2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9

月份）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.（4分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)（-3,-2）,（1,2）,則下列不在直線上的點(diǎn)是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,1)

2.（4分）直線ax+打+c=0同時(shí)要經(jīng)過第一、二、四象限，則a,b,c應(yīng)滿足（）

A.aZ?>0,be<0B.ab<0,bc>0

C.ab>Q,be>0D.ab<0,be<0

3.(4分)已知G=(2,1,—3),3=(—1,2,3),6=(7,6,㈤，若3,己共面，則2等于()

A.-3B.3C.-9D.9

4x+2y+1=0

4.（4分）若關(guān)于X,歹的方程組《[2x+町+1=0("'無解‘則"()

萬

A.2B.J2C.lD.—

2

5.（4分）如圖底面為平行四邊形的四棱錐尸—N5CD,EC=2PE,若麗=》方+了就+z萬，則

x+y+z=()

5

D.-

33

6.（4分）"加=2"是"直線4:（機(jī)-3）%+制7+1=0與直線/2:機(jī)x+（機(jī)-l）y-2=0互相垂直”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（4分）設(shè)直線的方程為x—ysin。—2=0,則直線的傾斜角a的范圍是（）

71713兀兀兀、（兀3兀

A.[0,7l]

B.—，兀C.5D.piriPT

424T

8.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos6?,sinO）到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)加變化時(shí)，d

的最大值為（）

A.lB.2C.3D.4

9.（4分）如圖，三棱錐Z—5CD中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面48C與底面5co垂直，E

為BC中點(diǎn),EF//AD,則平面幺。8與平面Z8/夾角的余弦值為（）

A-fB?半鳴W

10.（4分）“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素

描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一

條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相

對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”有兩個(gè)底面邊長為2,高為

4正的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，則（)

圖①I艙

A.GE=272

B.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,2,2世）

C.O,E,F,幺四點(diǎn)共面

Ji

D.直線CE與直線DG所成角的余弦值為注

6

二、填空題（每小題5分，共30分）

II.（5分）已知己=（2,—1,3）,3=（—4,2,x）,且則工=.

12.（5分）過點(diǎn)（-1,3）且平行于直線x-2y+3的直線方程為

13.（5分）若1=（2,3,-1）,3=（—2,1,3）,則以23為鄰邊的平行四邊形面積為.

14.（5分）己知Z（2,1,3）,B（2,—2,6）,C（3,3,6）,則向量正在冠上的投影向量坐標(biāo)為.

15.（5分）若直線/:±+}=1伍＞0）〉0）經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,則直線在x軸和V軸的截距之和的最小值是

ab

16.（5分）在正三棱柱N5C—44。中，25=44]=1,點(diǎn)尸滿足麗=生而+〃畫，其中

2e[0,1],//e[0,1],則下列說法中，正確的有.（請(qǐng)?zhí)钊胨姓_說法的序號(hào)）

①當(dāng)2=1時(shí)，AABf的周長為定值；

②當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-4BC的體積為定值；

③當(dāng)彳=1時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得4尸，8尸；

2

④當(dāng)〃=（時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得48,平面48H.

三、解答題（共50分）

17.（12分）己知的頂點(diǎn)分別為N（2,4）,5（7,-1）,C（-6,l）.

（1）求8C邊的中線4D所在直線的方程；

（2）求8C邊的垂直平分線的方程.

18.（12分）在平行六面體4BCD—481GA中，=2,AD=\,

/BAD=ZBAA{=ZDAA[=60°.

（2）求4到直線8c的距離；

（3）動(dòng)點(diǎn)尸在線段卬上運(yùn)動(dòng)，求萬?麗的最小值.

19.（12分）如圖，正方形ZVDE的邊長為2,B,C分別為ZM,的中點(diǎn).在五棱錐尸—4SCDE

中，E為棱尸E上一點(diǎn)，平面N8尸與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.

p

兀

（2）若上4,底面N8C0E,且尸/=/￡,直線8c與平面48廠所成角為一.

6

（i）確定點(diǎn)廠的位置，并說明理由；

（ii）求線段?女的長.

20.（14分）設(shè)正整數(shù)〃23,集合N=｛a|a=（冷/,…,天）,4eR,左=1,2,,對(duì)應(yīng)集合/中的任

意元素。=（七,》2,…％）和6=（%,必，…匕），及實(shí)數(shù)X，定義:當(dāng)且僅當(dāng)演=然（左=1,2,…,〃）時(shí)

a=b;a+i>=（x1+%,％+外,…Z+尤）；幾。=（尢1%/，…幾天）.若幺的子集臺(tái)=｛%，%，%｝滿足：當(dāng)且

僅當(dāng)4=辦=4=0時(shí)，4%+4%+4%=（°，°，…，°），則稱8為/的完美子集.

