第十三章差分方程第二節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程三、小結(jié)一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中是常數(shù)，當(dāng)不恒等于零時，稱差分方程是非齊次的；當(dāng)恒等于零時，稱差分方程是齊次的，即為稱(2)是(1)所對應(yīng)的齊次線性差分方程.一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程1、迭代法齊次線性差分方程可化為于是，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明若令y0=C(任意常數(shù))，則差分方程(2)的通解為解：例1將方程變形為由于y0=1，則有所以，原方程滿足初始條件y0=1的特解為2、特征根法齊次線性差分方程可化為即這說明齊次差分方程的解與它的一階差分只相差一個常數(shù)因子倍數(shù)，故可認(rèn)定yx是某個指數(shù)函數(shù)，不妨設(shè)將其代入齊次差分方程，得即所以從而由解的結(jié)構(gòu)可得齊次線性差分方程的通解為因此是齊次差分方程的一個解.特征方程特征根解：例2特征方程為得特征根所以原差分方程的通解為例3

解：將差分方程改寫為得特征根特征方程為所以原差分方程的通解為由初始條件y0=3，得C=3，因此所求的特解為二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程由解的結(jié)構(gòu)知，差分方程(1)的通解由兩項(xiàng)的和組成：一項(xiàng)是該方程的一個特解，另一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次差分方程的通解.在前一部分已經(jīng)討論完齊次線性差分方程的通解，所以接下來只討論特解的求法.1、迭代法差分方程(1)可化為以此類推，由數(shù)學(xué)歸納法得差分方程(1)的一個特解為又因?yàn)椴罘址匠?1)對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為所以差分方程(1)的通解為解：例4

其通解為再利用迭代法，可得原方程的一個特解所以原差分方程的通解為原方程對應(yīng)的齊次線性方程為解：例5

其通解為再利用迭代法，可得原方程的一個特解所以原差分方程的通解為原方程對應(yīng)的齊次線性方程為2、待定系數(shù)法[1]f(x)為多項(xiàng)式型：差分方程(1)可改寫為因此可假設(shè)差分方程的解為以下的待定式這里Qn(x)是n次待定多項(xiàng)式，k的取值按下列方式確定解：例6

所以齊次線性方程的通解為原方程對應(yīng)的齊次線性方程為特征方程為則特征根為又因?yàn)?不是特征根，且右端函數(shù)為零次多項(xiàng)式，則可設(shè)特解為將代入原方程，有得b=1.于是原方程的通解為解：例7所以齊次線性方程的通解為又因?yàn)?是特征根，且右端函數(shù)為二次多項(xiàng)式，則可設(shè)特解為原方程對應(yīng)的齊次線性方程為特征方程為則特征根為將代入原方程，有于是有所以原方程的通解為此時差分方程(1)可寫為[2]f(x)為指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式之積型：這是右端函數(shù)為多項(xiàng)式型的非齊次線性差分方程.由待定系數(shù)法得它的特解，則原方程的特解為解：例8所以齊次線性方程的通解為原方程對應(yīng)的齊次線性方程為特征方程為則特征根為由于1不是特征根，且上面方程的右端函數(shù)為一次多項(xiàng)式，所以可假設(shè)再求原方程的一個特解.代入原方程，化簡得解：例8比較同次冪的系數(shù)，得于是得到原方程的一個特解因此，原方程的通解為此時差分方程(1)可寫為[3]f(x)為三角函數(shù)型：它對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為(i)(ii)解：例9

三、小結(jié)1、一階常系數(shù)齊次線性差分方程求