專題19平面向量與解三角形新定義題目錄TOC\o"1-1"\h\u一、平面向量定義題 1二、解三角形定義題（選填題） 3三、解三角形定義題（解答題） 5一、平面向量定義題1．（23-24高一下·寧夏吳忠·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知，為所在平面上的點(diǎn)，滿足，，則歐拉線一定過（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·上海楊浦·期末）已知且，，選項(xiàng)中的命題都正確的是（

）.（1）不等式恒成立；（2）設(shè)，，，，，如果四邊形的面積為s，那么存在使成立；（3）對(duì)任意時(shí)，不等式恒成立；（4）對(duì)任意時(shí)，不等式恒成立.A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.9485．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知集合且且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，定義：，若，則“存在使”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）對(duì)任意兩個(gè)非零向量，定義.若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數(shù)，則的取值范圍是.7．（23-24高一下·湖南·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為.二、解三角形定義題（選填題）1．（23-24高三·安徽馬鞍山·期末）若一個(gè)四面體的四個(gè)側(cè)面是全等的三角形，則稱這樣的四面體為“完美四面體”，現(xiàn)給出四個(gè)不同的四面體，記的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，其中一定不是“完美四面體”的為（

）A． B．C． D．2．（多選）（2024·江西·模擬預(yù)測）黃金分割是指將整體一分為二，較小部分與較大部分的比值等于較大部分與整體部分的比值，其比值為，這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例．四名同學(xué)對(duì)此展開了探究，下列說法中正確的是（

）A．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為．小歐提出只要滿足，橢圓的離心率就等于B．一頂角等于的等腰三角形，小斯通過正、余弦定理和二倍角公式，算得該三角形底邊長與腰長的比值等于C．假設(shè)，小萊發(fā)現(xiàn)若公比大于0的等比數(shù)列與著名的斐波那契數(shù)列的遞推公式相同，則數(shù)列的公比等于D．小利在閱讀時(shí)了解到：古老的雅典帕提農(nóng)神廟，其柱頂至屋頂?shù)木嚯x與柱高滿足，則3．（多選）（2023·黑龍江大慶·三模）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長為4的正四面體作勒洛四面體，如圖，則下列說法正確的是（

）A．平面截勒洛四面體所得截面的面積為B．記勒洛四面體上以C，D為球心的兩球球面交線為弧，則其長度為三、解三角形定義題（解答題）1．（23-24高一下·廣東佛山·期中）三角形的布洛卡點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)．當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件時(shí)，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角．如圖，在中，角，，所對(duì)邊長分別為，，，記的面積為，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為(1)若．求證：①；②為等邊三角形．(2)若，求證：．2．（23-24高一下·福建福州·期末）點(diǎn)A是直線PQ外一點(diǎn)，點(diǎn)M在直線PQ上（點(diǎn)M與P，Q兩點(diǎn)均不重合），我們稱如下操作為“由A點(diǎn)對(duì)PQ施以視角運(yùn)算”：若點(diǎn)M在線段PQ上，記；若點(diǎn)M在線段PQ外，記.(1)若M在正方體的棱AB的延長線上，且，由對(duì)AB施以視角運(yùn)算，求的值；(2)若M在正方體的棱AB上，且，由對(duì)AB施以視角運(yùn)算，得到，求的值；(3)若是邊BC的等分點(diǎn)，由A對(duì)BC施以視角運(yùn)算，求的值.3．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，已知S為的面積且滿足．(1)若為銳角三角形，求的取值范圍；(2)法國著名數(shù)學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用．若P是內(nèi)一點(diǎn)，過P作AB，BC，AC垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，借助于三維分式型柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．求的最小值．4．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有很多相似的問題，材料一：十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出了一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”，他的答案是：“當(dāng)三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)”，在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).材料二：布洛卡點(diǎn)，也叫“勃羅卡點(diǎn)”，定義為：已知內(nèi)一點(diǎn)滿足，則稱為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角，1875年，三角形的這一特殊點(diǎn)，被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者——法國軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.已知，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若為的費(fèi)馬點(diǎn)，且，求的值；(3)若為銳角三角形，為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角，證明：.5．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，，設(shè)函數(shù)，請(qǐng)求出的值域并求證：；(2)若，，，記，且是一個(gè)三角形的三條邊長，請(qǐng)寫出方程的所有正整數(shù)解的集合；(3)若是一個(gè)等腰鈍角三角形的三條邊長且為最長邊，求證：在時(shí)恒成立.6．（23-24高一下·廣東汕頭·期中）定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點(diǎn)恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；(3)在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．專題19平面向量與解三角形新定義題目錄TOC\o"1-1"\h\u一、平面向量定義題 1二、解三角形定義題（選填題） 9三、解三角形定義題（解答題） 16一、平面向量定義題1．（23-24高一下·寧夏吳忠·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知，為所在平面上的點(diǎn)，滿足，，則歐拉線一定過（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量等式的含義以及向量的運(yùn)算，分別說明為的外心、垂心、重心、內(nèi)心，繼而根據(jù)歐拉線定理可得結(jié)論．【詳解】由題意知，即為的外心；，則為的重心；，即有，即，同理，即為的垂心；由解析題中向量式中有兩共起點(diǎn)的向量，于是，，令，則是以為起點(diǎn)，向量與所在線段為鄰邊的菱形對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上,共線,所以點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心,由歐拉線定理知，歐拉線一定過.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，充分理解三角形心的向量表示，從而得解.2．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用角平分線的性質(zhì)及等面積法及數(shù)量積即可求解.【詳解】在中，，由是的角平分線，交于，設(shè)到兩邊的距離為，則，故.已知的三個(gè)內(nèi)角均小于，則點(diǎn)與的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，所以.，所以，所以.故選：D.