（1）當(dāng)〃=3時(shí)，已知集合

=｛（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）｝,B2=｛（1,2,3）,（2,3,4）,（4,5,6）｝,分別判斷這兩個(gè)集合是否為/的完美子

集，并說明理由；

（2）當(dāng)〃=3時(shí)，已知集合8=｛（27%,7%,機(jī)—1）,（機(jī),2%機(jī)—1）,（7%,7"-1,2機(jī)）｝.若8不是幺的完美子集，

求加的值；

（3）已知集合B=｛al,a2,a3｝^A,其中為=（知,如,…x加）（i=1,2,3）.若2|xj>|xu|+|x2/|+晶|對(duì)任

意i=l,2,3都成立，判斷8是否一定為N的完美子集.若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)給出反例.

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9

月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.D

y—（—2）x—（―3）

【解答】解：由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線的方程為.;<=I;二,即x-y+l=o,

2-1-2）1-（勺

將各個(gè)選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入直線方程，

可知點(diǎn)（-2,-1）,（-1,0）,（0,1）都在直線上，點(diǎn)（2,1）不在直線上.

故選：D.

2.【答案】A

【解答】解：由于直線辦+力+c=0同時(shí)要經(jīng)過第一、二、四象限，故斜率小于0,在丁軸上的截距大于

0,

a八

——<0

故<“，故。6>0屈<0,

-->0

Ib

故選：A.

3.【答案】C

【解答】解:a=（2,l,-3）,6=（-l,2,3）,c=（7,6,A）,

?「a.b.c共面,

-'-^a=mb+nc，則(2,1,—3)=(—機(jī)+In,2m+6n,3m+Ari),

一加+7〃=2

/.<2m+6n-1,解得加=——，〃=一，

.44

3加+X”=-3

解得4二一9.

故選：C.

4.【答案】C

4x+2y+l=0/、

【解答】解：..?關(guān)于X，V的方程組c-,八（aeR無解,

2x+"+1=0、7

/.直線4x+2y+1=0與直線2x+即+1=0平行,

2a1

「?一二一，一,

421

解得a=1.

故選：C.

5.【答案】A

【解答】解：由題意，DE^DC+CA+AE=AB-AC+AP+PE

=AB-AC+AP+-PC=AB-AC+AP+-（AC-AP}=^B--JC+-AP,

33、,33

又因?yàn)橥?+y衣+zN,

22

所以x=l,y=一三,2=不，

33

所以x+y+z=l.

故選：A.

6.【答案】A

【解答】解：由題意兩條直線垂直時(shí)，則機(jī)（機(jī)-3）+掰（掰-1）=0,即2m2—4m=0，

解得加=0或加=2,

所以"加=2"是"直線4:（機(jī)一3）x+絢+1=0與直線4:機(jī)x+（加-1）了一2=0互相垂直”的充分不必

要條件.故選：A.

7.【答案】C

7T

【解答】解：當(dāng)sine=0時(shí)，則直線的斜率不存在，這時(shí)直線的傾斜角為一，

2

當(dāng)sin。W0時(shí)，則直線的斜率左=」一，

sin。

當(dāng)0<sin"，1時(shí)，則左這時(shí)直線的傾斜角為:，曰1，

當(dāng)-L,sin9<0,貝ij左?-?一1],這時(shí)直線的傾斜角為1萬,彳，

綜上所述：直線的傾斜角的范圍為[學(xué)

故選：C.

8.【答案】C

yjm2+lsin(e-a)-2

【解答】解：由題意d=1os'jsin'-2|

A/12+m2ylm2+1

/.當(dāng)sin(。一a)=-1時(shí),

/.d的最大值為3.

故選：c.

9.【答案】B

【解答】解：如圖，連接

因?yàn)?B=BC=AC=DB=DC,E為BC中點(diǎn)、,

所以4E_LBC,DE_LBC,

又平面ABC1底面BCD,平面ABCn底面BCD=BC,AEu平面ABC,

所以NEL平面5C。，故切,￡8,E4兩兩垂直,

以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)/8=2,由EF〃/。，

可得幺(0,0,6),￡>(6,0,0),8(0,1,0),尸卜G,0,G),

則加=(o,i,—G),力=(G,o,—6),*=卜6,0,。卜

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為比=(x,y,z),

m-AB=y-az=0

則有《令x=l,得y=g,z=l,則應(yīng)=

in-AD=V3x-拒z=0

設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量為歷=(a,b,c),

n-AB=b-V3c=0

則有《，令c=l,得a=0,b=也,得方=(0,百,1卜

n-AF=—y[ia=0

__m-n42A/5

則cos<m,n>=7^^=--7==

\m\\n\2xV55

則平面ADB與平面ABF夾角的余弦值為工.

