查補重難點04.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的運用考點一：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸與頂點對稱軸：直線x=–；頂點坐標：（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=。當x=–時，y最大值=。增減性當x<–時，y隨x的增大而減??；當x>–時，y隨x的增大而增大。當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小。題型1.二次函數(shù)圖象與a、b、c的關(guān)系1）拋物線開口的方向可確定a的符號：拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜02）對稱軸可確定b的符號（需結(jié)合a的符號）：對稱軸在x軸負半軸，則ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則ab＜0（即：左同右異）3）與y軸交點可確定c的符號：交于y軸負半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞04）特殊函數(shù)值符號（以x=1的函數(shù)值為例）：若當x=1時，若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；例1.（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于x軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點∴＜0，故②錯誤∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯誤；由拋物線可知頂點坐標為（1,1），且過點（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點∴＜0可化為，根據(jù)圖象，解得：1＜x＜3故④錯誤．故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識，靈活運用二次函數(shù)圖象的特征成為解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中：①；②若點均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若m為任意實數(shù)，則；④方程的兩實數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】將代入，可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸及增減性可判斷②；根據(jù)拋物線的頂點坐標可判斷③；根據(jù)的圖象與x軸的交點的位置可判斷④．【詳解】解：將代入，可得，故①正確；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，點到對稱軸的距離分別為：4，1，3，，圖象開口向下，離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，，故②錯誤；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，，又，，，當時，y取最大值，最大值為，即二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，若m為任意實數(shù)，則故③正確；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，與x軸的另一個交點坐標為，的圖象向上平移一個單位長度，即為的圖象，的圖象與x軸的兩個交點一個在的左側(cè)，另一個在的右側(cè)，若方程的兩實數(shù)根為，且，則，故④正確；綜上可知，正確的有①③④，故選B．【點睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想．變式2．（23-24九年級·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結(jié)論中：①；②若點，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實數(shù)，則；④若且，則；⑤方程的兩實數(shù)根為，，且，則，．其中正確的結(jié)論個數(shù)是()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由該拋物線經(jīng)過點即可判斷結(jié)論①；由各點到拋物線對稱軸的距離大小即可判斷結(jié)論②；由當時函數(shù)值取最大值，即可判斷結(jié)論③；由對稱軸為直線，即可判斷結(jié)論④；由拋物線的對稱軸可得該拋物線與軸的交點坐標，即可判斷結(jié)論⑤．【詳解】解：如下圖，∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為∴當時，可有，故結(jié)論①正確；∵，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，∴函數(shù)圖象上的點距離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，∵對稱軸為，∵，，，又∵，∴，故結(jié)論②錯誤；∵該函數(shù)圖像的對稱軸，∴，∵，即，∴，∵該二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當時，該函數(shù)取最大值，∴為任意實數(shù)，可有，即，故結(jié)論③正確；∵若且，即有，∵函數(shù)圖象的對稱軸為，∴，即，故結(jié)論④錯誤；∵方程的兩實數(shù)根為，，∴拋物線與直線的交點的橫坐標為，，由拋物線的對稱性可知該拋物線與軸的另一交點為，即該拋物線與軸的交點為，，∵該拋物線開口向下，，∴，，故結(jié)論⑤正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①③⑤，共計3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍等知識，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．題型2.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運用相關(guān)知識解答即可。例1．（2023·江蘇揚州·中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當時，y隨x的增大而減??；④當時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）二次函數(shù)，有下列結(jié)論：①該函數(shù)圖象過定點；②當時，函數(shù)圖象與x軸無交點；③函數(shù)圖象的對稱軸不可能在y軸的右側(cè)；④當時，點是曲線上兩點，若，則．其中，正確結(jié)論的序號為．【答案】①②④【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練理解并綜合運用二次函數(shù)的各個特征．將拋物線整理為，即可判斷①；將代入并計算即可判斷②；計算拋物線對稱軸并根據(jù)可判斷③；根據(jù)題意確定對稱軸的范圍后可確定、的位置，根據(jù)增減性可判斷④．【詳解】解：，當時，，該函數(shù)圖象過定點，故①正確，符合題意；當時，，令，則，，當時，函數(shù)圖象與x軸無交點，故②正確，符合題意；拋物線的對稱軸為直線，，，當時，對稱軸在軸左側(cè)，當時，對稱軸在右側(cè)，故③錯誤，不符合題意；，，，在對稱軸左側(cè)，在對稱軸右側(cè)，，拋物線開口向上，在對稱軸左側(cè)，隨增大而減小，在對稱軸右側(cè)，隨增大而增大，當時，，當時，，此時，，，，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的是①②④，故答案為：①②④．題型3.二次函數(shù)的增減性與大小比較距離法:對于開口向上的二次函數(shù)，自變量到對稱軸的距離越近，函數(shù)值越??；對于開口向下的二次函數(shù)，自變量到對稱軸的距離越近，函數(shù)值越大.函數(shù)增減性法:利用函數(shù)的增減性來判斷。如果自變量在對稱軸的同側(cè)，可以直接根據(jù)函數(shù)的增減性判斷函數(shù)值的大?。蝗绻宰兞吭趯ΨQ軸的兩側(cè)，需要先利用函數(shù)的對稱性將自變量轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)再比較大小。例1．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知點在下列某一函數(shù)圖像上，且那么這個函數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出y1、y2、y3的值，比較大小即可得出答案．【詳解】解：A．把點代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，這與已知條件不符，故選項錯誤，不符合題意；B．把點代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，這與已知條件不符，故選項錯誤，不符合題意；C．把點代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，這與已知條件不符，故選項錯誤，不符合題意；D．把點代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，這與已知條件相符，故選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)值的大小變化和函數(shù)性質(zhì)．變式1．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）拋物線過四個點，，，，若四個數(shù)中有且只有一個大于零，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，先求出函數(shù)對稱軸，再根據(jù)對稱性判斷出，再分和兩種情況討論即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，∴和關(guān)于對稱軸對稱，即，∴，若，拋物線開口向下，，則必小于0，不合題意，∴，，∴，解得：．故答案為：．變式2．（2021·江蘇無錫·中考真題）設(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點，當時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論：①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（

