PAGE1第24講數(shù)列的概念（9類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第19題,15分由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和2023年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年天津卷，第18題,15分等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位相減法求和分組(并項(xiàng))法求和2021年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題2020年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算分組(并項(xiàng))法求和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分【備考策略】1.理解、掌握數(shù)列的概念2.能掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式3.具備數(shù)形類比遞推的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)求解數(shù)列的最值與單調(diào)性4.會(huì)解數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和問(wèn)題。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念1.數(shù)列：按照確定的順序排列的一列數(shù)2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)3.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an4.遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式5.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即知識(shí)點(diǎn)二.數(shù)列的分類1.項(xiàng)數(shù)：（1）有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限（2）無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限2.項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系：（1）遞增數(shù)列：an＋1>an（2）遞減數(shù)列：an＋1<an（3）常數(shù)列：an＋1＝an（4）擺動(dòng)數(shù)列：從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（其中n∈N*）知識(shí)點(diǎn)三.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．知識(shí)點(diǎn)四.數(shù)列常用的結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則a2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則an≥an?1an≥an+1(n≥2，n∈N*)；若an最小，則知識(shí)點(diǎn)五.數(shù)列的兩種常用表示方法（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．考點(diǎn)一、數(shù)列的周期性1.（·湖南·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=0，aA．0 B．?C．3 D．32.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，an>0,a1A．2 B．1 C．3 D．51.（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列an滿足4an+1?5an+1an?2A．40 B．41 C．42 D．432.（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列an中，a1=2A．?2 B．?1 C．1 D．23.（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報(bào)數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報(bào)出1，乙報(bào)出2后，之后每個(gè)人報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該為（

）A．2 B．4 C．6 D．84.（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an中，a1=4，a2=3A．14 B．34 C．3 考點(diǎn)二、數(shù)列的單調(diào)性1.（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足an=A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>12.（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．?2,+∞1.（2024·北京西城·三模）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，定義dn=an+1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足an=n?aa∈R，則“A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足an+2=3an+1?2an，a14.（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，a1=(1)記bn=a(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sn考點(diǎn)三、數(shù)列的最值1.（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列an中，a1=?9，a5=?1A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)2.（·遼寧·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=33,1.（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）在遞增數(shù)列an中，a1=π6，sinanA．12 B．32 C．?12.（24-25高三上·山西大同·期末）等比數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，a1=1，且A．12 B．49 C．163.（2024·山東濟(jì)南·二模）已知an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，an前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2024A．63 B．64 C．71 D．724.（2024·天津和平·二模）已知數(shù)列an滿足12a1+122a2+?+12nan=nn∈考點(diǎn)四、an與S1.（2024·山東濟(jì)南·三模）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)A．10 B．11 C．12 D．132.（2024·貴州遵義·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=A．16 B．17 C．18 D．191.（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3?2A．1681 B．21181 C．8272.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an+1=Sn3.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前n項(xiàng)和S4.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=考點(diǎn)五、累加法求通項(xiàng)公式1.（2024·重慶·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SA．276 B．272 C．268 D．2662.（2024·河北保定·三模）設(shè)bn是公差為3的等差數(shù)列，且bn=an+1A．21 B．25 C．27 D．311.（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在數(shù)列an中，a1=1，aA．43 B．46 C．37 D．362.（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an=an?1A．Sn=nn+1 B．Sn=3.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=3,a2=15，且an+2A．2016 B．2017 C．4032 D．40344.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+3n，若首項(xiàng)為1A．10122023 B．20252024 C．20232024考點(diǎn)六、累乘法求通項(xiàng)公式1.（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an對(duì)任意k∈N*滿足aA．21012 B．21013 C．220242.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足an+1an=A．28 B．220 C．2251.（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前nA．12n?12n+1 B．3n?22n+1 C．2?2.（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列an中，an>0，a1=1A．414 B．15 C．223 3.（2024·四川瀘州·三模）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=1，n4.（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，3.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2an+1=3SnA．?3,2 B．?3,2 C．?3,2 D．?3,24.（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且an+1A．1 B．32 C．76考點(diǎn)八、遞推數(shù)列問(wèn)題1.（2025·廣東·一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)an為斐波那契數(shù)列，a1=1,a2=1,an=A．5 B．6 C．7 D．82.（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an+1A．a(chǎn)3a4和a5a6 B．a(chǎn)4a5和a61.（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x?13x+1，數(shù)列anA．1 B．2 C．3 D．42.（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列{an}共有9項(xiàng)，且a1=1?，A．28個(gè) B．36個(gè) C．45個(gè) D．56個(gè)4.（2024·四川樂(lè)山·三模）峨眉山是一個(gè)著名的旅游和朝圣地，以其壯麗的自然風(fēng)光和宗教文化遺址而聞名．其中“九十九道拐”景點(diǎn)約有2000級(jí)臺(tái)階，某游客一次上1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，設(shè)爬上第n個(gè)臺(tái)階的方法數(shù)為an①a5=8；②3an+1=an?1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．考點(diǎn)九、數(shù)列中的規(guī)律1.（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房A只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房，…，以此類推，用an表示蜜蜂爬到n號(hào)蜂房的方法數(shù)，則aA．10 B．55 C．89 D．992.（24-25高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）三名籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙進(jìn)行傳球訓(xùn)練（不能傳給自己），由丙開始傳，經(jīng)過(guò)5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．10種 C．11種 D．12種1.（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1,4,8,13，則該數(shù)列的第18項(xiàng)為（

）A．188 B．208 C．229 D．2512.（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（

）A．366 B．422 C．450 D．6003.（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（TowerofHanoi），是一個(gè)源于印度古老傳說(shuō)的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號(hào)分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著n個(gè)不同大小的圓盤，要把所有盤子一個(gè)一個(gè)移動(dòng)到柱子B上，并且每次移動(dòng)時(shí)，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請(qǐng)問(wèn)至少需要移動(dòng)多少次？記至少移動(dòng)次數(shù)為Hn，例如：H(1)=1，H(2)=3A．H(3)=5 B．H(n)為等差數(shù)列C．H(n)+1為等比數(shù)列 D．H4.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關(guān)系為a2+b2=c2（其中a≤bA．145 B．181 C．221 D．2651．（2024·天津·二模）已知數(shù)列an為不單調(diào)的等比數(shù)列，a2=14,aA．34 B．78 C．982．（23-24高三上·天津和平·期末）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，aA．9 B．21 C．45 D．933．（23-24高三上·天津·期中）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=1且A．9 B．27 C．81 D．1014．（22-23高三上·湖南婁底·期末）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a3A．157 B．C．114 D．5．（22-23高三上·天津靜?！るA段練習(xí)）設(shè)命題P：已知定義在(0,+∞)的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f'x=xlnx?x，存在k∈R，使得A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（21-22高三上·天津河西·期中）已知數(shù)列an中，a1=?1，an=2an?1+3，則通項(xiàng)公式1．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an滿足a1+2A．53 B．85 C．1272．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若Sn+2aA．7 B．15 C．8 D．163．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．04．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=A．4n?13C．4n?1 5．（23-24高三上·天津西青·期末）已知an是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，2A．3 B．18 C．54 D．1526．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）著名的“全錯(cuò)位排列”問(wèn)題（也稱“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”是指“將n個(gè)不同的元素重新排成一行，每個(gè)元素都不在自己原來(lái)的位置上，求不同的排法總數(shù)．”，若將n個(gè)不同元素全錯(cuò)位排列的總數(shù)記為an，則數(shù)列an滿足a1=0,a1.（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosanA．－1 B．?12 C．0 2.（2022·全國(guó)·高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，