2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)兩種解題模

型

旋轉(zhuǎn)兩種解題模型

目錄

解題知識必備

壓軸題型講練

題型一:奔馳模型

題型二:費(fèi)馬點(diǎn)模型

壓軸能力測評

??解題知識必備??

模型一:奔馳模型

旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型,

提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問題

模型二:費(fèi)馬點(diǎn)模型

如圖，以aABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外

面的三個頂點(diǎn)與原三角形的相對頂點(diǎn)相連，交于點(diǎn)P,點(diǎn)

尸就是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

?值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型,目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所

以應(yīng)熟練掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題。

”壓軸題型講練”

題型一:奔馳模型

一.選擇題（共1小題）

1.（2020秋?順平縣期中）如圖，P是等邊三角形48。內(nèi)的一點(diǎn)，且E4=3,=4,PC=5,將AABP繞

點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到AC8Q位置.連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZQPB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAFC=135°

二.填空題（共4小題）

2.（2023秋?北屯市校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AAOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,

6）,點(diǎn)B在第一象限，AOAB的平分線交力軸于點(diǎn)P,把A40P繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO

與AB重合，得到AABD,連接DP.則DP=,。點(diǎn)坐標(biāo)為.

3.（2023秋?長寧區(qū)校級期中）已知在AABC中，乙4cB=90°,AB=20,sinB=Wl（如圖），把AABC繞

5

著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a°（0<a<360）,將點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)4、"，如果444Y7為直角

三角形，那么點(diǎn)人與點(diǎn)曰的距離為.

____________即

4.（2022秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，正方形ABC?中，將邊AB繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B落在邊CD的垂直平分

線上的點(diǎn)E處時，/BE。的度數(shù)為.

5.（2021秋?盤龍區(qū)校級期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=3,PB=4,PC=5,以為

邊在AABC外作NBQCx'BPA,連接尸Q,則以下結(jié)論中正確有（填序號）

①ABPQ是等邊三角形②APCQ是直角三角形③乙4pB=150°④乙4PC=135°

三.解答題（共6小題）

6.（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，一塊等腰直角的三角板48。,在水平桌面上繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)

到ACDE的位置，使A,C,。三點(diǎn)在同一直線上，連接4E,求4位4的度數(shù).

7.（2021秋?長樂區(qū)期中）在放AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,將A4BC繞點(diǎn)B順時針旋

轉(zhuǎn)一定的角度得到ADBE,點(diǎn)A,。的對應(yīng)點(diǎn)分別是。，及連接AD.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E恰好在邊人口上時，求NADE的大小;

⑵如圖2,若F為人。中點(diǎn)，求C尸的最大值.

8.（2022秋?東勝區(qū)校級期中）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題:如圖1,P是正

方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)P4,PB,PC現(xiàn)將AB4口繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△PCB,連接PP.

地PA=6,PB=3,ZAPB=135°，則PC的長為，正方形ABCD的邊長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點(diǎn)P是等邊^(qū)ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且9=3,可=4,。。=5,請猜想AAPB的度

數(shù),并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，AD=3,CD=2,NACB=N4DC=45°,則RD的長度為

9.（2023秋?梁山縣期中）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且上4=6,PB=8,PC=10.若將AR4C

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后,得到^P'AB.

（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)尸’之間的距離；

（2）求NAPB的度數(shù).

10.（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過程,請補(bǔ)充完整.

（1）如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)。，24=3,。6=4,/3。=5,求/4?8的度數(shù).

11.（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解:如圖1,等邊ABDE（邊長為a）按如圖所示方式設(shè)置.

操作與證明：

（1）操作：固定等邊ZL4BC（邊長為b）,將ABDE繞點(diǎn)、B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°,連接A。，無,如圖2；在

圖2中，請直接寫出線段CE與之間具有怎樣的大小關(guān)系.

（2）操作：若將圖1中的繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個角度a（60°<aV180°）,連接AD,

CE,AD與CE相交于點(diǎn)雙，連BA7,如圖3；在圖3中線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？

NEMD的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論.

