危圓冏薇5笄微型

壓軸題密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點(diǎn)定長：當(dāng)遇到同一個端點(diǎn)出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點(diǎn)為圓心，等線

段長為半徑構(gòu)造輔助圓；（2）定弦定角：當(dāng)遇到動點(diǎn)對定點(diǎn)對定線段所張的角為定值時,通常把張角轉(zhuǎn)化為圓

周角構(gòu)造輔助圓。當(dāng)遇到直角時，通常以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓。（3）四點(diǎn)共圓:對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂

點(diǎn)共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。

壓軸題預(yù)測

類型1：定點(diǎn)

頷目工（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義:在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,。4=。8=。。,請利用圓規(guī)畫出過A、B.。三點(diǎn)的圓.若/AOB=70°,則=

_35°_.

如圖，RtAABC中，NABC=90°,ABCA=30°,=2.

（2）已知，如圖2.點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，將AC沿BA方向平移2個單位長度,點(diǎn)力、P、。的對應(yīng)點(diǎn)分別為

點(diǎn)。、E、F,求四邊形BDFC的面積和ABEA的大小.

（3）如圖3,將AC邊沿BC方向平移a個單位至DF,是否存在這樣的a,使得直線DF上有一點(diǎn)Q,滿足

/BQA=45°且此時四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形歷LDF面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

圖3

圖2

【分析】（1）利用圓的定義知A,B,。三點(diǎn)共圓，再利用圓周角定理求解.

（2）根據(jù)圖形的平移性質(zhì)，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而解.

（3）因角度不變，借助圓周角定點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時角度不變的思想，判斷出。點(diǎn)能夠向右移動的最大距離，

求出四邊形的最大面積.

【解答】（1）以。為圓心，OA為半徑作輔助圓，如圖，

ZAOB=70°,

乙4cB=35°,

故答案為35°.

⑵連接PB,PE,如圖，

RtAABC中，AABC=90°,ABCA=30°,AB=21.

AC=4,ABAC=60°,BC=2V3.

P為RtAABC斜邊AC中點(diǎn)，

：.BP=^-AC=2,

線段AC平移到OF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

二.四邊形4BPE為菱形，

?/ABAC=60°,

：./BE力=30°,

?/CF〃BD,且/ABC=90°,

四邊形BDFC為直角梯形，

.?.S=《(BD+CF)XBC=-^X6X2A/3=6A/3,

(3)如圖所示，以AB為斜邊在AB的右側(cè)作等腰直角三角形O4B,以O(shè)為圓心，OA為半徑作OO,

當(dāng)AC邊沿BC方向平移a個單位至。F時，

滿足ABQA=45°且此時四邊形BADF的面積最大，

直線。F與OO相切于點(diǎn)Q,

連接OQ交AD于G,過點(diǎn)。作08,AD于

則ZAHO=AOHG=ZDQG=90°,/OAF/=45°,ZGDQ=30°,

?：NABC=90°,ZBCA=30°,AB=2,

BC=2A/3,OA=OB=OQ=V2,

AH=OH=1,HG=^-,OG=^-,

oo

：.GQ^V2-^-,DG=2GQ^2V2-^~,

oo

2

：.AD^AH+HG+GD^l+^+2V2-^-^l+2V2-V3,

oo

.，.a=1+2y/2—V3,

此時直角梯形ABF。的最大面積為：

S—~~x（BF+AD）xAB—x（2A/3+1+2A/^—V3+1+2,\/2^—A/3）x2—4\/2-+2.

【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，找到極值點(diǎn)求解.

[題目0（2024.蘭州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在AABC中，AB=AC,/氏40=90°,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)A,B,。三點(diǎn)不共線），4E為

AABD的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學(xué)發(fā)現(xiàn):延長AE至點(diǎn)河,使得A7E=4E,連接。始終存在以下兩個結(jié)

論，請你在①,②中挑選一個進(jìn)行證明：

①DM=AC-,②ZMDA+NDAB=180°；

【類比探究】⑵如圖2,將人。繞點(diǎn)人順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AF,連接CF.小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)

一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=請你幫他證明；

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點(diǎn)。在以點(diǎn)A為圓心，4。為半徑的圓

上運(yùn)動（AD>48）,直線4E與直線CF相交于點(diǎn)G,連接BG,在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中BG存在最大值.若

4B=4,請直接寫出BG的最大值.