）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】分別求出的函數(shù)表達式，再在各個x所在的范圍內(nèi)，求出的范圍，逐一判斷各個選項，即可求解．【詳解】解：①∵，，∴，當時，，∴函數(shù)，在上不是“逼近函數(shù)”；②∵，，∴，當時，，函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③∵，，∴，當時，，∴是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④∵，，∴，當時，，∴不是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”．故選A【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．題型4.二次函數(shù)的增減性與最值當自變量的范圍有限制時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值可以根據(jù)以下步驟來確定：（1）配方，求二次函數(shù)的頂點坐標及對稱軸。（2）畫出函數(shù)圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍。（3）判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關(guān)系。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當x取何值時函數(shù)有最大或最小值.然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值。例1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）二次函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式確定二次函數(shù)的最大值．【詳解】解：∵二次函數(shù)的表達式為，∴當時，二次函數(shù)取得最大值，為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇南通·中考真題）若實數(shù)，，滿足，，則代數(shù)式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組，解得，設(shè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：設(shè)∴∵∴有最大值，最大值為故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）若點在二次函數(shù)的圖象上，且點到軸的距離小于2，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．由題意可知，根據(jù)m的范圍即可確定n的范圍．【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點為，對稱軸是直線，∵到y(tǒng)軸的距離小于2，∴，而，當，當時，，∴n的取值范圍是，故答案為：．題型5.二次函數(shù)的最值（含參討論）1.二次函數(shù)最值類型：定軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間、動軸定區(qū)間、動軸動區(qū)間。2.二次函數(shù)最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當x的取值為全體實數(shù)時：當時，y取最小值，最小值ymin=，無最大值。2）如圖2，當時：當時，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當且時：當時，y取最小值，最小值為ymin=；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當且時：當時，y取最小值，最小值為ymin=；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當時：當時，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。例1.（2024·江蘇揚州·一模）已知拋物線．(1)若點在此拋物線函數(shù)圖象上，當時，試說明；(2)當時該拋物線的最小值是，求b值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，，由得到，即可證明結(jié)論；（2）由可知，拋物線開口向上，拋物線的頂點為，對稱軸為，根據(jù)對稱軸的位置分析即可得到答案．【詳解】（1）解：∵點在拋物線上．∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴拋物線開口向上，拋物線的頂點為，對稱軸為，當，時，y的最小值為，則，解得，當時，，不滿足，舍去，當時，，滿足，符合題意，當時，時，y的最小值為，則，解得，∵，∴不滿足，舍去，當時，時，y的最小值為，則，解得，∵，∴滿足題意，綜上可知，的值為或．變式1．（23-24九年級上·浙江·期中）已知拋物線，為常數(shù)）經(jīng)過點，且不經(jīng)過第三象限．當時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16，則的值為（）A．3 B．1 C．3或1 D．2或6【答案】C【分析】將點代入，得出，當時，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則；此時，最大值與最小值之差為25；當時，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則，得，當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最大值，當時，函數(shù)有最大值；當最大值時，；當最大值時，；即可求解．【詳解】解：將點代入，得，則；，對稱軸，當時，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則；此時，當時，函數(shù)最小值是0，最大值是25，最大值與最小值之差為25；（舍去）當時，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則△，，，當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最大值，當時，函數(shù)有最大值；函數(shù)的最大值與最小值之差為16，當最大值時，，或，，；當最大值時，，或，，．綜上所述，的值為1或3．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論解題是關(guān)鍵．變式2．（22-23九年級上·浙江·期中）已知函數(shù)（b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點．當時，若y的最大值與最小值之和為2，則m的值為（