3．（23-24高一下·上海楊浦·期末）已知且，，選項(xiàng)中的命題都正確的是（

）.（1）不等式恒成立；（2）設(shè)，，，，，如果四邊形的面積為s，那么存在使成立；（3）對(duì)任意時(shí)，不等式恒成立；（4）對(duì)任意時(shí)，不等式恒成立.A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】B【分析】可證明時(shí)，有恒成立，據(jù)此可判斷（1）的正誤，利用零點(diǎn)存在定理可判斷（2）的正誤，利用反例可判斷（3）的正誤，利用向量結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷（4）的正誤.【詳解】先證明一個(gè)不等式：當(dāng)時(shí)，有恒成立.證明：若，則恒成立.若，如圖，在單位圓中，

弧度為的角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，過作軸，垂足為，則，而，故，因?yàn)榇藭r(shí)，故綜上，時(shí)，有.對(duì)于（1），若，則，若，不妨設(shè)，因?yàn)?，故?）成立.對(duì)于（2），

，取，則，，故，由零點(diǎn)存在定理可得存在，此時(shí)，故（2）正確.而，故，故，對(duì)于（3），取，則，故（3）錯(cuò)誤.對(duì)于（4），

設(shè)，，，且，則，故，過作軸的垂線，垂足為，由正弦函數(shù)的圖象特征可得：，故，結(jié)合整理得到：，故（4）成立，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：正弦函數(shù)具有的某些代數(shù)性質(zhì)，可以結(jié)合函數(shù)的圖象來討論（比如凹凸性等），另外為了研究某些性質(zhì)，我們可以猜測一些我們需要的結(jié)論并給出適當(dāng)?shù)淖C明.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖象分析的最大值，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可得：，即，可知表示正方形，其中，即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，由圖可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，則；因?yàn)?，所以的最大值?故選：B.

【點(diǎn)睛】方法定睛：在處理代數(shù)問題時(shí)，常把代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形，數(shù)形結(jié)合處理問題.5．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知集合且且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，定義：，若，則“存在使”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由存在使得，根據(jù)絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)有：，同理對(duì)縱坐標(biāo)也如此運(yùn)算可證得充分性成立；必要性可舉例說明不成立.【詳解】充分性：若存在，使，即，則，故.故充分性成立；必要性：取，則，則，但是，所以，則不共線，所以必要性不成立.故選：A.6．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）對(duì)任意兩個(gè)非零向量，定義.若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用給定定義結(jié)合向量夾角的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，由題意可知?jiǎng)t因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)槭钦麛?shù)，所以所以而即所以因?yàn)樗约垂实娜≈捣秶鸀?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量新定義，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，然后求出最后得到所要求的取值范圍即可．7．（23-24高一下·湖南·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為.【答案】【分析】利用為的內(nèi)心，再結(jié)合奔馳定理可得，再由已知條件轉(zhuǎn)化可得，利用平面向量基本定理可知，從而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，又，則，所以，兩式相加可得，化簡可得，又，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用奔馳定理得到，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.二、解三角形定義題（選填題）1．（23-24高三·安徽馬鞍山·期末）若一個(gè)四面體的四個(gè)側(cè)面是全等的三角形，則稱這樣的四面體為“完美四面體”，現(xiàn)給出四個(gè)不同的四面體，記的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，其中一定不是“完美四面體”的為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】若，由正弦定理得：，設(shè)，，，由“完美四面體”的四個(gè)側(cè)面是全等的三角形，得到，，，列方程推導(dǎo)出這樣的四面體不存在，從而一定不是完美的四面體．【詳解】若，由正弦定理可得，，設(shè)，因?yàn)椤巴昝浪拿骟w”的四個(gè)側(cè)面是全等的三角形，，把該四面體頂點(diǎn)當(dāng)成長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，四條棱當(dāng)作長方體的四條面對(duì)角線，則長方體面上對(duì)角線長為，設(shè)長方體棱長為，則，以上方程組無解，即這樣的四面體不存在，四個(gè)側(cè)面不全等，故一定不是完美的四面體，對(duì)于A，三角形顯然是銳角三角形，可以構(gòu)成完美四面體，對(duì)于C，由余弦值的比值得到正弦值比值，按著B選項(xiàng)的過程可知可以構(gòu)成完美四面體.對(duì)于D，由正切值的比值得到正弦值比值，按著B選項(xiàng)的過程可知可以構(gòu)成完美四面體.故選：B.2．（多選）（2024·江西·模擬預(yù)測）黃金分割是指將整體一分為二，較小部分與較大部分的比值等于較大部分與整體部分的比值，其比值為，這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例．四名同學(xué)對(duì)此展開了探究，下列說法中正確的是（