猜想與發(fā)現(xiàn)：

（3）根據(jù)上面的操作過程,請你猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)a為多少度時，線段的長度最大,最大是多少？

當(dāng)a為多少度時，線段入。的長度最小,最小是多少？

題型二:費(fèi)馬點(diǎn)模型

一.選擇題（共1小題）

1.（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知乙氏4。=60°,48=4,47=6,點(diǎn)P在A4BC內(nèi)，將AAPC繞著點(diǎn)人

逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到A4EF.則AE+PB+PC的最小值為（）

A.10B.2V19C.5V3D.2V13

二.解答題（共2小題）

2.（臺州期中）（1）知識儲備

①如圖1,已知點(diǎn)P為等邊A4BC外接圓的上任意一點(diǎn).求證：P8+PC=a4.

②定義：在AABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為的

費(fèi)馬點(diǎn),此時PA+PB+PC的值為AABC的費(fèi)馬距離.

（2）知識遷移

①我們有如下探尋"（其中ZA,NB,NC均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：n

如圖2,在kABC的外部以BC為邊長作等邊ABCD及其外接圓，根據(jù)⑴的結(jié)論，易知線段

AD的長度即為XABC的費(fèi)馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出AABC的費(fèi)馬點(diǎn)P（要求尺規(guī)作圖）.

（3）知識應(yīng)用

①判斷題（正確的打V,錯誤的打X）：

「任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個；

ii.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.

②已知正方形ABCD,P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且24++PC的最小值為V6+V2,求正方形ABCD

的

邊長.

圖2

3.（宿豫區(qū)校級期中）探究問題：

（1）閱讀理解：

①如圖（A）,在已知A46c所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為

AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時E4+PB+PC的值為&ABC的費(fèi)馬距離；

②如圖（B）,若四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一圓上，則有+=此為托勒密

定理；

（2）知識遷移;

①請你利用托勒密定理,解決如下問題：

如圖（C）,已知點(diǎn)P為等邊A4BC外接圓的BC上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA；

②根據(jù)⑵①的結(jié)論，我們有如下探尋A4BC（其中N4ZB,/C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方

法：

第一步:如圖（。）,在bABC的外部以BC為邊長作等邊ABCD及其外接圓;r

第二步：在BC上任取一點(diǎn)P',連接P'A,P'B,PC、P'D.易知P'A+P'B+P'C=P'A+（P'B+

P'C）=P'A+；

第三步:請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（O）中找出kABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,并請指出線段的長度即為

△ABC的費(fèi)馬距離.

D

（圖C）（?D）

（3）知識應(yīng)用：

2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓

的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水.

已知三村莊A、B、。構(gòu)成了如圖（E）所示的ZL4BC（其中乙4、45、NC均小于120°）,現(xiàn)選取一點(diǎn)P打

水井，使從水井P到三村莊A、B、。所鋪設(shè)的輸水管總長度最小,求輸水管總長度的最小值.

4km

（圖E）

”壓軸能力測評”

1.（連城縣期中）（1）如圖1,點(diǎn)P是等邊A4BC內(nèi)一點(diǎn)，已知E4=3,P8=4,PC=5,求乙4PB的度數(shù).

要直接求/A的度數(shù)顯然很困難,注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三

邊集中到一個三角形內(nèi)，如圖2,作NPAD=60°使4D=AP,連接尸。，CD,則AR4O是等邊三角形.

/.=AD=AP=3,AADP=APAD=60°

A4BC是等邊三角形

/.AC=AB,ABAC=60°

ABAP=

AABP4AACD

:.BP=CD=4,=AADC

?.?在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PEP+CEP=PC"

：.ZPDC=°

AAPB=AADC=AADP+APDC=60°+90°=150°V4

（2）如圖3,在AABC中，=/4BC=90°,點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，B4=1,尸8=2,PC=3,求

NAP8的度數(shù).

2.（西城區(qū)校級期中）如圖，？是等邊山4口。內(nèi)的一點(diǎn),且片4=5,尸口=4,9。=3,將44?38繞點(diǎn)8逆時

針旋轉(zhuǎn)，得到ACQB.求：

（1）點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離；

（2）求/BPC的度數(shù).

3.（漢陽區(qū)期中）如圖，P是等腰ZL4BC內(nèi)一點(diǎn)，=連接P4,PB,PC.