）A．或B．或C．或D．【答案】C【分析】將點代入即可求得b的值，進而求得拋物線的最大值，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出m的取值范圍即可．【詳解】把代入，得，∴，∴當時，y有最大值為6；①當時，當時，y有最小值為，當時，y有最大值為∵y的最大值與最小值之和為2，∴，∴或(舍去)。②當時，當時，y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為，∴或舍去)綜上所述：或故選：C【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確分類討論得出m的取值范圍．題型6.二次函數(shù)與動點問題二次函數(shù)中的動態(tài)問題解題步驟：1）讀題，辨析是遞進關(guān)系還是并列關(guān)系；2）確定動點、動線背景，確定動點個數(shù)以及它們之間的關(guān)系，動點在什么圖形上運動（直線、射線、折線、三角形、四邊形等）；3）分類，確定分類依據(jù)，從特殊位置人手確定自變量范圍，找不變或相等關(guān)系（全等、相似、面積、勾股底或高為定長、定角等），動點和定點構(gòu)成的圖形要逐一分析；4）作圖，要作出每個狀態(tài)的典型圖形；5）函數(shù)或方程，通過位置關(guān)系建立起數(shù)量關(guān)系；6）看臨界，要考慮臨界狀態(tài)能否成立的情況。例1.（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，中，，，．點從點出發(fā)沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設(shè)點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則的值為（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根據(jù)點運動的路徑長為，在圖中表示出來，設(shè)，在直角三角形中，找到等量關(guān)系，求出未知數(shù)的值，得到的值．【詳解】解：當時，由題意可知，，在中，由勾股定理得，設(shè)，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，當時，由題意可知，，設(shè)，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理列出等式是解題的關(guān)鍵，運用了數(shù)形結(jié)合的思想解題．變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】連接，過點作于點，根據(jù)已知條件得出是等邊三角形，進而證明得出，當時，在上，當時，在上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，當時，在上，菱形中，，，

∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴當時，在上，∴，綜上所述，時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當時，函數(shù)圖象是直線的一部分，故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，．點M在菱形的邊和上運動（不與點A，C重合），過點M作軸，與菱形的另一邊交于點N，連接，，設(shè)點M的橫坐標為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．C．D．

【答案】A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出各點坐標，分M的橫坐標x在，，之間三個階段，用含x的代數(shù)式表示出的底和高，進而求出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷圖象即可．【詳解】解：菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得，直線的解析式為．軸，N的橫坐標為x，（1）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中上的高為，，，，該段圖象為開口向上的拋物線；（2）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中，上的高為，，該段圖象為直線；（3）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中上的高為，由，可得直線的解析式為，，，，，該段圖象為開口向下的拋物線；觀察四個選項可知，只有選項A滿足條件，故選A．【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，涉及坐標與圖形，菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，解題的關(guān)鍵是分段求出函數(shù)解析式．考點二：二次函數(shù)與不等式、方程1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。（3）①b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；②b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；③b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點。2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a>0為例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點2個交點1個交點0個交點ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2取任意實數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解題型1.二次函數(shù)與圖象變換（1）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)拋物線y=a(x-h)2+k，繞頂點旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x-h)2+k；繞原點旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x+h)2-k；沿x軸翻折變?yōu)椋簓=-a(x-h)2-k；沿y軸翻折變?yōu)椋簓=a(x+h)2+k；（2）二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．例1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）已知拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點，則的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個單位，得：；再向上平移1個單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點∴+1即解得：或∵拋物線的對稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．變式1．（2023·湖南岳陽·一模）若將拋物線F：圖象位于y軸右側(cè)的部分沿著直線l：翻折，其余部分保持不變，組成新圖形H，點為圖形H上兩點，若，則m的取值范圍是（

