橢圓的幾何性質(zhì)

橢圓的概念是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

我們把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)

的距離的和等于常數(shù)（大于

）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.復(fù)習(xí)回顧

標(biāo)準(zhǔn)方程圖

形橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程新課講授我們利用橢圓的形狀研究幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、扁平程度（離心率）等。問(wèn)題一

我們?nèi)菀卓闯鰴E圓上的點(diǎn)都在一個(gè)特定的矩形內(nèi)，你能利用方程（代數(shù)方法）確定出具體邊界嗎？

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

可知

所以橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)都適合不等

式

即

同理有

即這說(shuō)明橢圓位于直線(xiàn)

和

圍成的矩形框里。

問(wèn)題二

觀(guān)察橢圓的形狀，可以發(fā)現(xiàn)，橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，你能利用橢圓的方程證明它的對(duì)稱(chēng)性嗎？

在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

中，以

代

，方程不變.這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)

在橢圓上時(shí)，它關(guān)于

軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于

軸對(duì)稱(chēng)。同理，以

代

，方程不變.這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)

在橢圓上時(shí)，它關(guān)于

軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于

軸對(duì)稱(chēng)。

以

代

，以

代

，方程不變，這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)

在橢圓上時(shí)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。綜上，橢圓關(guān)于

軸、

軸都是對(duì)稱(chēng)的.這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心。問(wèn)題三

請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察橢圓的圖形，你覺(jué)得有哪些比較特殊的點(diǎn)，你能通過(guò)橢圓的方程得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

中，令

得

，因此

是橢圓與

軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理，令

，得

.因此

是橢圓與

軸的兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)?/p>

軸、

軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).

線(xiàn)段

分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于

和,和

分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。問(wèn)題四

觀(guān)察下圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍?huà)橢圓的扁平程度嗎？

，因此

與

本質(zhì)上是相關(guān)的，它們都可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度.而兩者對(duì)比，

和

都來(lái)自于橢圓定義，是確定圓錐曲線(xiàn)的基本量，不僅能有效刻畫(huà)兩個(gè)焦點(diǎn)離開(kāi)中心的程度，而且還蘊(yùn)含著圓錐曲線(xiàn)幾何特征的統(tǒng)一性.綜上分析，我們選擇了

和

這兩個(gè)量來(lái)刻畫(huà)橢圓的扁平程度。

橢圓

的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

，半焦距為

.保持長(zhǎng)半軸長(zhǎng)

不變，改變橢圓的半焦距

，可以發(fā)現(xiàn)，

越接近

，橢圓越扁平.

這樣，利用

和

這兩個(gè)量，可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度.

我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比

稱(chēng)為橢圓的離心率，用

表示，即

。

因?yàn)?/p>

，所以.越接近1，越接近

，

就越小，因此橢圓越扁平；反之，

越接近0，

越接近0，越接近

，這時(shí)橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為

例

求橢圓

的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、

離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：把原方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

于是例題學(xué)習(xí)

例

求橢圓

的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、

離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別是和

，離心率

，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是和

，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是

和

.

例題學(xué)習(xí)

最后我們回顧一下本節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)大家思考以下問(wèn)題：

（1）本節(jié)課我們研