⑴如圖1,當(dāng)2ABe=90°時,將APAB繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

⑵在⑴中，若上4=2,尸B=4,PC=6,求乙4PB的大小；

（3）當(dāng)乙48。=60°時，且_B4=3,PB=4,PC=5,則A4PC的面積是jV3+3（直接

填答案）

4.（漢陽區(qū)期中）（1）閱讀證明

①如圖1,在A4BC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱點(diǎn)P為AABC：

的費(fèi)馬點(diǎn),此時融+PB+PC的值為'ABC的費(fèi)馬距離.

②如圖2,已知點(diǎn)P為等邊A4BC外接圓的BC上任意一點(diǎn).求證：+PC=Q4.

（2）知識遷移」

____________F

根據(jù)⑴的結(jié)論，我們有如下探尋“口。（其中ZA,NB,NC均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

第一步:如圖3,在AABC的外部以為邊長作等邊ABCD及其外接圓；

第二步：在市上取一點(diǎn)品，連接品入，P0B,P0C,P0D.易知幾人+巳口+媼。=舄4+（品3+舄。）=

PQA+;

第三步:根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出kABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,線段的長度即為^ABC的費(fèi)馬距

離.

（3）知識應(yīng)用

已知三村莊。構(gòu)成了如圖4所示的A4BC（其中乙4,乙8,NC均小于120°）,現(xiàn)選取一點(diǎn)尸打水

井，使水井尸到三村莊A，B,。所鋪設(shè)的輸水管總長度最小.求輸水管總長度的最小值.

5.（當(dāng)涂縣校級期中）如圖，點(diǎn)P是等邊A4BC外一點(diǎn)，上4=3,PB=4,PC=5

（1）將AAPC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAG，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（2）在（1）的圖形中，求乙4PB的度數(shù).

_________/

旋轉(zhuǎn)兩種解題模型

目錄

解題知識必備

壓軸題型訓(xùn)箍

題型一:奔融模型

題型二:費(fèi)馬點(diǎn)模型

壓軸能力漏評

??解題知識必備??

模型一:奔馳模型

旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型,

提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更直要的是要明白一點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問題

模型二:費(fèi)馬點(diǎn)模型

費(fèi)馬點(diǎn)作法

如圖，以aABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外

面的三個頂點(diǎn)與原三角形的相對頂點(diǎn)相連，交于點(diǎn)P,點(diǎn)

尸就是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

?值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型,目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所

以應(yīng)熟練掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題。

”壓軸題型講練”

題型一:奔馳模型

一.選擇題（共1小題）

1.（2020秋?順平縣期中）如圖，P是等邊三角形48。內(nèi)的一點(diǎn)，且E4=3,=4,PC=5,將AABP繞

點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到AC8Q位置.連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZQPB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAFC=135°

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，即可判斷B;依據(jù)ABPQ是等邊三角形，即可得到

AQPB=APBQ=ABQP=60°,進(jìn)而得出ABPA=ABQC=60°+90°=150°,求出AQPC=15°即可判斷D

選項.

【解答】解：?.?△ABC是等邊三角形，

/ABC=60°,

?.?將AABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到ACBQ位置,

：.ABQCMABPA,

：.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=B4=3,4ABp=4QBC,

NPBQ=ZPBC+/LCBQ=NPBC+NABP=NABC=60°,

ABFQ是等邊三角形，

PQ=BP=4,

?：PQ2+QC2=^+32=25,PC'2=52=25,

：.PQ2+QC2PC2,

：.4PQC=90°,即APQC是直角三角形，故B正確，

???ABPQ是等邊三角形，

/.NQPB=APBQ=ZBQP=60°,故A正確，

/.ABPA=2BQC=600+90°=150°,故。正確,

若/4PC=135°,則ZQPC=360°-135°-150°-60°=15°,與_R4=3,PB=4,PC=5不符，故選項。錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推

理的能力.

二.填空題（共4小題）

_____________________________B

2.(2023秋?北屯市校級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知^AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,

6),點(diǎn)8在第一象限，ZOAB的平分線交c軸于點(diǎn)P,把^AOP繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO

與AB重合，得到A4BD,連接DP.則DP=泵^，。點(diǎn)坐標(biāo)為.

【分析】根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得60°,然后根據(jù)對應(yīng)邊的夾角2OAB為旋轉(zhuǎn)角求出

APAD=60°,再判斷出^APD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得DP=AP,根據(jù)，AOAB

的平分線交c軸于點(diǎn)P,/OAP=30°,利用三角函數(shù)求出AP,從而得到DP,再求出/OAD=90°,然后寫出

點(diǎn)。的坐標(biāo)即可.