）A．或B．C．D．或【答案】C【分析】求得的對稱軸為，與軸交點為，分當時，即對稱軸在軸左側(cè)；當時，即對稱軸為軸；當時，即對稱軸在軸又側(cè)時進行討論即可求解．【詳解】解：的對稱軸為：，與軸交點為：，關(guān)于對稱軸的對稱點為當時，即對稱軸在軸左側(cè)，如圖：點為圖形H上兩點，且，則位于直線下方，位于直線上方，則的水平距離大于，，解得：；

當時，即對稱軸為軸，如圖：點為圖形H上兩點，恒成立，當時，即對稱軸在軸又側(cè)，如圖：與軸交點為：，關(guān)于對稱軸的對稱點為點為圖形H上兩點，且則位于直線下方，位于直線上方，則的水平距離大于，，解得：；綜上所述：；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性，正確作圖分析．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C與點B關(guān)于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F(xiàn)，點F在點E的上方，．(1)分別求點E，F(xiàn)的縱坐標（用含m，n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；(2)求點B的橫坐標m，縱坐標n之間的數(shù)量關(guān)系．（用含m的代數(shù)式表示n）；(3)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，E，F(xiàn)的對應(yīng)點分別是，．當線段與點B所在的某個函數(shù)圖象有公共點時，求m的取值范圍．

【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線與y軸交于E，得到，根據(jù)點C與點B關(guān)于原點對稱，求得，得到，設(shè)直線的解析式為，將，代入得解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)n與m的關(guān)系式為，得到在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當在點B所在的函數(shù)圖象上時，解方程得到，根據(jù)線段與點B所在的函數(shù)圖象有公共點，列不等式組即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由直線與y軸交于E，得，∵點C與點B關(guān)于原點對稱，，∴，由直線與y軸交于點F，得，即，綜上所述，，設(shè)直線對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，將，代入，得：，解得，∴，同理；由點F在點E上邊知:，且，∴，即；

（2）由題意得，，整理得，；（3）∵n與m的關(guān)系式為，∴在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當在點B所在的函數(shù)圖象上時，，解得，∵線段與點B所在的函數(shù)圖象有公共點，∴或，由旋轉(zhuǎn)得，且；∵或．∵，∴或．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地求得n與m的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．題型2.二次函數(shù)與零點（圖象交點）1.二次函數(shù)和線段的交點個數(shù)的方法：（1）代數(shù)法：①聯(lián)立二次函數(shù)和線段所在直線的表達式，根據(jù)根的判別式Δ=b2-4ac求參數(shù)；②將線段端點坐標代入二次函數(shù)求得參數(shù)，并判斷參數(shù)的取值范圍。（2）圖象法：運用畫草圖的方法判斷，我們常常會用到數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想。二次函數(shù)的圖象是拋物線，因此判斷函數(shù)的增減性時要結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸來分析判斷。2.已知拋物線與直線(線段)的公共點個數(shù)，求拋物線中參數(shù)的取值范圍。此類問題通常需要根據(jù)所畫的直線(或線段)結(jié)合拋物線大致形狀(一般會分開口向上和向下兩種情況，找到滿足題意的每種臨界情況(例如：拋物線分別經(jīng)過線段的兩個端點或與線段相切)，解出每種臨界情況下參數(shù)的值后,結(jié)合圖象和參數(shù)的意義，最終確定參數(shù)的取值范圍。例1．（2023·江蘇泰州·中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，則n的值可以是（填一個值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為、，即二元一次方程的根為、，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，一次函數(shù)的圖象與軸有一個交點在軸右側(cè)，，為異號，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．變式1．（2022·江蘇無錫·中考真題）把二次函數(shù)y=x2+4x+m的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m應(yīng)滿足條件：．【答案】m>3【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為（-2，m-4），再求得平移后的頂點坐標為（1，m-3），根據(jù)題意得到不等式m-3>0，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此時拋物線的頂點坐標為（-2，m-4），函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，∴m-3>0，解得：m>3，故答案為：m>3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標．變式2．（2023·江蘇揚州·二模）關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）有且只有一個根在的范圍內(nèi)，則的取值范圍是（