圖1圖2圖3

【分析】（1）利用SAS證明^ABE=^MDE，可得AB=DM，再結(jié)合AB=AC,即可證得DM=；由全

等三角形性質(zhì)可得/DA4E,再運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)即可證得AMDA+180°;

（2）延長AE至點(diǎn)“，使得2WE=AE,連接DM.利用SAS證得^ACF=&DMA，可得CF=AM,再由

AE=yAM，可證得/㈤=-yCF;

⑶延長D4至使AW=AD,設(shè)AM■交CF于N,連接■交CF于K,取47中點(diǎn)P,連接GP,可證得

^ACF=^ABM（SAS），利用三角形中位線定理可得AE〃，即力G〃,利用直角三角形性質(zhì)可得

GP=￡AC=；AB=2,得出點(diǎn)G在以P為圓心，2為半徑的。P上運(yùn)動，連接BP并延長交。P于G1

可得BG'的長為BG的最大值,再運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

【解答】（1）證明：①AE為^ABD的中線，

/.BE=DE,

（BE=DE

在AABE和AMDE中,《AAEB=AMED,

[AE=ME

：.\ABE"MDE（SAS）,

??.AB=DM,

???AB=AC9

：.DM=AC;

②由①知'ABE=\MDE,

???/BAE=/DME,

??.AB//DM,

??.AMDA+/.DAB=180°;

⑵證明：延長AS至點(diǎn)河，使得=連接ZW.

由旋轉(zhuǎn)得：4尸=AD,ADAF=90°f

???ZBAC=90°,ADAF+ABAC+ZBAD+ACAF=360°,

???ZBAD-iACAF=180°,

由(1)②得：AMDA+ADAB=180°,DM=AB=AC,

：./CAF=/MDA,

(AF=AD

在A4CF和^DMA中，INC4F=AMDA,

[AC=DM

???^ACF=^DMA{SAS),

：.CF=AM,

-：AE=^-AM,

??.=

⑶如圖3,延長D4至河，使AD,設(shè)4河交CF于N,連接BA/交CF于K,取4。中點(diǎn)P,連接GP,

由旋轉(zhuǎn)得ADAF=90°f

：.AF=AM,AMAF=180°-90°=90°,

???ZBAC=90°,

??.AMAF+ZCAM=ABAC+/CAM,

即ZCAF=ABAM,

(AC=AB

在AAC尸和^ABM中，(ACAF=/.BAM,

[AF=AM

：.^ACF=^ABM(SAS),

???ZAFC=/AMB,即乙AFN=/KMN,

???/ANF=/KNM,

：.4FAN=ZMKN=90°,

：.BM_LCFf

???E、4分別是DB、DM的中點(diǎn)，

???AE是bBDM的中位線，

???AE〃BM,即AG〃BM,

???AGYCF,

：.ZAGC=90°f

???點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，

??.GP=yAC=-j-AB=2,

.?.點(diǎn)G在以P為圓心，2為半徑的。P上運(yùn)動,

連接并延長交。P于G，，

BG，的長為BG的最大值，

在R1AABP中，BP=y/AB'2+AP2=V42+22=275,

BG'=BP+PG'=2V5+2,

.?.BG的最大值為2瓶+2.

【點(diǎn)評】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質(zhì)與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理，勾

股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵.

題目⑤（2022?番禺區(qū)二模）己知拋物線夕=遍+法—?（a>0）與立軸交于點(diǎn)4B兩點(diǎn)，

=4.其頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為一1.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)。在拋物線第一象限的圖象上，DEL4。垂足為E,DF〃沙軸交直線4。于點(diǎn)F,當(dāng)ADEF面積

等于4時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）在⑵的條件下，點(diǎn)河是拋物線上的一點(diǎn),M點(diǎn)從點(diǎn)B運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)C,FM±FN交直線BD于點(diǎn)N,延

長砂與線段DE的延長線交于點(diǎn)〃，點(diǎn)P為N,F,H三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，求點(diǎn)P經(jīng)過的路線長.

（分析】（1）利用對稱性，求得人和B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；

（2）證明ACGA和^DEF都為等腰直角三角形，利用等面積法求得DF=4,再求得直線AC的解析式為y

=x-l,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到點(diǎn)F的坐標(biāo),然后求解即可；

⑶先求得ZBr>F=45°,推出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑時HN的中點(diǎn)繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至IN2H的中點(diǎn)之間

的弧長，證明四邊形DMEE為正方形，即可求解.

