第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.預(yù)計(jì)2025年高考，平面向量基本定理與坐標(biāo)表示及運(yùn)算仍是考查的重點(diǎn)，題型還是以選擇題或填空題為主，中低檔難度.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)eq\x(\s\up1(01))不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，eq\x(\s\up1(02))有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)eq\x(\s\up1(03))基底．2．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)eq\x(\s\up1(04))互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝eq\x(\s\up1(05))(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝eq\x(\s\up1(06))(x1－x2，y1－y2)，λa＝eq\x(\s\up1(07))(λx1，λy1)，|a|＝eq\x(\s\up1(08))eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(09))(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\x(\s\up1(10))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?eq\x(\s\up1(11))x1y2－x2y1＝0．1．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).2．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(3)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．()答案(1)√(2)×(3)√2．小題熱身(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2，1)C．(－1，0) D．(－1，2)答案D解析∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，∴eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1，2)．故選D.(2)(人教B必修第二冊(cè)6.2.4例4改編)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(2，2) B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)答案D解析由題意可知eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(3，－3)．若eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)；若eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1)．故選D.(3)(人教A必修第二冊(cè)6.3例5改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(1，5)解析設(shè)D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，5)．(4)(人教A必修第二冊(cè)6.3例1改編)如圖，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．答案(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))解析∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))－teq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(2024·山東青島二中階段考試)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓O于點(diǎn)D，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．a(chǎn)＋eq\f(2,3)b答案C解析設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，又∠BAC的平分線交△ABC的外接圓O于點(diǎn)D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，則根據(jù)圓的性質(zhì)得BD＝AB，又因?yàn)樵赗t△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.故選C.【通性通法】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．提醒：(1)一個(gè)基底中的兩個(gè)向量必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．【鞏固遷移】1．(2023·蘇州質(zhì)檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________．答案eq\f(1,2)解析由題圖可設(shè)eq\o(CG,\s\up6(→))＝xeq\o(CE,\s\up6(→))(0<x<1)，則eq\o(CG,\s\up6(→))＝x(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\f(x,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋xeq\o(CB,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，所以λ＝eq\f(x,2)，μ＝x，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,2).考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).故選D.【通性通法】1．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．2．向量坐標(biāo)運(yùn)算的注意事項(xiàng)(1)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)形式相似，實(shí)質(zhì)不同．(2)向量坐標(biāo)形式的線性運(yùn)算類(lèi)似多項(xiàng)式的運(yùn)算．【鞏固遷移】2．(2024·吉林期末)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，－1)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，P是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(2，－4) B．(3，1)C．(－2，4) D．(6，2)答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，設(shè)P(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋4＝2x，,3－1＝2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，1)．故選B.考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示(多考向探究)考向1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例3設(shè)點(diǎn)A(2，0)，B(4，2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3，1) B．(1，－1)C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1)答案C解析∵A(2，0)，B(4，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)，∵點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1)或(1，－1)．故選C.【通性通法】利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)的一般思路求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)要求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)向量共線的條件列方程(組)，求出x，y的值．提醒：(1)a∥b的充要條件不能表示為eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能為0.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)等價(jià)，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例．【鞏固遷移】3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(3，3)解析解法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3)．解法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3)．考向2利用向量共線求參數(shù)例4已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，則x＋2y的值為()A．－1 B．0C．1 D．2答案B解析因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(6，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4＋x，y－2)，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－x－4，2－y)，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，所以x(2－y)＝y(tǒng)(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.故選B.【通性通法】平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．【鞏固遷移】4．(2023·四川成都三模)設(shè)向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，則“a與b共線”的充要條件是()A．x＝±2 B．x＝2C．x＝－2 D．x＝eq\f(1,2)答案A解析因?yàn)閍∥b，a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，所以(x＋1)(x－1)＝3，所以x＝±2.故選A.考點(diǎn)四解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用例5如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________．答案eq\f(8,5)解析解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ，\f(λ,2)＋μ))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))∴λ＋μ＝eq\f(8,5).解法二：由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))∴λ＋μ＝eq\f(8,5).【通性通法】通過(guò)建立坐標(biāo)系，把復(fù)雜的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為便于操作的代數(shù)運(yùn)算，使向量問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)．【鞏固遷移】5．(2024·廣西賓陽(yáng)中學(xué)階段練習(xí))已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)．(1)求以線段AB，AD為鄰邊的平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝(3，3)，試判斷點(diǎn)P是在△ABD的BD邊上，還是在△ABD的外部？請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)∵A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0)＋(3，4)＝(4，4)，∴AC＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).(2)∵BD的中點(diǎn)為E(3，3)，A(1，1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2，2)，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(3，3)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，由eq\f(3,2)>1知點(diǎn)P在AE的延長(zhǎng)線上，∴點(diǎn)P不是在△ABD的BD邊上，而是在△ABD的外部．