）A．B．或C．或D．【答案】C【分析】由題意得出原方程有兩個實數(shù)根，進而分兩種情況討論：①當時，得出，進而求出方程的解，判斷即可得出結(jié)論，②當時，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得：．分類討論：①當時，即，∴原方程為，解得：，滿足題意；②當時，即時．∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．∵該二次函數(shù)的對稱軸為直線，且有且只有一個根在的范圍內(nèi)，∴在平面直角坐標系中畫出大致函數(shù)圖象，如圖所示，觀察圖象可知，當時，方程的兩個根分別為，，不滿足題意；當時，方程的兩個根分別為，，滿足題意；當時，方程的兩個根都在范圍內(nèi)，不滿足題意．綜上可知，滿足條件的t的范圍為或，故選C．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是樹立數(shù)形結(jié)合思想，利用二次函數(shù)圖象解決一元二次方程根的問題．題型3.二次函數(shù)與整點二次函數(shù)背景下的整點問題:不僅能考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，而且還能考查同學(xué)們的動手畫圖能力，推理能力,直觀想象能力，同時這類題還滲透了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、極限思想，能極好得培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。例1．（22-23九年級上·山東濟南·期末）規(guī)定：在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點為整點．對于題目：拋物線與軸分別交于、兩點（點M在點N的左側(cè)），，線段與拋物線圍成的封閉區(qū)域記作（包括邊界），若區(qū)域內(nèi)有6個整點，求的取值范圍．則（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】先求出對稱軸，再根據(jù)，求出，的坐標，可得到，從而得到頂點坐標為，再分兩種情況討論的取值范圍即可．【詳解】解：，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，點在點的左側(cè)，∴，∴令，則，∴，∴，即，∴，∴頂點坐標為，∵，∴線段上有3個整點，∵區(qū)域內(nèi)有6個整點，當時，，即；當時，，即，綜上所述，的取值范圍為或，故選：C．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行分類求解．變式1．（23-24九年級上·山東淄博·期末）定義：在平面直角坐標系中，若點滿足橫，縱坐標都為整數(shù)，則把點叫做“整點”，如：，都是“整點”．拋物線（是常數(shù)，且）與軸交于點，兩點，若該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個“整點”，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．首先將二次函數(shù)的表達式化為頂點式，可以直接得到點，，，必在所要求的區(qū)域內(nèi)，然后向外擴充2個“整點”，通過圖象經(jīng)過點，點判斷區(qū)域內(nèi)“整點”個數(shù)，進而求出的取值范圍．【詳解】解：由已知可得，函數(shù)的頂點是，，點，，，四點必在拋物線在，之間部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）內(nèi)，當點在邊界上時，，由拋物線的對稱性可知，圖象過，此時區(qū)域內(nèi)有6個“整點”，當點在邊界上時，，由拋物線的對稱性可知，圖象過，此時區(qū)域內(nèi)有8個“整點”，不符合題意，當時，該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個“整點”．故選：D．變式2．（2023年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．(1)求A點的坐標；(2)如圖1，若B點關(guān)于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a的值；(3)定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數(shù)恰好是26個，求a的取值范圍．

【答案】(1)(2)或；(3)或．【分析】（1）對于直線，令，求出x，即可求解；（2）表示出點，，的坐標，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點不確定，需分類討論；（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，各為13個，分別求出的范圍．【詳解】（1）解：對于直線，當時，，∴A點的坐標為；（2）解：聯(lián)立直線與拋物線得：，，或，，，點關(guān)于軸的對稱點為點，，，，，若，則，即，所以，若，則，即，所以，若，則，即，此方程無解．或；（3）解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，，，，，

格點數(shù)恰好是26個，落在軸和直線上的格點數(shù)應(yīng)各為13個，落在軸的格點應(yīng)滿足，即，①若，即，所以線段上的格點應(yīng)該為，，，，②若，，，所以線段上的格點正好13個，綜上，或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是弄清格點只能落在軸和直線上，各為13個，并對點、進行定位．題型4.二次函數(shù)與方程、不等式1）一元二次方程ax2＋bx＋c=n的解的幾何意義將“=”左邊的部分看作拋物線y=ax2＋bx＋c，“=”右邊的部分看作水平直線y=n,則方程ax2＋bx＋c=n即在兩函數(shù)圖象的交點橫坐標,所以交點橫坐標的值就是方程的解。2）ax2＋bx＋c>kx+m的解表示：拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點橫坐標的一側(cè)符合題意。3）ax2＋bx＋c<kx+m的解表示：拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點橫坐標的一側(cè)符合題意。例1.（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式的解集？通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程的兩根為，，可得函數(shù)的圖像與x軸的兩個交點橫坐標為、，畫出函數(shù)圖像，觀察該圖像在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式的解集．方法2