【解答】解：（1”.?點(diǎn)點(diǎn)B兩點(diǎn)關(guān)于直線/=一1對稱，43=4,

.-.A(l,0),B(-3,0),

a+b—I-=0

代入g=ax2+bx—^得,9"3bjo"

A拋物線的解析式為9=^X2+X-y.

⑵如圖1所示:

???OF〃。軸〃GC,

：.AGCA=ZDFEf

二,拋物線的解析式為g=]42+力__1_=_|_(力+1)2—2,

：?頂點(diǎn)(7(—1,—2),

v4(1,0),

??.AG=2,CG=2,

???ACG4為等腰直角三角形，

：.AGCA=ZDFE=45°,

?：DE±AC,

???ZVD石F為等腰直角三角形，

：.DE=EF,DF=V2DEf

,?*S、DEF=*DE?EF—4,

:.DE=2四,

圖1

.,.DF=gx2，^=4,

設(shè)直線AC的解析式為v=+b,則

2,解得：/1

{—k+b=—2[b=—1

???直線4。的解析式為y=x-l,

設(shè)點(diǎn)力,]/+力—_/），則F（xfx—1）,

?*-DF=$2+力一告一（力-1）==4,

解得：1=3或6=—3（舍）,

???0（3,6）,尸（3,2）.

（3）如圖2所示,

???ANFH是直角三角形，

^NFH的外心是斜邊NH的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)河位于點(diǎn)B時，秘iFH、，其外心是斜邊的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)河位于點(diǎn)。時，得ZYMFE,其外心是斜邊N,H2的中點(diǎn)，即明石的中點(diǎn)，

???。（3,6）,3（—3,0）,

tanZBDF==1,

6

NBDF=45°,

由⑵得，/FDE=45°,

/DBA=ZBAC=45°,

：.BD//AC,

：.FN±BD,

。?平分4BDE,4BDE=90°,

.?.點(diǎn)D,N,F,H四點(diǎn)共圓,

.?.點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，即點(diǎn)P在ME上運(yùn)動，即點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是一條線段.

2DN?F=ZN.QH=4DHF=90°,FN?=FE,

：.四邊形DN2FE為正方形，

此時點(diǎn)P在。F上，且EP=2;

當(dāng)點(diǎn)河與點(diǎn)。重合時，此時點(diǎn)P在。F上，即為￡,且Fg=朋=2,

由題意，BN2=BD-DN2=4,BF=2V10,N2F=272,FN2//DH,,

??.\BFN2?/\BH1D,

二鬻=需，解得FHi=VW,

:.FPF瓜

由勾股定理可得：_R8=1,

即點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡長為1.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形外接圓的性質(zhì)，弧長

公式，勾股定理，三角函數(shù)解直角三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵.

題目回（2021?紅谷灘區(qū)校級模擬）（1）學(xué)習(xí)心得:小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何

問題,如果添加輔助圓,運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如:如圖1,在AABC中，AB=AC,乙氏4。=80°,。是AABC外一點(diǎn)，且40=47,求乙8。。的度數(shù).

若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓。A,則點(diǎn)。、。必在。A上，ZBAC是。A的圓心角，而NBDC是

圓周角，從而可容易得到乙BDC=_40°_.

（2）問題解決：

如圖，在四邊形ABCD中,/BAD=ZBCD=90°,ABDC=25°,求ABAC的度數(shù).

（3）問題拓展：

拋物線y=-j（cc-iy+3與y軸交于點(diǎn)4頂點(diǎn)為B,對稱軸BC與c軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在拋物線上,直線

PQ〃BC交c軸于點(diǎn)Q,連接BQ.

①若含45°角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點(diǎn)與。重合，直角頂點(diǎn)D在上，另一頂點(diǎn)E在

PQ上，求Q的坐標(biāo)；

②若含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合，直角頂點(diǎn)。在上，另一個頂點(diǎn)E在PQ上，點(diǎn)。與點(diǎn)

點(diǎn)Q不重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

（2）由？1、B、C、D共圓，得出2BDC=NBAC,

（3）①先求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)D、C、Q、E共圓，得出/CQB=ZOED=45°,求出CQ,再求點(diǎn)

Q的坐標(biāo).