【解答】解：?.?AAOB是等邊三角形，

.,.ZOAB=60°,

?/^AOP繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)邊AO與4B重合，

/.旋轉(zhuǎn)角=AOAB=APAD=60°,AD=AP,

：.AAPD是等邊三角形，

:.DP=AP,ZPAD^60°,

?/A的坐標(biāo)是(0,6),ZOAB的平分線交力軸于點(diǎn)P,

ZOAP=30°,AO—6,

.-.OF=273,

AP=4V3,

DP=AP=4V3,

?/ZOAP=30°,ZPAD=60°,

/OAD=30°+60°=90°,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4V3,6).

故答案為：DP=4V3:點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4V3,6).

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)并判

斷出AAPD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2023秋?長寧區(qū)校級期中)已知在AABC中，ZACB=90°,48=20,sin8=艱(如圖)，把AABC繞

著點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)a°(0<a<360),將點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A、E,如果A44C為直角

三角形，那么點(diǎn)A與點(diǎn)9的距離為4、或行.

【分析】根據(jù)△A4C為直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段ACCA延長線上時，△44，。為直角三角

形；②當(dāng)點(diǎn)4在線段8。上時，△A4。為直角三角形，依據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可得到點(diǎn)A與點(diǎn)日

的距離.

【解答】解：分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)9在線段CA延長線上時，4c為直角三角形，

NACB=90°,AB=20,sinB=鋁，

5

AC=ABx項=20x叁=4V5,

55

A'C=4^5,BC=VAB^CA2=8V5=B'C,

：.AB'=B'C-AC=8V5-4V5=475;

②當(dāng)點(diǎn)H在線段BC上時，△44。為直角三角形，

同理可得，3C=8啰，AC=4方，

AB'=AC+B'C=8V5+4V5=12V5;

綜上所述，點(diǎn)A與點(diǎn)的距離為4V5或12V5.

故答案為：電狗或12遍.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用分類思想是本題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，正方形ABCD中，將邊AB繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B落在邊CD的垂直平分

線上的點(diǎn)E處時，/BE。的度數(shù)為45°或135°.

【分析】分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得ABEC是等邊三角形，由等腰三角形的

性質(zhì)可求解.

【解答】解:如圖，當(dāng)點(diǎn)E在向1的右邊時，

?.?AW是CD的垂直平分線，四邊形ABCD是正方形，

.?.朋N垂直平分BA,

：.BE-EA,

?.?將邊BA繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

：.BA^AE,

：.ABE4是等邊三角形，

/EBA=/BEA=60°,

:.NCBE=/EAD=30°,

,：AB^AD^AE,

乙4ED=75°,

ABED=75°+60°=135°;

當(dāng)點(diǎn)E'在BA的左邊時，

同理可得是等邊三角形，

/.BA=BE\ABE'A=60°=AABE',

：./DAE，=150°,

?：AB^AD^AE',

：.AAE'B=15°,

：./BE'0=45°,

ABED的度數(shù)為45°或135°.

故答案為：45°或135°.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)

鍵.

5.（2021秋?盤龍區(qū)校級期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且R4=3,PB=4,PC=5,以為

邊在'ABC外作l\BQC=bBPA,連接尸Q,則以下結(jié)論中正確有①②③（填序號）

①ABPQ是等邊三角形②APCQ是直角三角形③乙4尸B=150°④N4PC=135°

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/ABC=60°,根據(jù)全等得出ZBPA=/BQC,BP=BQ=4,QC=PA=

3,乙4BP=/QBC,求出/PBQ=60°,即可判斷①，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②；求出ZBQF=60°,

APQC=90°,即可判斷③，求出AAPC+AQPC=150°和PQWQC判斷④.

【解答】解：?.?AABC是等邊三角形，

/4BC=60°,

?/ABQCxkBPA,

：.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,AABP=AQBC,

：.NPBQ=APBC+ACBQ=ZPBC+NABP=AABC=60°,

AAErQ是等邊三角形，

PQ=BP=4,

?.?PQ2+QC2=42+32=25,FC2=52=25,

PQ2+QC2=PC2,

：.ZPQC=90°,即APQC是直角三角形，

???ABFQ是等邊三角形，

/./BOQ=/BQP=60°,

ABPA=NBQC=60°+90°=150°,

/.AAPC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-ZQPC,

?：ZQPC>30°,

即ZAPC<135°,

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形

的判定定理、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共6小題）

6.（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，一塊等腰直角的三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)

到bCDE的位置，使A,C,。三點(diǎn)在同一直線上，連接AE,求NDEA的度數(shù).