不等式可變形為，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖像關(guān)系．畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點橫坐標也是、3；的圖像在的圖像下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集．方法3

當時，不等式一定成立；當時，不等式變?yōu)?；當時，不等式變?yōu)椋畣栴}轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖像關(guān)系…任務(wù)：(1)不等式的解集為_____________；(2)3種方法都運用了___________的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結(jié)合圖像作出解答．【答案】(1)(2)D(3)圖像見解析，不等式的解集為【分析】（1）如圖1，作的圖像，由方法1可知，不等式的解集為；（2）由題意知，3種方法都運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；（3）如圖2，作函數(shù)與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，進而可得的解集．【詳解】（1）解：如圖1，作的圖像，

由方法1可知，不等式的解集為，故答案為：；（2）解：由題意知，3種方法都運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，故選：D；（3）解：如圖2，作函數(shù)與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，綜上，的解集為．【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合求一元二次不等式的解集，作二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的作函數(shù)圖象．變式1．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交于兩點，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】或【分析】由，得，根據(jù)圖像找到二次函數(shù)在一次函數(shù)圖像上方的部分對應(yīng)的x的范圍即可．此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像交點問題，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，掌握“圖像在下方的部分對應(yīng)的函數(shù)值較小”是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】由，得，∴，由圖可知關(guān)于的不等式的解集為：或，∴關(guān)于的不等式的解集為：或，故答案為：或．變式2．（2021·江蘇泰州·中考真題）二次函數(shù)y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點在y軸右側(cè)．（1）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）該二次函數(shù)表達式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，求a的范圍．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．【分析】（1）根據(jù)頂點坐標公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的結(jié)果可得拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)頂點在y軸右側(cè)，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方可得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴頂點橫坐標為=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，∵圖象的頂點在y軸右側(cè)，∴＞0，∴，∵點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，∴≤3，解得：，∴a的范圍為1＜≤2．【點睛】本題考查二次函數(shù)、因式分解及解一元一次不等式，熟練掌握二次函數(shù)頂點坐標公式是解題關(guān)鍵．專項訓(xùn)練1．（2023·陜西·校考二模）已知拋物線的頂點為A，拋物線與拋物線關(guān)于點成中心對稱，若拋物線經(jīng)過點A，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)題意求得拋物線的頂點坐標，得出二次函數(shù)解析式，把的坐標代入即可解得的值．【詳解】解：拋物線，頂點，拋物線與拋物線關(guān)于成中心對稱，拋物線的開口大小相同，方向相反，頂點為∴的解析式是：，拋物線經(jīng)過點，，解得，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，表示出拋物線的頂點坐標是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當r＝時，S側(cè)有最大值．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東濟南·二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得由題意得，當拋物線沿著射線平移個單位時，相當于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設(shè)拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，則平移后的解析式為，再根據(jù)點P在直線，直接把代入得到點P的縱坐標與a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意得，當拋物線沿著射線平移個單位時，相當于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設(shè)拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時，則，∴當時，，∵，∴當時，，當時，，∴當時，在平移過程中點P的運動路程為，當時，在平移過程中點P的運動路程為，∴整個平移過程中，點P的運動路程為，故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的特征等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用平移的性質(zhì)解決問題，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．4.（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（