②分兩種情況，I、當(dāng)30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合時，II、當(dāng)60°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時，運(yùn)用點(diǎn)。、。、

Q、E共圓，求出CQ即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入拋物線求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：（I）：AB=AC,AD=AC,

：.以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)6、。、。必在＜34上，

???/A4C是。人的圓心角，而是圓周角，

A4BDC=40°,

（2）如圖2,

?/"4D=/BCD=90°,

.?.點(diǎn)A、B、C、_D共圓，

ABDC=ABAC,

?：NBDC=25°,

：.ABAC=25°,

（3）①如圖3

?.?點(diǎn)B為拋物線y=—十（，-1）2+3的頂點(diǎn)，

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,3）,

???45°角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個頂點(diǎn)與。重合，直角頂點(diǎn)。

在B。上，另一頂點(diǎn)E在PQ上，?M

???點(diǎn)。、。、。、石共圓，

：.4CQB="JED=%

:.CQ—BC—3,

JOQ=4,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,0）,

②如圖4,

I、當(dāng)30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合時,

.,直角三角板30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合，直角頂點(diǎn)。在石。上，另一個頂點(diǎn)E在P。上

,?點(diǎn)Z?、C、Q、石共圓，

??/CQB=4CED=6N,

*.OQ—1+V3,

,?把1+V3代入g=―：(/—1)2+3得g=*,

?.點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1+，§,[■)

當(dāng)60°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合時，

?.?直角三角板60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合，直角頂點(diǎn)。在BQ上，另一個頂點(diǎn)E在PQ上

?，?點(diǎn)。、。、Q、E共圓，

???ZCQB=ZCED=30°,

:.CQ=V3BC=3V3,

???OQ=1+3V3,

，才巴1+3A/3代入g=―^(rc—1)2+3得?/=—與，

???點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1+3A/3,—1")

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1+V3,或(1+3A/3,—.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵就是運(yùn)用同弦對的圓周角相等.

類型2:定弦定角

題目回（2022?雁塔區(qū)校級三模）問題提出

（1）如圖①,已知ZVLBC為邊長為2的等邊三角形,則^ABC的面積為—瓜

問題探究

⑵如圖②，在^ABC中,已知ABAC=120°,66,求AABC的最大面積；

問題解決

（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形ABCD,其寬AB=20米，長BC=24米，為了能夠監(jiān)控到禮

堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭河進(jìn)行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻

面區(qū)域，同時為了觀測效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)河出發(fā)的觀測角乙4MB=45°,請你通過所學(xué)知識進(jìn)

行分析,在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)州滿足要求？若存在，求出的長度;若不存在，請說明理由.

AD

圖①圖②圖③

【分析】（1）作ND,BC于。，由勾股定理求出4D的長，即可求出面積；

（2）作的外接圓?O,可知點(diǎn)A在百0上運(yùn)動，當(dāng)A'OLBC時，A4BC的面積最大，求出的長，

從而得出答案；

（3）以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個等腰直角三角形且乙405=90°,過0作1/6!，人3于

H,交CD于G,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出04OG的長，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相

交，從而。。上存在點(diǎn)河，滿足/4WB=45°,此時滿足條件的有兩個點(diǎn)河，過M作MF_LAB于F,作

EO_LMF于E,連接OF,利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題.

【解答】解：（1）作ADLBC于O,

?/A4B。是邊長為2的等邊三角形，

/.BD=1,

AD=y/AB2-BD2=V3,

：.AABC的面積為］x2x通=遍,

圖①

故答案為：通；

（2）作AABC的外接圓。O,

120°,BC=6A/3,

.?.點(diǎn)A在反？上運(yùn)動，

當(dāng)no_LBC時，AAB。的面積最大,

ZBOA=60°,BH=CH=3V3,

:.OH=3,OB=6,

??.AH=OA-OH=6-3=3,???

AABC的最大面積為yX6V3X3=9A/3;

（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個等腰直角三角形4OB,且AAOB=90°,

過。作HG_LAB于交CD于G,

圖③

：AB=20米，

AH=OH=10米，OA=10V2米，

?.?BC=24米，

AOG=14米，

V10V2>14,

以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，

。O上存在點(diǎn)朋r，滿足AAMB=45°,此時滿足條件的有兩個點(diǎn)M,

過M作MF_LAB于F,作EO_LMF于E,連接。F,

/.EF=OH=10米，OM=10^2米，

???EM=14米，

AOE=y/OM,—MB=2米，

CM=BF=8米，

同理CM?=BH+OE=10+2=12（米）,

.?.MC的長度為8米或12米.