【分析】由已知直接可得旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)C,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為135°,而NCAE+/CEA=45°,AC=CE,即得

2CAE=ACEA=22.5°,由此即可求出ZDEA的度數(shù).

【解答】解：?.?等腰直角三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)到XCDE的位置，

旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)。，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為135°,

?/NECD=/ACB=45°,

：.ACAE+ACEA=45°,

?：AC=CE,

ACAE=ACEA=22.5°,

NDAE的度數(shù)為22.5°,

NDEA=90°-22.5°=67.5°.

【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)問題,解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

7.（2021秋?長樂區(qū)期中）在放AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,將A4BC繞點(diǎn)B順時針旋

轉(zhuǎn)一定的角度得到ADBE,點(diǎn)A,。的對應(yīng)點(diǎn)分別是。，及連接AD.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E恰好在邊AB上時,求AADE的大小;

⑵如圖2,若F為中點(diǎn)，求CF的最大值.

圖2

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：=NEBD=NCBA=30°,乙4cB=90°,再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理

即可得出答案；

（2）如圖2,連接利用等腰三角形的性質(zhì)證明乙4斤8=90°,然后證明A、C、B、F四點(diǎn)共圓，接著利用圓

是圓中最長的弦即可求解.

【解答】解：（1）如圖1,?.?△ABC繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)&得到ADEB,點(diǎn)、E恰好在AB上,

：.BA=BD.AEBD=ZCBA=30°./DEB=ZACB=90°.

ABAD=ZBDA=75°,

：.ZADE=9Q°-75°=15\

⑵如圖2,連接BF,

?.?氏4=m，9為4D中點(diǎn)，

：.BF±AD,

：.ZAFB=90°,

而乙4cB=90°,

.,.A、C、B、F四點(diǎn)共圓，

AB為這個圓的直徑，CF為這個圓的一條弦,圖2

VAC=4,/ABC=30°,

AB—8,

.,.CF的最大值為8.

【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時也利用了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，有一定的綜合性.

8.（2022秋?東勝區(qū)校級期中）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題:如圖1,P是正

方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,PC現(xiàn)將^PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△PCB,連接PP,.

若弘=方，P8=3,NAPB=135°，則PC的長為2"，正方形ABCD的邊長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點(diǎn)P是等邊^(qū)ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且9=3,可=4,。。=5,請猜想AAPB的度

數(shù),并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，AD=3,CD=2,NACB=N4DC=45°,則RD的長度為

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP，=3,P，C=PA=0APBP'=90°,4BP，C=AAPB=135°,則

^BPP'為等腰直角三角形，再由勾股定理得PC=2/K,過點(diǎn)A作AE_LBP交BP的延長線于E,則^AEP

是等腰直角三角形，得AE=PE=1,得BE=4,然后由勾股定理即可求解；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得^BPP'是等邊三角形，則PP=BP=4,/BPP=60°,AP=3,AP=PC=5,再由勾

股定理的逆定理得A4PP為直角三角形，即可求解；

⑶由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AK=AD=3,CK=BD,/KAD=90°,則ADAK是等腰直角三角形，得。K=，

AADK=45°,再證ACDK=90°，即可解決問題.