5

故選：B.

10.【答案】C

【解答】解：由題意正方形/3CQ的對(duì)角線AD=2夜，

則G（2,2,2行）,￡（0,2,3行），

則GE=7（2-0）2+（2-2）2+（272-372）2=瓜,故A錯(cuò)誤;

因?yàn)镚Z=gx4&=2&，則0卜2,2,2啦），故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,Z（0,4,2a）,尸（0.2,也），

則厲=（0,4,2行），礪=（0,2,3后）"=（0,2?,

所以況=2礪，

又O為三個(gè)向量的公共起點(diǎn)，所以。,￡,尸,幺四點(diǎn)共面，故C正確;

由DE=正，得。（―1,3,3收），

則屈=（2,0,回，虎=（3,-1,-可

—?——■6+0-2yfl

貝Ijcos<CE,DG>=二：,

J6x2433

所以直線CE與直線DG所成角的余弦值為注，故D錯(cuò)誤.

3

故選：C.

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：因?yàn)?=（2,—1,3）,3=（—4,2,x）,且）〃B，

所以存在實(shí)數(shù)X使得

2=—4A

a=Ab即<—1=22

3=Ax

解得x=-6.

故答案為-6.

12.【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)要求的直線方程為：x-2y+m=0,

把點(diǎn)（一1,3）代入上述方程可得：-1—2x3+機(jī)=0,解得加=7.

要求的直線方程為：x-2j+7=0,

故答案為：x-2v+7=0.

13.【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)向量I石的夾角為0,

v5=(2,3,-1),=(-2,1,3)-

.cos9=展"=2x(—2)+3xl+(—l)x3=_2

"同啊722+32+(-l)2J(-2)2+l2+327，

由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得sin，=Jl—cos?，=9,

7

以扇3為鄰邊的平行四邊形面積為S=|司?忸卜也，=舊義舊義孚=6君，故答案為：675.

14.【答案】^0,--.

【解答】解:因?yàn)?(2,1,3),5(2,—2,6),C(3,3,6),

所以就=(1,2,3),方=(0,—3,3),

所以".方=-6+9=3，

AC-ABAB3(0,-3,3)L11)

所以向量/C在詬上的投影向量坐標(biāo)為干斤,司=電.不廠=10，—

故答案為：^o,--

15.【解答】解：?直線/:二+上=l(a〉0/>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)

ab

121

—I——I,

ab

a+b—^a+bj\F-]=3H-----1-3+2^/2,當(dāng)且僅當(dāng)b-ypla時(shí)上式等號(hào)成立.

\ab)ab

■■直線在x軸，V軸上的截距之和的最小值為3+272.

故答案為：3+272.

16.【解答】解：由題意得：加=4分心+〃西乂，0,1],〃且0,1],所以尸為正方形5cC4內(nèi)一點(diǎn),

①當(dāng)2=1時(shí)，麗=苑+〃函，即而=〃甌,〃6[0,1],

所以尸在線段CG上，所以△487周長為48]+ZP+男尸，

如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)尸在4,巴處時(shí)，B^+AP^B^+AP,,故①錯(cuò)誤；

②如圖2,當(dāng)〃=1時(shí)，即而=/L五+瓦瓦，即瓦A=%^,Xe[O,l],

所以尸在81G上，Vp-AIBC=]S^AIBC?h，

因?yàn)?1G〃5C5]G<Z平面4BCU,BCU平面45C,所以點(diǎn)尸到平面4BC距離不變，即力不變,

故②正確；

1—.1—.-.

③當(dāng)彳=—時(shí)，即BP=—BC+juBB,,如圖3,

22

河為4G中點(diǎn)，N為8C的中點(diǎn)，尸是“N上一動(dòng)點(diǎn)，

易知當(dāng)〃=0時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)N重合時(shí)，由于A48C為等邊三角形，N為8c中點(diǎn)，

所以ZNJ_5C,又AA]LBC,AA]CAN=A,

所以5N,平面NAM4,

因?yàn)?Pu平面ZMW4，則尸，

當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合時(shí)，可證明出4〃，平面BCCdi，

而Wu平面5CG4，則即4尸，8尸，故③錯(cuò)誤；

1—.—.1—.

④，當(dāng)〃=5時(shí)，即第=450+588],如圖4所示，。為A81的中點(diǎn)，￡為CG的中點(diǎn)，

則尸為￡>￡上一動(dòng)點(diǎn)，易知45,

若48,平面Ng尸，只需45,男產(chǎn)即可，

取用。1的中點(diǎn)廠，連接同尸，皮"

又因?yàn)?尸，平面BCC.B,,所以N/，必I,

若45，/珞，只需男尸，平面4所，即用尸，必即可，

如圖5,易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，用尸，用故只有一個(gè)點(diǎn)尸符合要求，使得48,平面

典尸,故④正確.