）（多選題）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對稱軸是C．拋物線與軸有兩個交點D．當時，關(guān)于的一元二次方程有實根【答案】BC【分析】將點代入可求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系逐項判斷即可得．【詳解】解：將點代入得：，解得，，拋物線的開口向上，拋物線的對稱軸是，選項A錯誤，選項B正確；方程的根的判別式，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與軸有兩個交點，選項C正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，這個拋物線的開口向上，且當時，取得最小值，∴當時，與沒有交點，∴當時，關(guān)于的一元二次方程沒有實根，選項D錯誤；故選：BC．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023·貴州銅仁·三模）將拋物線的圖象位于直線以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線與此圖象有四個交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個交點，可以有兩種情況：①直線經(jīng)過對折點（即右邊的對折點），可將點坐標代入直線的解析式中，即可求出的值；②若直線與新函數(shù)圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數(shù)只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個關(guān)于的一元二次方程，那么該方程的判別式，根據(jù)這一條件可確定的取值．【詳解】解：令，則，解得或2，，平移直線知：直線位于和時，它與新圖象有三個不同的公共點．①當直線位于時，此時過點，，即．②當直線位于時，此時與函數(shù)的圖象有一個公共點，方程，即有兩個相等實根，，即．由①②知若直線與新圖象只有四個交點，的取值范圍為；故選：D．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點以及根據(jù)值域確定二次函數(shù)參數(shù)取值范圍的問題，綜合性強，難度較大．6．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設(shè)運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分，，三種情況，分別求出函數(shù)解析即可判斷．【詳解】解：過點D作于H，，，∵，，∴，∴當時，如圖，重疊部分為，此時，，∴，∴，即，∴∴；當時，如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；當時如圖，重疊部分為四邊形，此時，，∴，∵，∴，∴，即∴，綜上，，∴符合題意的函數(shù)圖象是選項A．故選：A．【點睛】此題結(jié)合圖像平移時面積的變化規(guī)律，考查二次函數(shù)相關(guān)知識，根據(jù)平移點的特點列出函數(shù)表達式是關(guān)鍵，有一定難度．7．（2023·湖南岳陽·一模）已知二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而減小，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)解析式求出對稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線：，①當時，拋物線開口向上，∵時，y隨x的增大而減小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②當時，拋物線開口向下，∵時，y隨x的增大而減小，∴，即，解得，∴，∵，當時，有最大值，∵，∴此情況不存在．綜上所述，最大值為8．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．8．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點，且對稱軸為直線．有以下結(jié)論：①；②；③當，時，有；④對于任何實數(shù)，關(guān)于的方程必有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱軸為，且過，結(jié)合拋物線的對稱軸即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為，且圖像經(jīng)過，∴，即，∴點在拋物線上，∴，故結(jié)論①正確；由結(jié)論①正確可得，，且，則∴，則，故結(jié)論②正確；∵當，時，∴點離對稱軸更近，當時，；當時，；故結(jié)論③錯誤；由得，，∵結(jié)論①正確可得，，結(jié)論②正確可得，，∴，，∴，整理得，，∵，∴，∴該方程有兩個不相等的實根，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的有，個，故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像上點的特征，由對稱軸確定系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．9．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）直線和拋物線在同一坐標系中的位置如圖所示，那么不等式的解集是．【答案】或【分析】本題考查了根據(jù)交點確定不等式的解集，旨在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，將不等式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)圖象的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．【詳解】由題意得：不等式表示直線在拋物線下方的部分，∵兩圖象的交點橫坐標為：，∴不等式的解集是：或故答案為：或10．（2022·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)（、為常數(shù)，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)最值公式得到，即可得到，據(jù)此寫出一組符合條件的a和c的值即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的最大值為2，∴，∴，故時，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的最值公式是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇徐州·中考真題）若二次函數(shù)的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m，則m的值為．【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），∴頂點到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，已知點，且實數(shù)m，n滿足，則點P到原點O的距離的最小值為．【答案】【分析】由已知得到點P的坐標為(，)，求得PO=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴點P的坐標為(，)，∴PO=，∵，∴當時，有最小值，且最小值為，∴PO的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了點的坐標，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13．（2020·江蘇南京·中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)（為常數(shù)）的結(jié)論，①該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點；③當時，y隨x的增大而減??