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，垂徑定理等知識，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關(guān)鍵.

題目同（2023?浦橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AABC為等腰三角形，/C=120°,AC=BC=8,。

是AB上一點(diǎn)，且CD平分AABC的面積,則線段CD的長度為4.

10

MC

B

cc

BA

問題探究：（2）如圖②，AABC中，/C=120°,AB=10,試分析和判斷A4BC的面積是否存在最大值，若存

在，求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會場

旁規(guī)劃一個四邊形花圃ABCD,滿足BC=600米，CD=300米，/C=60°,/A=60°,主辦方打算過

的中點(diǎn)〃■點(diǎn)（入口）修建一條徑直的通道9（寬度忽略不計）其中點(diǎn)E（出口）為四邊形ABCD邊上一點(diǎn)，

通道ME把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休

閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道上㈤？若存在，請求出點(diǎn)A距出口的距離AE的長;若不存在，請

說明理由.

【分析】（1）由題意可知，CD是A4BC的中線，利用等腰三角形的性質(zhì)推出CDJ_AB,利用三角函數(shù)求解

即可解決問題；

（2）當(dāng)A4BC的4B邊上的高CD最大時，三角形ABC的面積最大，即CD過圓心O,連接40.求出CD

的最大值即可得出答案；

⑶連接DM,BD.首先證明/BDC=90°,求出BD,推出ABDC的面積是定值，要使得四邊形ABCD的

面積最大，只要AABD的面積最大即可，因為為定值，/人為定角=60°,推出當(dāng)AABD是等邊三角形

時，求出四邊形48co的面積最大值，然后再求出=90°,構(gòu)建方程解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖①，C

???CD平分^ABC的面積，

A。=DB,4B

VAC=BC=8,D

-i圖①

CD±AB,AACD=ABCD=yZACB=60°,

/.CD=ACcosZ-ACD=8cos60°=4,

.?.CD的長度為4,

故答案為：4;

（2）存在.如圖②，C

?.?AB=10,乙4cB=120°都是定值，/'；三工^

.?.點(diǎn)。在功上，并且當(dāng)點(diǎn)。在檢的中點(diǎn)時，A4BC的面積最大；Aj、ZB

i廠、'D\

連接OC交AB于點(diǎn)D,則CD_LAB,AD=B_D==AB=5,/'、、；'

2:、、、?,

AACD=^-AACB=60°,:0:

2'i

?*-S^ABC—~^AB?CD—.戶,

答：A4BC的面積最大值是幺p

o

⑶存在.如圖③，連接DM,BD,???

???Af是BC的中點(diǎn),

：.CM=^-BC=300,

:.CM=CD,

又；/C=60°,

AACM。是等邊三角形，

ZMDC=ACMD=60°,CM=DM=BM,

ANCBD=NMDB=30°,圖③

：.ZBDC=9Q°,

：.BD=CD?tan60°=300V3米,

在AABD中，BD=300盜米，乙4=60°為定值，

由（2）可知當(dāng)AB=AD時，即AAB。為等邊三角形時AABD的面積最大,

此時也為四邊形ABCD的最大值（ABDC的面積不變），

Smax=SABOC+S皿=yx300x30073+乎（300佝2=n2500V3;

???AABO是等邊三角形，

???/ADB=60°,

???AADM=AADB+/BDM=90°,

由S、EMD+SACDM=5Smax，得：

^DEx300+辛x3002=yx11250073,

解得：DE=225g，

AE=AD—DE=300V3-22573=75遍（米），

答：點(diǎn)A距出口的距離AB的長為75四米.

【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是理解題意構(gòu)造輔助圓，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，難度較大，屬于中考壓軸題.

［題目⑶（2023?柯城區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1,0）,（5,0）,點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一

個動點(diǎn).

（1）使NAPB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個；

（2）若點(diǎn)P在沙軸上，且AAPB=30°,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，/APB是否有最大值？若有,求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明此時AAPB最大的理由;

若沒有，也請說明理由.

y小

5-

4-

3-

2-

1-/B

1111—I1I11i

-4-3-2-1012345X

-4

【分析】（1）已知點(diǎn)人、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使/APB=30°,只需點(diǎn)P在過點(diǎn)8、點(diǎn)B的圓上，且弧AB所對的圓

心角為60°即可，顯然符合條件的點(diǎn)P有無數(shù)個.

