+P+Y)=(tana+tanp+tanY-tanatanptanY)/(1-tanatanp-tanptanY-t

anytana)?推導(dǎo)公式

tana+cota=2/sin2a

?輔助角公式：tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2acos(2n—a)=cosa

1-cos2a=2sinA2atan(2n—a)=~tana

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2cot(2TT—a)=—cota

?其他：公式六：

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+.......+sin[a+2n*(n-1)n/2±a及3n/2±a與a的：.角函數(shù)值之間的關(guān)系：

/n]=0sin(n/2+a)=cosa

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+.......+cos[a+2n*(cos(n/2+a)=—sina

n-1)/n]=0以及tan(Ti/2+a)=—cota

sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2cot(n/2+a)=-tana

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=Osin(TT/2—a)=cosa

三角函數(shù)的角度換算cos(n/2—a)=sina

［編輯本段］tan(n/2—a)=cota

公式一：cot(n/2—a)=tana

設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin(3TT/2+。)=-cosa

sin(2krr+a)=sinacos(3n/2+a)=sina

cos(2E+a)=cosatan(3n/2+a)=—cota

tan(2kn+a)=tanacot(3n/24-a)=—tana

cot(2kir+a)=cotasin(3n/2—a)=—cosa

cos(3n/2—a)=—sina

公式二：tan(3n/2—a)=cota

設(shè)a為任意角，iT+a的：.角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：cot(3TT/2—a)=tana

sin(n+a)=—sina(以上k￡Z)

cos(n+a)=—cosa部分高等內(nèi)容

tan(n+a)=tana［編輯本段］

cot(n+a)=cota?高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：

sinx=［eA(ix)-eA(-ix)］/(2i)cosx=［eA(ix)+e

公式三：tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

任意角aq-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：泰勒展開有無窮級數(shù)，eAz=exp(z)=1-Fz/1!+zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!

sin(—a)=—sina+...+zAn/n!+…

cos(-a)=cosa此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。

tan(-a)=—tana?三角函數(shù)作為微分方程的解：

cot(—a)=—cota對于微分方程組y=-y";y=y"”，有通解Q,可證明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。

公式四：補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)一雙曲函數(shù)，

利用公式二和公式三可以得到Ti-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。

sin(TT—a)=sina特殊三角函數(shù)值

cos(n—a)=-cosaaO'30'45'60'90'

tan(TT-a)=-tanasina01/2<2/2，3/21

cot(IT—a)=-cotacosa143/2\*2/21/20

tana0?3/31寸3None

公式五：cotaNone431、3/30

利用公式一和公式三可以得到2n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(2n—a)=-sina

導(dǎo)數(shù)公式:一些初等函數(shù):兩

2

(rgx)'=secx(arcsinx)=/—

J1-.x2

(cfgx)'=-csc2X

1

(arccosx)r=——『

(secx)=secx-tgxVi

(cscx)'=-escx-ctgx1

(arctgx)-

(*')'=aIna1+x-

1

(logax)'(arcctgx)=------

+x2

基本積分表：個(gè)重要極限：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cfdxr_2j》

r_=secxdx=tgx+C

班士Jsinx1

^ctgxdx=ln|sin+名曲正弦：lim------=1

J->0x

esc2xdx=-ctgx+C

附公用吐+姍皆弦:向

lim(l+-ye=2.718281828459045…

JsecS"?tgxdx=secx+CX—>8X

jcscxdx=ln|cscx-以gx|+C

§hxex-e~x

Cdx1犯正切：而=jvsc產(chǎn)cgdx}-escx+C

—：----7=—arctg—+C

JQ+xa

,cirshx=ln(x+—+c

*輸打工±ln(x嚴(yán)

2ashxdx=chx+C

pdx

J-22chxdx=shx+C

Ja-x2aa-xJ

cdx.工「=In(x+7x2±a2)+C

2-x2a

n

2>n—\

“=jsinn

"xdx=\cosxdx=——In2

n

0o~

_____Q2---------------

+Q~4----ln(x+)+(7

2

2,______

2222Q[22

JVx-adx-^y/x-a-----Inx+7x-a+C

2

T?x廠

/J/一犬dx=^-x+—arcsin—+C

2a

三角函數(shù)的有理式積分：

.2w1-u2x,2du

，，

sinx=------7COSX=------27u=tg6—,dx=------r

1+/1+W2l+〃2

三角函數(shù)公式:

-誘導(dǎo)公式：

、^數(shù)

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tg?-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

?和差角公式：.和

sina+sin夕=2sin°cos―—―

sin(a土夕)=sinacos0±cosasin/3

22

cos(a±0)=cosacos+sinasinp

..nca+B.a-0

sina-sin夕=2cos—sin-

tg(a±p)=詈5

1+tga-tg

?！?。a+/?a—p

cosa+cos/二2cos-cos--^―

ctgft±ctgaa+/7.a-f3

cosa-cosp-2sin---sin---

差化積公式:

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos?a-sin2asin3a=3sintz-4sin3^

ctg2a-lcos3a=4cos3a_3cosa

ctgla

2ctgatg3a=*gaTfa

%gal-3tg2a

tg2a=l-fg2a

弧微分公式：ds=+其中)，=tga

?半角公式:

a平均啊稔蠢玲:從M點(diǎn)到M，點(diǎn),切線斜率的傾角

sin—=±cos—=±

222

△a

a,1-COS6Z1-cosasinaaM八將aKl4Ho*

tg—=±^l-----------=------------=------------c吆耳=士aA“、，"C"ZAVrV,-；7a+y2）3'

21+COS6Zsina1+cosa-cosasinacosa

直線：K=0;

b

?正弦定理：——=2R?余半徑為〃的圓：K=—.

sinAsin6sinCa

弦定理:2=a2+b2-2abcosC

c定積分的近似計(jì)算:

矩形法：']7(x)b-a、

反三角函數(shù)性質(zhì)：X----（z%+必+…+加）

n

7171a

arcsinx-----arccosxarctgx=--arcctgx

hb-aA、,

2梯形法:J/(x)z

a一

b?_

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式:拋物線法：]7(x)?丁。(%+北)+2(為+%+…+K-2)+

〃

aJ3

k=0定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

=uMv+nu"I、'+〃（鼠—l）“（"-2）y〃+…+〃(〃-1)…幅氣川聲鏟)+…十^(,0

2!k\

水壓力：F=pA

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：引力:為引力系數(shù)

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f'^)(b-a)_i〃

柯西中值定理:‘⑸二’.)=半^函數(shù)的平均值5=——[f（x）dx

b-aJ

F(b)—F(a)F'延)

當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定哪方根:嚴(yán)⑴山

曲率:空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距圖：d=\M]M2\=4區(qū)-2)-+(%-噌元由敢徼泌冷及應(yīng)用

向量在軸上的投影:Prj“耗=^^cos/，9是而與“軸的夾角。36

.du,du.du

____金被分：dz=—d九+—dydu——axH---ayH---

Sxdxdy&

Prju(q+4)=PrM+Pr期/

=同?同cose=a、么++a力一,是一個(gè)數(shù)量，全微分的近似計(jì)算：Azdz=。(x,y)Ax+y)Ay

a-bIIIIxxyav)hvc4fv(x,

。也+。也+4何元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法:

兩向量之間的夾角:cos。=-

+a：+a；?擊/+行冊C)#(f)]dzdudzdv

dtdtdvdt

k_dzdudzdv

，同=I如Wsina例：線速度:Z?瞰戶，心,刈-

c=axh=axayadudxdvdx

bbb當(dāng)〃=u(xy),v=v(x,y)時(shí)，

xy9

.du.du.d-dy

ayadu-——ax-\dy

IXdxdy

向量的混合積:[拓l]=(2xB)V=么b、,bcoscr,a為MU/角T3時(shí),

攵的求導(dǎo)公式:

Xc”c

代表平行六面體的體積。隱函數(shù)F(x,y)=O,

dx~E

隱函數(shù)F(x,y,z)=O,包__乙dz

dxF.dy

平面的方程:

1、點(diǎn)法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中方={A,8,C}，M)(Xo，yo，Zo)