【解答】解：（1）繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△PCB,

ABP=BP=3,P'C=PA=0APBP'=90°,ABP'C=AAPB=135°,

.,.△BPP為等腰直角三角形，R

ABP'P=45°,PP'=V2PB=3A/2,

A4PP'C=135°-45°=90°,

在中，由勾股定理得：2(方(

Rt/\PP'CPC=yJPP'-+P'C=J3y+2y=2A/5

過點(diǎn)A作AE_LBP交BP的延長線于E,如圖1所示：

?//APB=135°,

zLAPE=180°-135°=45°,

^AEP是等腰直南三角形，

:.AE=PE=卓=亨x0=1,

...BE=PB+PE=3+1=4,

在R1AAEB中，由勾股定理得：AB=JAE?+=/儼+42=4y,圖1

故答案為：2方，，行；

（2）ZAPB的度數(shù)為150°,理由如下：

-.?AABC是等邊三角形，

AB=BC,/ABC=60°,

將ABPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得至I/\BP'A,連接PP'，如圖2所示：

則ABPP是等邊三角形，4

PP'=BP=4,ZBPP'=60°,..--X

?：AP=3,AP'=PC=5,p，:二二/I\

P'P2+AP2=AP'2,\7/p\\

：.AAPP，為直角三角形，\/

AAPP'=90°,B^C

/APB=/LAPP'+ZBPP'=90°+60°=150°;圖2

（3）VAABC=AACB=/ADC=45°,

ABAC是等腰直角三角形，

ABAC=90°,AB=AC,7

將AABO繞點(diǎn)人順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到連接。K,

如圖3所示：?；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AK=AD=3,CK=BD,/K4O=90°,/；

ADAK是等腰直角三角形，

:.DK=6AD=36,AADK=45。，\

A4CDK=AADC+AADK^45°+45°=90°,\ZB

，ACDK是直角三角形，c

CK=y/DK^+CD2=V（3V2）2+22=V22,圖3

BD=V22,

故答案為：，藥.

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角

形的判定與性質(zhì)、勾股定理和勾股定理的逆定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

9.（2023秋?梁山縣期中）如圖，P是正三角形4BC內(nèi)的一點(diǎn)，且上4=6,P8=8,PC=10.若將AR4C

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后,得到△PAB.

（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離；

⑵求乙4PB的度數(shù).

【分析】（1）由已知繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△。弘3,可得47%。會/\"48,曰=_?9，旋轉(zhuǎn)角

AP'AP=ABAC=60°,所以^APP'為等邊三角形，即可求得PP;

⑵由^APP'為等邊三角形，得/4PP'=60°,在/\PP'B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，

得出ZPPB=90°,可求NAPB的度數(shù).

【解答】解：（1）連接PP,由題意可知BP=PC=10,AP'=AP,

ZPAC=ZP'AB,而ZPAC+/BAP=60°,

所以ZB4P=60度.故AAPP為等邊三角形，

所以PP=AP=4P'=6;

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP松+BP2=BP'2，所以^BPP'為直角三角形，且ABPP'=90°

可求ZAPS=90°+60°=150°.

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.

10.（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過程,請補(bǔ)充完整.

（1）如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,e4=3,P8=4,PC=5,求的度數(shù).

解:將AAPC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△APB,連接PP,則AAPP為等邊三角形.

,:PP=PA=3,PB=4,P，B=PC=5,

：.P'P2+PB2=P'B\

：.^BPP'為直角三角形.

/.乙4PB的度數(shù)為.

（2）類比延伸

如圖2,在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,若/APD=135°,試判斷線段E4、PB、P。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到ABFP為直角三角形，且/BPP=90°,即可得到乙4PB的度數(shù)；

⑵把^ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AABF',根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得：

PB=PD,PA=_R4,然后求出AAPP是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出FF,2=2B42,：

/PPA=45°,再求出/PPB=90°,然后利用勾股定理得出PP'2+P32=PB2,等量代換得出2B42+PD2=：

PB2.：

【解答】解：⑴如圖1,將^APC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得至IA4P_B,連_接PP_'，則A_4P_P為_等邊_三角形.F：

?：PP'=PA=3,PB=4：,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2^P'B2.

：.ABPP為直角三角形.

/./APB的度數(shù)為90°+60°=150°.

故答案為：直角；150°;

+PD2PB2.理由如下：

如圖2,

把^ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AABP，,連接PP'.

則P'B=PD,P'A=PA,ZB4F,=90°,P'

/.^APP'是等腰直角三角形，圖2

/.PP'2=B42+Pd=2B42,APP'A=45°,

?.?/APD=135°,

/./AP'B=/APD=135°,

/.APP'B=135°-45°=90°,

在Rt/SPP'B中，由勾股定理得，PP'2+P'B2=PB2,

：.2B42+PD2=PB\

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對

應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理.

11.（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解:如圖1,等邊ABDE（邊長為a）按如圖所示方式設(shè)置.

操作與證明：

（1）操作：固定等邊A46C（邊長為b）,將ABDE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°,連接4D,CE,如圖2；在

圖2中，請直接寫出線段CE與之間具有怎樣的大小關(guān)系.