（2）結(jié)合（1）中的分析可知：當(dāng)點(diǎn)P在沙軸的正半軸上時，點(diǎn)P是（1）中的圓與y軸的交點(diǎn)，借助于垂徑定

理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在？/軸的負(fù)半軸上時，同

理可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要/APB

最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)A、點(diǎn)B且與沙軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得/4PB最大的點(diǎn)P,然后結(jié)合切線的性質(zhì)、

三角形外角的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題.

【解答】解：（1）以AB為邊,在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,

以點(diǎn)。為圓心，AC為半徑作。。，交"軸于點(diǎn)R、g.

在優(yōu)弧ARB上任取一點(diǎn)P,如圖1,

則ZAPB=-1-ZACB=]x60°=30°.

使AAPB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個.

故答案為：無數(shù).

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在沙軸的正半軸上時，

過點(diǎn)。作垂足為G,如圖1.

?.?點(diǎn)幺(1,0),點(diǎn)5(5,0),

:.OA=1,OB=5.

???48=4.

???點(diǎn)。為圓心，CGLAB,

AG=BG=^-AB=2.

：.OG=OA+AG=3.

?/AABC是等邊三角形，

AC=BC=AB=4.

:.CG=^AC2-AG2

=V4^

=2V3.

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,2V3).

過點(diǎn)。作CDLy軸，垂足為D,連接沖，如圖1,

?.?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,2V3),

CD=3,OD=2V3.

???丹、8是。。與沙軸的交點(diǎn)，

A/ARB=/AF^B=30°.

CR=CA=4,CD=3,

2

：.DP2=y/^-3=V7.

?.?點(diǎn)。為圓心，CD_LP￡,

/.PQ=P2D=V7.

.-.^(0,2V3-V7).B(O,2V3+V7).

②當(dāng)點(diǎn)P在夕軸的負(fù)半軸上時，

同理可得：8(0,—2代一J7).^(0,-273+77).??

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：

(0,2V3-V7),(0,2V3+V7)>(0.-2V3-V7),(0,-2V3+V7).

(3)當(dāng)過點(diǎn)A、B的。E與夕軸相切于點(diǎn)P時，NAPB最大.

理由：可證：NAPB=NAEH,當(dāng)/APB最大時，NAEH最大.由sinZABH=得：當(dāng)4E最小即PE

最小時，NAEH最大.所以當(dāng)圓與g軸相切時，NAPB最大.

①當(dāng)點(diǎn)P在沙軸的正半軸上時，

連接況4,作EH_La;軸，垂足為如圖2.

E與夕軸相切于點(diǎn)P,

：.PE±OP.

?：EH±AB,OP.LOH,

：.AEPO=APOH=AEHO=90°.

.?.四邊形。PEH是矩形.

OP=EH,PE=OH=3.

EA=3.

???ZEHA=90°,AH=2,EA=3f

：.EH=YEG-Ati1

=V32-22

=V5

.-.OP=V5

P(O,V5).

②當(dāng)點(diǎn)P在夕軸的負(fù)半軸上時，

同理可得：F(O,-V5).

理由：

①若點(diǎn)P在沙軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一■點(diǎn)M'(不與點(diǎn)P重合),

連接AM,A/B,交OE于點(diǎn)N,連接M4,如圖2所示.

1/NANB是^AMN的外角，

AANB>AAMB.

?：2APB=4ANB,

：.NAPB>NAMB.

②若點(diǎn)P在夕軸的負(fù)半軸上，

同理可證得：AAPB>NAMB.

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在夕軸上移動時，/APB有最大值，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(O,V5)^(O,-V5).

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)、

三角形外角性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng).同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)

鍵.

類型3:四點(diǎn)共國???

題目0（2022-中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為:過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)

作三邊或其延長線的垂線,則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知△力及7內(nèi)接于0。,點(diǎn)P在。。上（不與點(diǎn)。重合），過點(diǎn)P分別作力瓦

的垂線，垂足分別為點(diǎn)。，E,F.求證:點(diǎn)。，在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖⑴，連接/^，「。，。以石巴取/^的中點(diǎn)孰連接。^.QF,

則EQ=FQ=gpC=PQ=CQ,（依據(jù)1）

?.?點(diǎn)四點(diǎn)共圓，

ZFGP+AFEP=180°.（依據(jù)2）

又???AACP+NABP=180°,

NFEP=NABP.

同上可得點(diǎn)四點(diǎn)共圓，

任務(wù)：

（1）填空：

①依據(jù)］指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

②依據(jù)2指的是.