2、一般方程：Ax+8y+Cz+Q=0dF

F(x,y,w,v)=O」二

隱函數(shù)方程組:3(F,G)du

3、截距世方程:2+上+工=1G(x,y,w,v)=0S(w,v)dG

abc

du

平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：4=辰。；叱.+翕2+9|

a(F,G)dv1e(F,G)

5(%,v)dxJd(u,x)

x=^mt1d(F,G)

空間直線的方程:土a=匕比

y^^+ntj3(“,y)

mn

z=z0+pt

二次曲面:微分法在幾何上的應(yīng)用：

222

1、橢球面:二+=+1

ab"

拋物面:二+q=

2、Z,(p,q同號(hào))

2P2q

3、雙曲面:

222

單葉雙曲面-云=1

222

雙葉雙曲面:二-'+0=1(馬鞍面)

a~b-c

X=(p(t){x,y)dxdy-{rcos0,rsm9)rdrd0

%-Xo二y-Vo臥-Zo

空間曲線<y=以f)在點(diǎn)M(Xo，yo，Zo)處的切線方程：，，、，,、，,、

=八9優(yōu))少?！?

〔'一㈠曲面z=/(x,y)的面積Adxdy

在點(diǎn)M處的法平面方程：”%)(x-/)+/(幻"-%)+〃(%)([-Z0)=0

魯則切向量1J}Jw(x，y)db

若空間曲線方程為:-M、

評面聊頌1;邛區(qū)y=-：

而JJp(x,y)dcrM

曲面/(尤,y,z)=0上一點(diǎn)Af(x0,y0,z0),則:D

1、過此點(diǎn)的法向量：方=｛工(工0，〉0,10)，4(》(),凡,用而二薄費(fèi)嘴|藕物慣量：對于x軸/、.=JJy20(x,y)db,

2、過此點(diǎn)的切平面方程：工(/，加之心-加+胃篩哪例初喝萍砂融飄凝方融⑷您〉。/

3、過此點(diǎn)的法線方程:一口_=_匕%_=；%T7)xd(7_yj|p(x,y)yda

工(Xo，yo，Zo)Fv(Xo，為，Zo人粗3

D(x2+y2+a2)2D2222

方向?qū)?shù)與梯度:(x+y+a)

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向/的方向增露嘉盛驟+知”

其中夕為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。x=rcos^

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：812(葉(兀>)=圖？夕事了y-rsin^,y,z)dxdydz=jjjF(r,6>

dxdyz=z

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：2=grad/(x,y)?。，其匚限4bo訴阮@勵(lì)可〃rc的防響i超的)

dl「

x=rsincos

單位向量。

球面坐標(biāo)，y=rsin^sin^,dv-rd(p-rsm(p-dO-dr

.,?■^■是8國4/(蒼丁)在/上的投影。

z=rcos(p

dl

Inn

y,z)dxdydz=sin(pdrd(pdO=Jd。j

多元函數(shù)的極值及其求法:

Coo

詢go，yo)=〃/，％)=。令：九(/。0)=4蜃機(jī),加Z吉,jj強(qiáng)航^o)yG-L“卜時(shí)

AC-B2>0時(shí)『<0，(/，打)譬需

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=jjj(y2+z2)/xlv,

4>0,(乙,為)為極小值x=JU，+3)0

貝1乂4。一32<0時(shí)，無極值cQ

AC-1=0吐不確定

曲線積分:

第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：

設(shè)/Xx,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：[、=""),

重積分及其應(yīng)用:(a<t

y=必。

P____________

J/(x,y)ds=⑴出(a<￡)

第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為?=/),則：

(7=*)

P

Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P[(p(t),i//(t)](pXt)+。[夕(f),〃(/)]/?)}dt

La

兩類曲線積分之間的關(guān)系:JPdx+Qdy=pFcosa+geos[3)ds,其中謝夕分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。

格林公式:Jj(詈■-^-)dxdy=JPdx+Qdy格林公式：J，(篁^-^-)dxdy-jPdx+Qdy

當(dāng)P=-y,Q=x,即:①■一旦'=2時(shí)，得到。的面積：A=[\dxdy=—<\xdy-ydx

dxdy-2/''