課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·南京模擬)設(shè)平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|＝()A．eq\r(5) B．eq\r(6)C．eq\r(17) D．eq\r(26)答案A解析由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)，3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，|3a＋b|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).故選A.2．如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1－2e2與－e1＋2e2答案D解析對(duì)于A，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝0，))無(wú)解，故e1與e1＋e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底；對(duì)于B，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ，))無(wú)解，故e1－2e2與e1＋2e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底；對(duì)于C，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ，))無(wú)解，故e1＋e2與e1－e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底；對(duì)于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2與－e1＋2e2為共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．故選D.3．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，則“m＝－3”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析若m＝－3，則a＝(9，－9)＝9b，所以a∥b；若a∥b，則m2×(－1)－(－9)×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件．4．在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線BD，CF相交于點(diǎn)P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，則x＋y＝()A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．eq\f(7,2)答案B解析如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，于是eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(3,2)且y＝1，故x＋y＝eq\f(5,2).故選B.5．(2023·大理模擬)在△ABC中，D是直線AB上的點(diǎn)．若2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋λeq\o(CA,\s\up6(→))，記△ABC的面積為S1，△ACD的面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝()A．eq\f(λ,6) B．eq\f(λ,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)答案D解析依題意作圖，如圖所示，設(shè)eq\o(BD,\s\up6(→))＝μeq\o(BA,\s\up6(→))＝μ(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝－μeq\o(CB,\s\up6(→))＋μeq\o(CA,\s\up6(→))，由條件eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，得μ＝－eq\f(1,2)，eq\f(λ,2)＝μ＝－eq\f(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，∴點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，并且AD＝eq\f(3,2)AB，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(2,3).故選D.6.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)b B．eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)bC．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b D．eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b答案B解析由題得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b.故選B.7．(2024·廣東湛江摸底)若{α，β}是一個(gè)基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(chēng)(x，y)為向量γ在基底{α，β}下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知{p，q}，{m，n}為基底，且p＝(1，－1)，q＝(2，1)，m＝(－1，1)，n＝(1，2)，向量a在基底{p，q}下的坐標(biāo)為(－2，2)，則a在基底{m，n}下的坐標(biāo)為()A．(2，0) B．(0，－2)C．(－2，0) D．(0，2)答案D解析∵a在基底{p，q}下的坐標(biāo)為(－2，2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)．設(shè)(x，y)為a在基底{m，n}下的坐標(biāo)，則a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，即(2，4)＝(－x＋y，x＋2y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝2，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))∴a在基底{m，n}下的坐標(biāo)為(0，2)．故選D.8.地磚是一種地面裝飾材料，也叫地板磚，用黏土燒制而成，質(zhì)堅(jiān)、耐壓、耐磨、防潮．地板磚品種非常多，圖案也多種多樣．如圖是某公司大廳的地板磚鋪設(shè)方式，地板磚有正方形與正三角形兩種形狀，且它們的邊長(zhǎng)都相同，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(5,2)a－eq\f(1,2)b B．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),2)bC．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),3)))a＋eq\f(\r(3),3)b D．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),3)b答案D解析以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB|＝2，則O(0，eq\r(3))，A(－1，0)，B(1，0)，F(xiàn)(1，2＋2eq\r(3))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，2＋2eq\r(3))．設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝2，,－\r(3)λ－\r(3)μ＝2＋2\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2－\f(\r(3),3)，,μ＝－\f(\r(3),3).))所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),3)b.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是()A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0答案BC解析由平面向量基本定理可知，A，D正確；對(duì)于B，由平面向量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，則該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，這樣的λ有無(wú)數(shù)個(gè)，或當(dāng)λ1e1＋μ1e2為非零向量，而λ2e1＋μ2e2為零向量(λ2＝μ2＝0)時(shí)，λ不存在，故C錯(cuò)誤．故選BC.10．(2023·山東聊城模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b B．eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋bC．eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b答案ABD解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故A正確；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，故B正確；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，故C錯(cuò)誤；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b，故D正確．故選ABD.11．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1答案ABD解析因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點(diǎn)就可構(gòu)成三角形．故選ABD.三、填空題12．設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝2i＋3j，eq\o(BC,\s\up6(→))＝i－2j，則eq\o(AC,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．答案(3，1)解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2i＋3j＋i－2j＝3i＋j，所以eq\o(AC,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(3，1)．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(2，4)解析∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4－x，2－y)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)．14．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析由已知得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，所以μ＝eq\f(λ,2).因?yàn)?≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).15．(多選)如圖，B是AC的中點(diǎn)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則下列結(jié)論中正確的是()A．當(dāng)x＝0時(shí)，y∈[2，3]B．當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(5,2)C．若x＋y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D．當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，x＝1，y＝2答案BC解析當(dāng)eq\o(OP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(OB,\s\up6(→))時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，所以1≤y≤3，故A錯(cuò)誤；當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EP,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(5,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故B正確；當(dāng)x＋y為定值1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，故點(diǎn)P的軌跡是一條線段，故C正確；因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝2，故D錯(cuò)誤．故選BC.16．(多選)(2023·潮汕模擬)已知集合E是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意a，b∈E，t∈(0，1)，均有ta＋(1－t)b∈E，則稱(chēng)集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的的是()A．{(x，y)|y≥ex}B．{(x，y)|y≥lnx}C．{(x，y)|x＋2y－1≥0}