；④該函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖像上，其中所有正確的結(jié)論序號是．【答案】①②④【分析】①兩個二次函數(shù)可以通過平移得到，由此即可得兩個函數(shù)的圖象形狀相同；②求出當時，y的值即可得；③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得；④先求出二次函數(shù)的頂點坐標，再代入函數(shù)進行驗證即可得．【詳解】當時，將二次函數(shù)的圖象先向右平移m個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數(shù)的圖象；當時，將二次函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數(shù)的圖象該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同，結(jié)論①正確對于當時，即該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點，結(jié)論②正確由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小則結(jié)論③錯誤的頂點坐標為對于二次函數(shù)當時，即該函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，結(jié)論④正確綜上，所有正確的結(jié)論序號是①②④故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2024·江蘇連云港·一模）對任意實數(shù)x，二次函數(shù)滿足，則的值是．【答案】9【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用特值法是解本題的關(guān)鍵；由題意可得，可令即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，令，有，∴，∴答案是：9．15．（2024·江蘇無錫·一模）當時，函數(shù)(a為常數(shù)，且a小于0)的圖象在軸上方，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠求出時y的最小值．先求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為：．∵，∴拋物線開口向下，又，，時，y取最小值，最小值為：，圖象在軸上方，，解得，；故答案為：．16．（23-24九年級·湖北荊州·階段練習(xí)）我們約定：（a，b，c）為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，當其圖象與坐標軸交點的橫、縱坐標均為整數(shù)時，該交點為“整交點”．若關(guān)聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸有兩個整交點（m為正整數(shù)），則這個函數(shù)圖象上整交點的坐標為【答案】（1，0）、（3，0）、（0，3）【分析】根據(jù)題意令，將關(guān)聯(lián)數(shù)代入函數(shù)，則有，利用求根公式可得m，將m代入可得函數(shù)圖象與x軸的整交點坐標；令，可得，即得這個函數(shù)圖象與y軸的整交點的坐標（0，3）．【詳解】解：根據(jù)題意，令，將關(guān)聯(lián)數(shù)代入函數(shù)，則有，，∴有兩個實數(shù)根，且m≠3，由求根公式可得，∴，，∵m為正整數(shù)，∴當時符合題意，此時；所以這個函數(shù)圖象與x軸的整交點的坐標為（3，0），（1，0）；令，可得，即得這個函數(shù)圖象與y軸的整交點的坐標（0，3）．綜上所述，這個函數(shù)圖象上整交點的坐標為（1，0）、（3，0）、（0，3）．故答案為：（1，0）、（3，0）、（0，3）．【點睛】本題主要考查了拋物線與坐標軸交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，理解“關(guān)聯(lián)數(shù)”的定義是解答此題的關(guān)鍵．17．（2024·江蘇無錫·一模）在平面直角坐標系中為，拋物線（、為常數(shù)）的對稱軸為直線，與軸交點坐標為．(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)點、點均在這個拋物線上（點在點的左側(cè)），點的橫坐標為，點的橫坐標為．將此拋物線上兩點之間的部分（含兩點）記為圖象．①當點在軸上方，圖象的最高與最低點的縱坐標差為6時，求的值；②設(shè)點，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，當（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點時，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②；【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)最值、與線段交點問題：（1）將對稱軸及點代入求解即可得到答案；（2）①先求出二次函數(shù)與軸交點，分點在對稱軸左邊，對稱軸右邊兩類討論，根據(jù)最高與最低點的距離列式即可得到答案；②根據(jù)，，表示出，結(jié)合只有一個交點列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，與軸交點坐標為，∴，，解得：，，∴；（2）解：①當時，，解得：，，當點在對稱軸左邊時，即時，∵，∴此時最高點為對稱軸所在點，最低點為點，∵最高與最低點的縱坐標差為6，∴，解得：（不符合題意舍去），；當點在對稱軸右邊時，即，∵，∴此時最高點為A點，最低點為點，∵最高與最低點的縱坐標差為6，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上所述：；②∵，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到線段，（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點，∴點D在軸下方，E在頂點下方，且與拋物線交于一點，與拋物線交于一點此時，即，∴，解得：，∴，，，解得：．18．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，邊長為1的正方形中，軸，軸（在的右側(cè)、在的下方），點在二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖像上．(1)若點的坐標為①求二次函數(shù)圖像頂點坐標；②判斷二次函數(shù)圖像與邊是否相交，并說明理由；(2)若點的橫坐標為，且二次函數(shù)的圖像與邊相交，求的范圍；(3)在（2）的條件下，若二次函數(shù)在正方形內(nèi)（包括邊界）的部分函數(shù)最小值為，求的范圍．【答案】(1)①②不相交，理由見解析(2)(3)【分析】（1）①將A點坐代入解析式直接求出；②求出點C坐標，代入橫坐標，判斷函數(shù)值是否等于點C的縱坐標即可．（2）求出P、D、C三點的縱坐標，根據(jù)P點要處在C、D之間列出不等式組即可解決問題．（3）對應(yīng)的函數(shù)的最小值為，即點P的縱坐標的值為，由此列出關(guān)系式，即可解決問題．再結(jié)合（2）的結(jié)果確定m的范圍．【詳解】（1）解：①把代入，得：，解得，∴拋物線的解析式為：，∴，∴拋物線的頂點坐標為；②∵正方形的邊長為1，且，∴，∴∴點D的坐標為，點C的坐標為當時，，所以，二次函數(shù)圖像與邊不相交；（2）解：如圖，∵A點的橫坐標為m，正方形邊長為1，∴，，，，，∵，解得：，∵，解得：，綜上所述，．（3）解：∵對應(yīng)的函數(shù)的最小值為，∴，∴．∴，由圖象可知點P不在y軸上，∴，∴由（2）可知，且，解得．【點睛】本題考查了待定