?平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且孚二色。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)

oxdy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積：

在絲=無時(shí)，Pdx+Qfy才是二元函數(shù)“(x,y)的全微分，其中：

dx8y

*,y)

u(x,y)=jP(x,y)dx+Q{x,y)dy,通常設(shè)/=凡=0。

“0，%)

曲面積分:

對面積的曲面積分:JJ/(x,y,z)ds=y,z(x,y)]Ql+z；(x,y)+z；(x,y)dxdy

x%

對坐標(biāo)的曲面積分:J]P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

z

y,z)dxdy=+y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào);

工D“

j|p(x,y,z)dydz-±jj/3[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào);

]]Q(X,y,z)dzdx=士y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。

2為

兩類曲面積分之間的關(guān)系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=||(尸cosa+Qcosp+Rcos/)Ji

2z

高斯公式:

1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法—根植審斂法（柯西判別法）

fff(—4-+—)^Zv=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=妹尸cosa+Q序手/蚱大微筋噴^

Q&②dy&#設(shè)：溪limM，則夕>1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

H—>00

高斯公式的物理意義——通量與散度:0=1時(shí),不確定

散度：divv=—+—+—，即：單位體積內(nèi)笳比里翦林質(zhì)量，若div”0,則為消失…

dxdydz「<1時(shí)，級數(shù)收斂

通量:J。?nds=Jj(Pcosa+2cos/?鋤?cp邛i加器,貝小夕>1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

￡2=1時(shí)，不確定

因此，高斯公式又可寫成:JJJdivXdy=抒4〃的、定義法.

s“=〃]+M,+…+"“;lims“存在，則收斂；否則發(fā)散。

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：--

9tt,d品R一dQ益.,"叱,（,d蒞P一d至R.族,,?。?菽8Q一dP詼.,",辦麥微,麟_,絹_鞋,-…

（或—Wj+〃2-〃3+…，〃八〉0）的

dydzdzdxdxdy歲如巢斜昔繆?滿足那么級數(shù)收斂且其和st

ddd

上式左端又可寫成:“=1

dxdydzzdxdydz

PQRP絕對M斂與巍收斂：

dR_a。dPdR5QdP

空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件:在7痂計(jì)縱三年'"+…'其中％為任意實(shí)數(shù)；

dydz

⑵同+向+同+…+|+…

ik

dd如果（2）收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；

旋度：rotA=

~dxdz如果（2）發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級數(shù)。

PR

向量場Z沿有向閉曲線「的環(huán)流量：

r1

級數(shù)收斂;

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

P<1時(shí)發(fā)散

P級數(shù)

等比數(shù)歹1」：1+4+才+…+01=三np>1時(shí)收斂

1一4

等差數(shù)列J+2+3+…+〃=四3寨級數(shù):

2

調(diào)和級數(shù)：1+l+!+…+工是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

/100a00

八x|<l時(shí)，收斂于;~/(o=4+yA.sin(H(y?+(pn)=-^-+Y(atlcosox+bnsinn

l+x+x~+x+…+X+3{1—Xn=l2〃=[

時(shí)，發(fā)散其中，劭=44，％=4萬11夕“，bnAncos(pn,cot=x。

對于級數(shù)⑶%++???+%x"+…，如果詡建較鹿原茶般斂§山聞卒是在全sin〃x,cos〃x…任意兩，

l\x\<R時(shí)收斂上的積分=0。

數(shù)軸上都收斂，則必存在R,使(|x|〉R時(shí)發(fā)散,

$鄴重曾中斂半徑。

\忖=R時(shí)不定

as

f(x)=—+(ancosnx+bnsinnx\周期=24

2n=\p手0時(shí)，R=一

1，p

求收斂半徑的方法：設(shè)lim4包=夕，其中a”，a“+i是(3的是攀J硼)泮邳翊R，羯01,2…)

28a?其中v:、0=+8時(shí)，R=0

bn=—^f(x)^mnxdx(n=1,2,3…)

、一點(diǎn)

乃2

函數(shù)展開成幕級數(shù):1+門+.111工(相加