故答案為：②④.

三、解答題（共50分）

17.【答案】⑴8x-3j-4=0；

(2)26x-4j-13=0.

【解答】解：（1）設(shè)8C中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（%,外）,

皿7—61-1+1八

則/==3，%=(一=0，

?.?8C邊的中線/￡（過點(diǎn)2（2,4）,￡>1；,o］兩點(diǎn),

4-02^],即8%_3,_4=0；

AD所在直線方程為了一°=

2--

2

(2)?.?8C的斜率左=412

7+613

13

：.BC的垂直平分線DE的斜率k=—

x2

直線DE的方程為J-O=y（xI,即26x—4y—13=0.

18.【答案】(1)V5;

(2)2；

(3)---.

4

【解答】解：(1)AB=AAl=2,AD=1,ZBAD=ZBAAX=ZDAA,=60°,

因?yàn)槲?函+詬+函=—方+礪+而，

所以|西|=方+通+怒丁=^AB2+AD'+AA2-2AB-AD-2A^~-

1(1+2AD-AA,

而益?詼=|而||而|cos60°=2xlxg=l,

AB-AAX=|AB|?|^!|cos60°=2x2x~=2,

=|ZD|.|24；|COS60°=lx2x1=l,

所以|BDy|=^4+1+4—2x1—2x2+2xl=s/s,

即AD】的長度為君；

(2)因?yàn)镹Z)=Z4cos60°=2x」=l,

2

所以4。AD,AD//BC,

所以

在中，BD=ylAD2+AB2-2ADABcos600=^l+4-2xlx2x1=73,

所以幺加+姐=452，

即BD1BC,

又因?yàn)?。c8。=。，

所以5C，平面45。，

而4臺(tái)u平面4Ao,

所以

即AXB為4到直線BC的距離，

而AAX=AB=2,AxAB=60°,

所以三角形為等邊三角形，即45=2,

即4到直線的距離為2;

（3）設(shè)而=4西，

則萬.而=刀.卮=（無+而+加）?斤=（九斤一通一方）?幾斤=卜系一通一次）二港

=[（2-1）28-2Z^-2D]-2（AB-Z^）

=2（A-1）AB2-（A-l）AB-AA^AAA^AB+AAA^-AD-AB+AD-^

=2^（2-1）X22-（22T）河?|同cos60。+Xx2?—畫.畫cos60。+|ZD|-|Z^|COS600

=24（2-l）-（22-l）x2x2x1+42-lx2x1+lx2x1=4分—22=41/l—,

當(dāng)4=工時(shí)，

4

這時(shí)AP-CP的最小值為-』.

4

19.【答案】(1)證明見解答；

(2)(1)尸為尸￡中點(diǎn)；(2)2.

【解答】(1)證明：在正方形?WDE中，AB//DE,

又AB史平面PDE,DEu平面PDE,

所以48〃平面尸￡)￡,

又48u平面46FG,平面4&FGC平面尸?！?人7,

則AB//FG；

7T

(2)解：(1)當(dāng)廠為尸￡中點(diǎn)時(shí)，有直線8C與平面45廠所成角為一,

6

證明如下：由24,平面48CDE,可得pJ.4E,

建立空間直角坐標(biāo)系N-?砂z,如圖所示:

則1(0,0,0),3(1,0,0),C(2,1,0),尸(0,0,2),

又少為PE中點(diǎn)，則尸(0,1,1)，元=(1,1,0),方=(1,0,0),簫=(0,1,1),

設(shè)平面48尸的一個(gè)法向量為五=(x，N，z),

n-AB=0x=0

則有〈—.，即〈人，令Z=l,則丁=一1,

n-AF=01N+z=0

則平面/跖的一個(gè)法向量為力=(O,T/)，

設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,

?,.?-6萬IIn|11

則sina=cos<n,BC>=-----——產(chǎn)=一,

\n^BC\V2xV22

JT

故當(dāng)廠為中點(diǎn)時(shí)，直線8C與平面ABF所成角的大小為一.

6

(2)設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(M,v,w),

因?yàn)辄c(diǎn)〃在棱PC上，所以可設(shè)兩=/正(0<4<1),

即(瓦,匕w-2)=2(2,1,-2),所以M=22,v=2,w=2-22,

因?yàn)闉?（O,-1,1）是平面45PGH的法向量，

_

所以萬?4//=0，即（0,151）,（22,2,2-22）=0,

2（422）—?f424｝

解得）=