）A．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為．小歐提出只要滿足，橢圓的離心率就等于B．一頂角等于的等腰三角形，小斯通過正、余弦定理和二倍角公式，算得該三角形底邊長與腰長的比值等于C．假設(shè)，小萊發(fā)現(xiàn)若公比大于0的等比數(shù)列與著名的斐波那契數(shù)列的遞推公式相同，則數(shù)列的公比等于D．小利在閱讀時(shí)了解到：古老的雅典帕提農(nóng)神廟，其柱頂至屋頂?shù)木嚯x與柱高滿足，則【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A，將條件中數(shù)量積用坐標(biāo)表示，整理方程可得；選項(xiàng)B，分別用正余弦定理得到邊長與腰長的方程，聯(lián)立方程組可得；選項(xiàng)C，由等比數(shù)列性質(zhì)，在兩邊同除以可得公比的方程；選項(xiàng)D，結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)，借助連等式設(shè)法，找到的等量關(guān)系即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)橢圓的方程為，則，，，由，得，即，即，可得，故A正確；對(duì)選項(xiàng)，設(shè)該三角形底邊長為，腰長為，由正弦定理得，即①；又由余弦定理得②，①②兩式聯(lián)立得，即，由于，，故，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)數(shù)列的公比為，，則，由題意得，，兩邊同除以整理得，，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，則，，，由，得，即，則，且，解得，故D正確．故選：ABD．3．（多選）（2023·黑龍江大慶·三模）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長為4的正四面體作勒洛四面體，如圖，則下列說法正確的是（