（2）操作：若將圖1中的kBDE,繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個角度?（60°<?<180°）,連接AD,

CE,40與CE相交于點(diǎn)河，連如圖3；在圖3中線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？

NEMO的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論.

猜想與發(fā)現(xiàn)：

（3）根據(jù)上面的操作過程，請你猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)a為多少度時，線段AD的長度最大,最大是多少？

當(dāng)a為多少度時，線段入。的長度最小,最小是多少？

【分析】（1）利用SAS證明AEBCwADBA即可；

⑵利用SAS證明dEBC=ADBA,得EC=AD,4CEB=NADB，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案;

（3）點(diǎn)。在以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)三點(diǎn)共線時，AD最長或最短.

【解答】解：(1)EC=AD;

?.?將^BDE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°,

AZABD=NCBE,

(BD=BE

在AEBC和ADBA中，(4ABD=4CBE,

[AB^BC

：.^EBC=^DBA(SAS)>,

:.EC=AD;

⑵EC=AD,/EMD=60°,理由如下：

設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O,

將ABDE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)4度,

ZEBC=ZDBA=a,

?：AABC與ABDE是等邊三角形，

:.BC=AB,BD=BE,

：.^EBC=^DBA(SAS)>,

：.EC=AD,ACEB=AADB,

4EOM=4DOB,

：.AEMD=ZEBD=60°,

⑶由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)。在以點(diǎn)口為圓心，BD長為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)A,D,B三點(diǎn)共線時，AD最長或

最短.

當(dāng)a為：180°時，線段AO的長度最大，等于a+6;當(dāng)a為0°（或360°）時，線段AO的長度最小，等于a—6.

【點(diǎn)評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平

分線的判定等知識，證明XEBC"DBA是解題的關(guān)鍵.

題型二:費(fèi)馬點(diǎn)模型

一.選擇題（共1小題）

1.（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知ABAC=60°,48=4,47=6,點(diǎn)P在A4BC內(nèi)，將AAPC繞著點(diǎn)A

逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AAEF.則4E+PB+PC的最小值為（）

A.10B.2V19C.5V3D.2V13

【分析】連接BF,過點(diǎn)3作8。_1AF,與AF的延長線交于點(diǎn)。，由旋轉(zhuǎn)可知424E=/CAF=60°,AP=

AE,PC=EF,AC=AF=6,于是可得AAPE為等邊三角形，進(jìn)而得到AE+PB+PC^PE+PB+EF>

利用含30度的直角三角形性質(zhì)可得人。=/48=2,=最后利用勾股定理求出BF

的長即可.

【解答】解:如圖，連接BF,過點(diǎn)B作BD_LAF,與AF的延長線交于點(diǎn)D,

則/ADB=90°,-

?/將^APC繞著點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到^AEF,

/B4E=/CAF=60°,AP^AE,PC=EF,AC=AF=6,

AAAPE為等邊三角形，

:.AE=PE,

：.AE+PB+PC^PE+PB+EF,

,：PB+PE+EF^BF,

：.當(dāng)點(diǎn)B、P、E在同一條直線上時，PB+PE+EF取得最小值為BF,

即AE+PB+PC取得最小值為BF,

ZR4C=60°=/CAE,

/BAD=60°,

A/ABD=30°,

AD==2,BD=V3AD=2^/3,

DF^AD+AF^2+6=8,

在RtABDF中，BF=y/Blf+DF2=V（2A/3）2+82=2V19,

AE+PB+PC取得最小值為

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理，熟練掌

握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二.解答題（共2小題）

2.（臺州期中）（1）知識儲備

①如圖1,已知點(diǎn)P為等邊A4BC外接圓的上任意一點(diǎn).求證：P8+PC=R1.

②定義:在A4BC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為A4BC的

費(fèi)馬點(diǎn)，此時R4+PB+PC的值為AABC的費(fèi)馬距離.

（2）知識遷移

①我們有如下探尋“口。（其中乙4,NB,NC均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

如圖2,在A4BC的外部以為邊長作等邊ABCD及其外接圓，根據(jù)⑴的結(jié)論，易知線段

AD的長度即為bABC的費(fèi)馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出AABC的費(fèi)馬點(diǎn)P（要求尺規(guī)作圖）.

（3）知識應(yīng)用

①判斷題（正確的打V