（2）請將證明過程補(bǔ)充完整.

⑶善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是沅的中點(diǎn)時，BD=CF,請你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性.

圖⑴圖⑵

（分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可；

⑵利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)E,F,P,。和點(diǎn)B,D,P,E四點(diǎn)分別共圓，再說明AFEP

+NDEP=180°,可證明結(jié)論；

⑶連接PA,PB,PC,利用證明RiAPBD=RtAPCF，從而得出結(jié)論.

［解答］（1）解:①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，

故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；

（2）解:如圖（1）,連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點(diǎn)Q,連接QE.QF,

則EQ=FQ=%PC=PQ=CQ,

:.點(diǎn)、E,F,P,。四點(diǎn)共圓，

AFCP+AFEP=180°,

又ZACF+NABP=180°,

ZFEP=/ABP,

同上可得點(diǎn)B,D,P,E四點(diǎn)共圓，

ZDBP=NDEP,

?：NABP+4DBP=180°,

ZFEP+2DEP=180°,

點(diǎn)。，E,F在同一直線上；

（3）證明：如圖，連接P4,PB,PC,

?.?點(diǎn)P是市的中點(diǎn)，

：.BP=PC,

：.BP=PC,ZPAD=APAC,

又???PD_LAD,PP1_LAC,

:.PD=PF,

：.RtAPBD=RtAPCF（HL）,

:.BD=CF.

【點(diǎn)評】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)

等知識，證明R1APBD=AtAPCF是解題的關(guān)鍵.

題目叵〕（2021?哈爾濱模擬）（1）【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使

問題變得非常容易.

例如:如圖1,在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,D是△ABC外一點(diǎn)，且AD=AC,求ABDC的度數(shù).

若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助。A,則點(diǎn)C、。必在。A上，/BAC是。人的圓心角，而乙BDC是圓

周角，從而可容易得到2BDC=45°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形AB。。中，乙民4。=乙8。］。=90°,乙BDC=25°,求/BAC的度數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊4D上兩個動點(diǎn)，滿足=連接CF交BD于點(diǎn)G,連接

BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2,則線段長度的最小值是.

【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

（2）由4、B、。、。共圓，得出ZBDC=2BAC,

⑶根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=4D=CD,ABAD=ACDA,AADG=ACDG，然后利用“邊角邊”證明

^ABE和ADCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得Z1=Z2,利用“S4S”證明^ADG和ACDG全等，

根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/2=/3,從而得到/1=/3,然后求出/4HB=90°,取AB的中點(diǎn)O,連

接OH、根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=^AB=1,利用勾股定理列式求出

OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，DH■的長度最小.

【解答】解：（1）如圖1,?：AB^AC,AD^AC,

以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A,點(diǎn)B、C、D必在。人上,

/BAC是的圓心角，而/BDC是圓周角，

ZBDC=45°,

故答案為：45;

（2）如圖2,取BD的中點(diǎn)O,連接AO.CO.

?.?/BAD=/BCD=90°,

.?.點(diǎn)A、B、C、O共圓，

4BDC=ABAC,

NBDC=25°,

：.ZBAC=25°,

(3)如圖3，在正方形ABCD中，AB=AD=CD,/BAD=ACDA,AADG=ACDG,

在AABE和ADCF中，

(AB=CD

IABAD=ACDA,

[AE=DF

：.^ABE=l\DCF(SAS),

Z1=Z2,

在AADG和ACDG中，

(AD=CD

{/ADG=/CDG,

[DG=DG

：.AADGwACDG〈SAS),

：.Z2=Z3,

Z1=Z3,

?/ZBAH+Z3=ABAD=90°,

A/I+/BAH=90°,

NAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點(diǎn)O,連接。H、OD,

則OH=AO=/AB=1,

在RtAAOD中，OD=y/ACP+AD2=Vl2+22=V5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

當(dāng)。、。、8三點(diǎn)共線時，。8的長度最小，

最小值=。。一。8=0-1.

(解法二：可以理解為點(diǎn)H是在AB直徑的半圓檢上運(yùn)動當(dāng)。、//、。三點(diǎn)共線時，。以長度最

小)???

故答案為：，K—l.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定

理等知識，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法.

【題目〔10〕(2022?潢川縣校級一模)如圖1,點(diǎn)B在直線Z上，過點(diǎn)B構(gòu)建等腰