）A．平面截勒洛四面體所得截面的面積為B．記勒洛四面體上以C，D為球心的兩球球面交線為弧，則其長度為C．該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4D．該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】AD【分析】對(duì)于A，平面截勒洛四面體所得截面面積為三個(gè)半徑為4，圓心角為的扇形的面積減去兩個(gè)邊長為4的正三角形的面積；對(duì)于B，求出弧所對(duì)的中心角，根據(jù)弧長公式求得結(jié)果進(jìn)行判斷；對(duì)于C，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，則根據(jù)圖形的對(duì)稱性，四點(diǎn)共線，計(jì)算即可判斷；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，先求出正四面的外接球半徑，則內(nèi)切球半徑為.【詳解】對(duì)于A，平面截勒洛四面體所得截面如圖甲，它的面積為三個(gè)半徑為4，圓心角為的扇形的面積減去兩個(gè)邊長為4的正三角形的面積；即，故A正確；對(duì)于B，如圖乙，取中點(diǎn)，在中，，，記該勒洛四面體上以，為球心的兩球交線為弧，則該弧是以的中點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓弧，設(shè)圓心角為，則，可知，所以弧長不等于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖丙，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，則根據(jù)圖形的對(duì)稱性，四點(diǎn)共線且過正四面體的中心，則，，，，即勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離可能大于4，最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖乙，其中點(diǎn)為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，由對(duì)稱性可知為該球的球心，內(nèi)半徑為，連接，易知三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體的外接球半徑為，如圖丁，則由題意得：正四面體的高，，，則，解得：，所以，，內(nèi)半徑，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】幾何體的內(nèi)切球半徑求法點(diǎn)睛：1.棱錐的內(nèi)切球半徑求法：設(shè)棱錐的體積V，S為幾何體的表面積，內(nèi)切球半徑為r，則；2.根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定球心，再結(jié)合所給已知條件列方程求得內(nèi)切球半徑.4．（多選）（23-24高二上·湖北·期中）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則【答案】ACD【分析】對(duì)A，由奔馳定理即可判斷；對(duì)B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；對(duì)C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；對(duì)D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求【詳解】對(duì)A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對(duì)；對(duì)B，，由得，故，B錯(cuò)；對(duì)C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對(duì)；對(duì)D，若O為△ABC的垂心，則，，又，同理，∴，∵，則，且如圖，分別為垂足，設(shè)，，則，又，故，由，解得，由，故，D對(duì)故選：ACD5．（23-24高一下·重慶·期末）費(fèi)馬點(diǎn)是在三角形中到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.設(shè)點(diǎn)O為的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿足，則邊a的最小值為.【答案】【分析】利用二倍角公式和正弦定理可得是以的直角三角形，再利用平面向量數(shù)量積定義和等面積可得，再由基本不等式即可得.【詳解】由可得，即得.由正弦定理可得，即為直角三角形，.由費(fèi)馬定義可得，設(shè)，，，顯然,即，可得，又由可得，，得，因此由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即邊的最小值為，故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用費(fèi)馬點(diǎn)定義及數(shù)量積運(yùn)算得出等量關(guān)系，再由基本不等式可得結(jié)果.三、解三角形定義題（解答題）1．（23-24高一下·廣東佛山·期中）三角形的布洛卡點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)．當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件時(shí)，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角．如圖，在中，角，，所對(duì)邊長分別為，，，記的面積為，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為(1)若．求證：①；②為等邊三角形．(2)若，求證：．【答案】(1)①證明見解析，②證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）①先根據(jù)表示出三角形得面積，再在中，由余弦定理相加，再化簡整理，即可得證；②先利用作差法證明，并求出取等號(hào)的條件，再結(jié)合即可得證；（2）根據(jù)（1）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，化簡整理即可得證.【詳解】（1）①若，則,所以，在中，分別由余弦定理得：，，，三式相加整理得，因?yàn)?，所以；②由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，又，所以，所以，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形時(shí)取等號(hào)，又由①知，所以為等邊三角形.（2）由（1）得，所以,由，所以，又由余弦定理可得，所以，所以，所以，由正弦定理可得【點(diǎn)睛】根據(jù)表示出三角形的面積，在中，由余弦定理相加，得出與的等量關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.2．（23-24高一下·福建福州·期末）點(diǎn)A是直線PQ外一點(diǎn)，點(diǎn)M在直線PQ上（點(diǎn)M與P，Q兩點(diǎn)均不重合），我們稱如下操作為“由A點(diǎn)對(duì)PQ施以視角運(yùn)算”：若點(diǎn)M在線段PQ上，記；若點(diǎn)M在線段PQ外，記.(1)若M在正方體的棱AB的延長線上，且，由對(duì)AB施以視角運(yùn)算，求的值；(2)若M在正方體的棱AB上，且，由對(duì)AB施以視角運(yùn)算，得到，求的值；(3)若是邊BC的等分點(diǎn)，由A對(duì)BC施以視角運(yùn)算，求的值.【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合和差角公式可得，即可代入公式求解，（2）根據(jù)的計(jì)算公式，代入即可求解，（3）由正弦定理可得，即可結(jié)合對(duì)施以視角運(yùn)算，即可求證.【詳解】（1）如圖1，因?yàn)?，所?由正方體的定義可知，則，故，.因?yàn)?，所以，則.（2）如圖2，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，解得，故.（3）如圖3，因?yàn)槭堑牡确贮c(diǎn)，所以.在中，由正弦定理可得，則.在中，同理可得.因?yàn)?，所以，則.同理可得.故【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問題的求解策略：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2、用好定義的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的定義的性質(zhì)的一些因素.3．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，已知S為的面積且滿足．(1)若為銳角三角形，求的取值范圍；(2)法國著名數(shù)學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用．若P是內(nèi)一點(diǎn)，過P作AB，BC，AC垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，借助于三維分式型柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先用三角形面積公式及余弦定理邊化角，可以解出，然后結(jié)合正弦定理化簡可得，借助二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.（2）將T構(gòu)造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結(jié)合余弦定理可解.【詳解】（1），，即，．，，，，，為銳角三角形，，，，，設(shè)，則，時(shí)，（2）．又，，，，．由三維分式型柯西不等式有．當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．由余弦定理得，所以即，則．令，則．因?yàn)榻獾?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以．則．令，則在上遞減，當(dāng)即時(shí)，y有最大值，所以T的最小值為．4．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有很多相似的問題，材料一：十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出了一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”，他的答案是：“當(dāng)三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)”，在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).材料二：布洛卡點(diǎn)，也叫“勃羅卡點(diǎn)”，定義為：已知內(nèi)一點(diǎn)滿足，則稱為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角，1875年，三角形的這一特殊點(diǎn)，被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者——法國軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.已知，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若為的費(fèi)馬點(diǎn)，且，求的值；(3)若為銳角三角形，為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換的化簡和正弦定理計(jì)算即