2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第2章

直線與圓的方程

導(dǎo)入問(wèn)題

回憶一下初中所學(xué)的知識(shí)，回憶下圓與圓的位置關(guān)系有哪些？圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含隨著兩圓的相對(duì)位置變化，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)又分別是多少？0個(gè)1個(gè)2個(gè)1個(gè)0個(gè)導(dǎo)入圓與圓的位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示兩圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)1個(gè)0個(gè)幾何法：d與R±r的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，消元所得方程解的個(gè)數(shù)(△的正負(fù))當(dāng)Δ=0或Δ<0時(shí)，不能確定兩圓的位置關(guān)系思考1:當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，公切線的條數(shù)分別是多少?思考2:當(dāng)兩圓相交、外切、內(nèi)切時(shí)，連心線有什么性質(zhì)?公切線的條數(shù)分別是4，3，2，1，0.

當(dāng)兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分公共弦;當(dāng)兩圓外切時(shí)，連心線垂直于過(guò)兩圓公共點(diǎn)的公切線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，連心線垂直于兩圓的公切線.探究新知解法一:把圓C1與圓C2的方程分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得∴圓C1與圓C2相交.yxABC2C1

例題鞏固解法二:將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組①-②，得聯(lián)立①③，消去y，可得方程④的根的判別式△>0，所以方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=-1，x2=3.yxABC2C1兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，連接這兩個(gè)公共點(diǎn)的線段叫公共弦，你能求它的方程嗎？代人方程③，得到y(tǒng)1=1，y2=-1.因此圓C1與圓C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A(-1,1)，B(3,-1)，這兩個(gè)圓相交.

例題鞏固思考：已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0．1.畫(huà)出兩圓的圖象和方程x＋2y－1=0表示的直線的圖象；2.用兩圓方程相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，可得兩圓公共弦所在直線的方程.探究新知2、公共弦方程

當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程的求法

若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.探究新知（1）若兩圓相交，則過(guò)交點(diǎn)的圓系方程為（2）、若兩圓相切(內(nèi)切或外切),則公切線所在直線方程為

注意：①

λ為參數(shù),圓系中不包括圓C2;

②當(dāng)λ＝－1時(shí),方程兩圓的公共弦所在直線方程,即(也就是兩圓方程相減所得)3、圓系方程探究新知例2．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含？例題鞏固[解析]圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝a.(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3<|C1C2|<5，即3<a<5時(shí)，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|>5，即a>5時(shí)，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|<3，即0<a<3時(shí)，兩圓內(nèi)含．例題鞏固例3、求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公共弦長(zhǎng)．兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此為兩圓公共弦所在直線的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標(biāo)為(1，－5)，例題鞏固例4.已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________．解析：設(shè)圓C的半徑為r，又圓心距d∴當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r＋1＝5，r＝4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r－1＝5，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.yxo例題鞏固例5

求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋的圓的方程．設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，又所求圓過(guò)點(diǎn)M的切線為直線由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4例題鞏固我們可以通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得到點(diǎn)M的軌跡;通過(guò)研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓O的位置關(guān)系。

例題鞏固

AOBPMxy例題鞏固

探究新知課堂小結(jié)

阿波羅尼斯圓

1.定義拓展人物介紹

阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，他將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地，阿波羅尼斯圓是他論著中的一個(gè)著名問(wèn)題，也是其研究成果之一．《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，書(shū)中蘊(yùn)含坐標(biāo)思想，這對(duì)后世坐標(biāo)的建立具有很大啟發(fā)．拓展2.阿波羅尼斯圓的方程推導(dǎo)

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