2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三年級(jí)期中考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，若，則可能是（）A.B.1C.2D.32.已知是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.3.已知，則（）A.B.C.D.4.下列命題中，真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.6.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A.B.C.D.7.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知為非零實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的有（）A.若成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列B.若成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列C.若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列D.若成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列10.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若成等差數(shù)列，是中點(diǎn)，則下面正確的是（）A.周長(zhǎng)的最大值為B.面積的最大值為C.中線長(zhǎng)度的最大值為D.若A為銳角，則11.若是平面內(nèi)兩條相交成角的數(shù)軸，和是軸?軸正方向上的單位向量，若向量，則規(guī)定有序數(shù)對(duì)為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，設(shè)，則（）A.B.C.若，則D.若構(gòu)成銳角三角形，則三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.向量滿足與的夾角為，則__________.13.已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為2cm，側(cè)棱和下底面邊長(zhǎng)都是4cm，則它的體積為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)滿足下列條件：①為的極值點(diǎn)；②在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15.（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，__________.在①；②成等比數(shù)列；③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并解答下面問(wèn)題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.16.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.17.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過(guò)作直線與交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.18.（17分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線平行于軸，求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.19.（17分）我們之前學(xué)習(xí)了用斜率刻畫(huà)直線的傾斜程度，那如何刻畫(huà)曲線的彎曲程度呢？考察如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從沿曲線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)越接近，即越小，就越能精確刻畫(huà)曲線在點(diǎn)處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點(diǎn)A處的曲率.（其中分別表示在點(diǎn)A處的一階?二階導(dǎo)數(shù)）（1）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則在該拋物線上點(diǎn)處的曲率是多少？（2）若函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍；（3）若動(dòng)點(diǎn)的切線沿曲線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處的切線，點(diǎn)的切線與軸的交點(diǎn)為.若是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三年級(jí)期中考數(shù)學(xué)試卷參考答案一?選擇題題號(hào)12345678910答案DCADCBCABCACD題號(hào)11答案BCD二?填空題12.213.14.三?解答題15.（1）（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由，得，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差.若選①，因?yàn)椋?，得，所以，所以，若選②，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，所以，所以.若選③，因?yàn)椋?，所以，?），所以，又因?yàn)?，所?16.（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）如圖所示，連接.因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，所以兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題中數(shù)據(jù)可得，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.即平面與平面的夾角的余弦值為.17.（1）（2）【詳解】（1）（1）根據(jù)題意由可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，即，所以，所以可得的方程為.（2）由（1）知，顯然當(dāng)直線的斜率不存在或的斜率為0時(shí)，不成立，故直線的斜率存在，且不為0，設(shè)，聯(lián)立，則，且即，，又，所以，所以，所以由得，解得，故，故直線的斜率為或.18.（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【詳解】（1），故，則.（2），當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，故此時(shí)在單調(diào)遞增，在的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，故此時(shí)在單調(diào)遞增，在的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故此時(shí)在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，（3），令，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)恒成立，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則由兩個(gè)交點(diǎn)，故，解得19.（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即扡物線方程為，即，則，又拋物線在點(diǎn)處的曲率，則，即在該拋物線上點(diǎn)處的曲率為；（2）在上為奇函數(shù)，又在上為減函數(shù).對(duì)于恒成立等價(jià)于對(duì)于恒成立.又因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，記，則曲線恒在曲線上方，，